Монету бросают 3 раза какая вероятность того. Метод перебора комбинаций. Определение вероятности в задачах про игральную кость
В теории вероятностей существует группа задач, для решения которых достаточно знать классическое определение вероятности и наглядно представлять предлагаемую ситуацию. Такими задачами является большинство задач с подбрасыванием монеты и задачи с бросанием игрального кубика. Напомним классическое определение вероятности.
Вероятность события А (объективная возможность наступления события в числовом выражении) равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов: Р(А)=m/n , где:
- m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А;
- n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания.
Число возможных элементарных исходов испытания и число благоприятных исходов в рассматриваемых задачах удобно определять перебором всех возможных вариантов (комбинаций) и непосредственным подсчетом.
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=4. Благоприятные
исходы события А = {орел выпадает 1 раз} соответствуют варианту №2 и №3 эксперимента, таких
вариантов два m=2.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=2/4=0,5
Задача 2 . В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Решение
. Поскольку монету бросают дважды, то, как и в задаче 1, число
возможных элементарных исходов n=4. Благоприятные исходы события А = {орел не выпадет ни разу}
соответствуют варианту №4 эксперимента (см. таблицу в задаче 1). Такой вариант один, значит m=1.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=1/4=0,25
Задача 3 . В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.
Решение . Возможные варианты трех бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=8. Благоприятные
исходы события А = {орел выпадает 2 раза} соответствуют вариантам №5, 6 и 7 эксперимента.
Таких вариантов три, значит m=3.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=3/8=0,375
Задача 4 . В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза.
Решение . Возможные варианты четырех бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:
№ варианта | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | 4-й бросок | № варианта | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | 4-й бросок |
1 | Орел | Орел | Орел | Орел | 9 | Решка | Орел | Решка | Орел |
2 | Орел | Решка | Решка | Решка | 10 | Орел | Решка | Орел | Решка |
3 | Решка | Орел | Решка | Решка | 11 | Орел | Решка | Решка | Орел |
4 | Решка | Решка | Орел | Решка | 12 | Орел | Орел | Орел | Решка |
5 | Решка | Решка | Решка | Орел | 13 | Решка | Орел | Орел | Орел |
6 | Орел | Орел | Решка | Решка | 14 | Орел | Решка | Орел | Орел |
7 | Решка | Орел | Орел | Решка | 15 | Орел | Орел | Решка | Орел |
8 | Решка | Решка | Орел | Орел | 16 | Решка | Решка | Решка | Решка |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=16. Благоприятные
исходы события А = {орел выпадет 3 раза} соответствуют вариантам №12, 13, 14
и 15 эксперимента, значит m=4.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=4/16=0,25
Определение вероятности в задачах про игральную кость
Задача 5 . Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет более 3 очков.
Решение
. При бросании игрального кубика (правильной кости) может
выпасть любая из шести его граней, т.е. произойти любое из элементарных событий - выпадение
от 1 до 6 точек (очков). Значит число возможных элементарных исходов n=6.
Событие А = {выпало более 3 очков} означает, что выпало 4, 5 или 6 точек (очков). Значит
число благоприятных исходов m=3.
Вероятность события Р(А)=m/n=3/6=0,5
Задача 6 . Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика выпало число очков, не большее 4. Результат округлите до тысячных.
Решение
. При бросании игрального кубика может выпасть любая из шести
его граней, т.е. произойти любое из элементарных событий - выпадение от 1 до 6 точек (очков). Значит
число возможных элементарных исходов n=6.
Событие А = {выпало не более 4 очков} означает, что выпало 4, 3, 2 или 1 точка (очко).
Значит число благоприятных исходов m=4.
Вероятность события Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667
Задача 7 . Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, меньшее 4.
Решение . Так как игральную кость (игральный кубик) бросают дважды, то будем рассуждать следующим образом: если на первом кубике выпало одно очко, то на втором может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6. Получаем пары (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) и так с каждой гранью. Все случаи представим в виде таблицы из 6-ти строк и 6-ти столбцов:
1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Благоприятные исходы события А = {оба раза выпало число, меньшее 4} (они выделены жирным)
подсчитаем и получим m=9.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=9/36=0,25
Задача 8 . Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5. Ответ округлите до тысячных.
Решение . Все возможные исходы двух бросаний игральной кости представим в таблице:
1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Благоприятные исходы события А = {наибольшее из двух выпавших чисел равно 5} (они выделены жирным)
подсчитаем и получим m=8.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222
Задача 9 . Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4.
Решение . Все возможные исходы двух бросаний игральной кости представим в таблице:
1; 1 | 2; 1 | 3; 1 | 4; 1 | 5; 1 | 6; 1 |
1; 2 | 2; 2 | 3; 2 | 4; 2 | 5; 2 | 6; 2 |
1; 3 | 2; 3 | 3; 3 | 4; 3 | 5; 3 | 6; 3 |
1; 4 | 2; 4 | 3; 4 | 4; 4 | 5; 4 | 6; 4 |
1; 5 | 2; 5 | 3; 5 | 4; 5 | 5; 5 | 6; 5 |
1; 6 | 2; 6 | 3; 6 | 4; 6 | 5; 6 | 6; 6 |
Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Фраза «хотя бы раз выпало число, меньшее 4» означает «число меньшее 4 выпало один раз или два раза»,
тогда число благоприятных исходов события А = {хотя бы раз выпало число, меньшее 4} (они выделены жирным)
m=27.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=27/36=0,75
Задачи на подбрасывание монет считаются довольно сложными. И перед тем как решать их, требуется небольшое пояснение. Задумайтесь, любая задача по теории вероятностей в итоге сводится к стандартной формуле:
где p - искомая вероятность, k - число устраивающих нас событий, n - общее число возможных событий.
Большинство задач B6 решаются по этой формуле буквально в одну строчку - достаточно прочитать условие. Но в случае с подбрасыванием монет эта формула бесполезна, поскольку из текста таких задач вообще не понятно, чему равны числа k и n . В этом и состоит вся сложность.
Тем не менее, существует как минимум два принципиально различных метода решения:
- Метод перебора комбинаций - стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации орлов и решек, после чего выбираются нужные;
- Специальная формула вероятности - стандартное определение вероятности, специально переписанное так, чтобы было удобно работать с монетами.
Для решения задачи B6 надо знать оба метода. К сожалению, в школах изучают только первый. Не будем повторять школьных ошибок. Итак, поехали!
Метод перебора комбинаций
Этот метод еще называется «решение напролом». Состоит из трех шагов:
- Выписываем все возможные комбинации орлов и решек. Например: ОР, РО, ОО, РР. Число таких комбинаций - это n ;
- Среди полученных комбинаций отмечаем те, которые требуются по условию задачи. Считаем отмеченные комбинации - получаем число k ;
- Осталось найти вероятность: p = k : n .
К сожалению, этот способ работает лишь для малого количества бросков. Потому что с каждым новым броском число комбинаций удваивается. Например, для 2 монет придется выписать всего 4 комбинации. Для 3 монет их уже 8, а для 4 - 16, и вероятность ошибки приближается к 100%. Взгляните на примеры - и сами все поймете:
Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество.
Итак, монету бросают два раза. Выпишем все возможные комбинации (O - орел, P - решка):
Итого n = 4 варианта. Теперь выпишем те варианты, которые подходят по условию задачи:
Таких вариантов оказалось k = 2. Находим вероятность:
Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.
Снова выписываем все возможные комбинации орлов и решек:
OOOO OOOP OOPO OOPP OPOO OPOP OPPO OPPP
POOO POOP POPO POPP PPOO PPOP PPPO PPPP
Всего получилось n = 16 вариантов. Вроде, ничего не забыл. Из этих вариантов нас устраивает лишь комбинация «OOOO», в которой вообще нет решек. Следовательно, k = 1. Осталось найти вероятность:
Как видите, в последней задаче пришлось выписывать 16 вариантов. Вы уверены, что сможете выписать их без единой ошибки? Лично я - не уверен. Поэтому давайте рассмотрим второй способ решения.
Специальная формула вероятности
Итак, в задачах с монетами есть собственная формула вероятности. Она настолько простая и важная, что я решил оформить ее в виде теоремы. Взгляните:
Теорема. Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле:
Где C n k - число сочетаний из n элементов по k , которое считается по формуле:
Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ получится один и тот же.
На первый взгляд, теорема кажется слишком громоздкой. Но стоит чуть-чуть потренироваться - и вам уже не захочется возвращаться к стандартному алгоритму, описанному выше.
Задача. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза.
По условию задачи, всего бросков было n = 4. Требуемое число орлов: k = 3. Подставляем n и k в формулу:
Задача. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.
Снова выписываем числа n и k . Поскольку монету бросают 3 раза, n = 3. А поскольку решек быть не должно, k = 0. Осталось подставить числа n и k в формулу:
Напомню, что 0! = 1 по определению. Поэтому C 3 0 = 1.
Задача. В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.
Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза (тогда решек будет 1), либо 4 (тогда решек вообще не будет). Найдем вероятность каждого из этих событий.
Пусть p 1 - вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда n = 4, k = 3. Имеем:
Теперь найдем p 2 - вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае n = 4, k = 4. Имеем:
Чтобы получить ответ, осталось сложить вероятности p 1 и p 2 . Помните: складывать вероятности можно только для взаимоисключающих событий. Имеем:
p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125
Задача 1 . Игральная кость брошена 6 раз. Найти вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «шестерка».
Решение. Шестикратное бросание кости можно рассматривать как последовательность независимых испытаний с вероятностью успеха («шестерки»), равной 1/6, и вероятностью неудачи - 5/6. Искомую вероятность вычисляем по формуле .
Задача 2 . Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более, чем 2 раза.
Решение. Искомая вероятность равна сумме вероятностей трех событий, состоящих в том, что герб не выпадет ни разу, либо один раз, либо два раза:
Р(А) = Р 6 (0) + Р 6 (1) + Р 6 (2) =.
Задача 3 . Аудитор обнаруживает финансовые нарушения у проверяемой фирмы с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что среди 4 фирм-нарушителей будет выявлено больше половины.
Решение . Событие состоит в том, что из 4 фирм-нарушителей будет выявлено три или четыре, т.е.
Задача 4 . Монета подбрасывается 3 раза. Найти наиболее вероятное число успехов (выпадений герба).
Решение. Возможными значениями для числа успехов в трех рассматриваемых испытаниях являются m = 0, 1, 2 или 3. Пусть A m - событие, состоящее в том, что при трех подбрасываниях монеты герб появляется m раз. По формуле Бернулли легко найти вероятности событий A m (см. таблицу):
Из этой таблицы видно, что наиболее вероятными значениями являются числа 1 и 2 (их вероятности равны 3/8). Этот же результат можно получить и из теоремы 2. Действительно, n=3, p=1/2, q=1/2. Тогда
,
т.е.
.
Задача 5. В результате каждого визита страхового агента договор заключается с вероятностью 0,1. Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 25 визитов.
Решение. Имеем n=10, p=0,1, q=0,9. Неравенство для наиболее вероятного числа успехов принимает вид: 250,1–0,9m*250,1+0,1 или 1,6m*2,6. У этого неравенства только одно целое решение, а именно, m*=2.
Задача 6 . Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно три бракованные детали? Какова вероятность обнаружить не меньше трех бракованных деталей?
Решение. Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» р=0,005. Применяя пуассоновское приближение с λ=np=5, получаем
1) P 1000 (3);
2)
P 1000 (m3)=1P 1000 (m<3)=11
,
и Р 1000 (3)0,14; Р 1000 (m3)0,875.
Задача 7 . Вероятность покупки при посещении клиентом магазина составляет р=0,75. Найти вероятность того, что при 100 посещениях клиент совершит покупку ровно 80 раз.
Решение
.
В данном случае n=100, m=80, p=0,75, q=0,25.
Находим
,
и определяем(x)=0,2036,
тогда искомая вероятность равна
Р 100 (80)=
.
Задача 8. Страховая компания заключила 40000 договоров. Вероятность страхового случая по каждому из них в течение года составляет 2%. Найти вероятность, что таких случаев будет не более 870.
Решение.
По условию задачи n=40000,
p=0,02.
Находим np=800,
.
Для вычисления Р(m£870)
воспользуемся интегральной теоремой
Муавра-Лапласа:
Р(0
.
Находим по таблице значений функции Лапласа:
Р(0 Задача
9
.
Вероятность
появления события в каждом из 400
независимых испытаний равна 0,8. Найти
такое положительное число ,
чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная
величина отклонения относительной
частоты появления события от его
вероятности не превышала . Решение.
По условию задачи p=0,8,
n=400. Используем следствие из интегральной
теоремы Муавра-Лапласа:
Задача
10.
Курс
акции за день может подняться на 1 пункт
с вероятностью 50%, опуститься на 1 пункт
с вероятностью 30% и остаться неизменным
с вероятностью 20%. Найти вероятность
того, что за 5 дней торгов курс поднимется
на 2 пункта. Решение.
Возможны
только следующие два варианта развития
событий: 1) курс растет 2
дня, ни разу не падает, не меняется 3 дня; 2) курс растет 3
дня, падает 1 день, не меняется 1 день.
.
Следовательно,
.
По таблице для функции Лапласа определяем
.
Отсюда=0,0516.