Задачи для самостоятельного

1. Можно ли доску размером 10 × 10 покрыть фигурами

2. В каждой клетке квадрата 9 × 9 сидит жук. По команде каждый жук перелетает на одну из соседних по диагонали клеток. Доказать, что по крайней мере 9 клеток после этого окажутся свободными.

3. Можно ли выложить квадрат 8 × 8, используя 15 прямоугольников 1 × 4 и один

уголок вида ?

4. Можно ли сложить квадрат 6 × 6 с помощью 11 прямоугольников 1 × 3 и одного

уголка вида ?

Ответы к задачам для самостоятельного решения

1. Шахматная раскраска. Каждая такая фигурка занимает нечётное число чёрных клеток, значит все 25 фигурок тоже занимают нечётное число чёрных клеток.

2. В каждой клетке квадрата 9 × 9 сидит жук.

По команде каждый жук перелетает на одну из соседних по диагонали клеток. Доказать, что по крайней мере 9 клеток после этого окажутся свободными.

3. Раскраска «зеброй». Прямоугольники занимают чётное число чёрных клеток, а уголок – нечётное.

4. Предположим, что квадрат удалось сложить. Раскрасим клетки в три цвета «по диагоналям», причём так, чтобы, две «крайних» клетки уголка оказались одного цвета (синего). Прямоугольники будут занимать ещё 11 синих клеток, значит все фигурки вместе занимают 13 синих клеток, но синих клеток на доске всего 12.

Контактная информация

Создатели: Бондарева Полина и Набиева Зейнаб

Контактные телефоны: 8-905-660-25-23, 8-

Способ раскраски при решении задач

Г. Нижний Новгород

Лицей №180

Мы выбрали эту тему, так как, она нас большего всего заинтересовала, и нам захотелось побольше узнать как же правильно оформлять свои записи при решении таких задач на олимпиадах.

Мы хотим рассказать о разных видах раскрасок. Начнем с вида «Зебра». Она чаще всего используют для задач, где всего два вида данных. Когда раскраску используют в задачах, то как правило пользуются для решения белым и черным цветом или другими противоположными друг для друга цветами.

Бывают такие задачи, для которых характерна

другая раскраска: «в горошек». С помощью данной раскраски можно решать задачи разной сложности. На рисунке каждое данное (разные предметы, используемые в задаче) раскрашивается определенным цветом (цвет можно выбрать любой). На первый взгляд, может показаться, что у этой раскраски нет трудностей, но это не так, когда задается большое количество данных, то такой вид решения задачи будет не оптимальным. По мимо этих видов, существуют еще раскраска «трехцветная» или «по диагоналям», используемая для задач среднего уровня. Смысл этой раскраски заключается в том, что данных обязательно должно быть три. Для данного нужно выбрать цвет и на рисунке

отметить его своим цветом. Для задач не

может использоваться одна и та же раскраска, так как для каждой задачи существует свой способ раскраски, о которых мы рассказали.

1. Можно ли выложить шахматную доску тридцатью двумя доминошками так, чтобы 17 из них были расположены горизонтально, а 15 – вертикально?

Решение: Можно использовать раскраску «зебра». Горизонтальные доминошки занимают нечётное число чёрных клеток (а именно – 17), а вертикальные – чётное.

2. Фигура «верблюд» ходит по шахматной доске ходом типа (1, 3). Можно ли пройти ходом «верблюда» с произвольного поля на соседнее?

Решение: Ход верблюда не меняет цвета клетки, на которой он стоит, поэтому на соседнюю клетку перейти он не сможет.

3. Замок имеет форму правильного треугольника, разделенного на 25 маленьких залов той же формы. В каждой стене между залами проделана дверь. Путник ходит по

замку, не посещая более одного раза ни один из

залов. Найти наибольшее число залов, которое ему удастся посетить.

Решение: 21 зал. Раскрасим треугольник в шахматном порядке. Залов одного цвета (например чёрного) – 15, а другого цвета (белого) – 10. Заметим, что в чёрном зале путник может находиться с самого начала, или

попасть в него из белого, поэтому он побывает

не более, чем в 11 чёрных залах. Таким образом, не менее 4 чёрных залов останутся не посещёнными. Пример, когда путник не посетит ровно четыре зала, строится без труда.

4. Дана доска 12 × 12. В левом нижнем углу стоят 9 шашек, образуя квадрат 3 × 3. За один ход можно выбрать какие-то две шашки и

переставить одну из них симметрично

относительно другой (не выходя при этом за пределы доски). Можно ли за несколько ходов переместить эти шашки так, чтоб они образовали квадрат 3 × 3 в правом нижнем углу?

Решение: Нет

(шахматная раскраска –

шашки остаются на клетках тех же цветов).

5. Из доски 8 × 8 вырезали угловую клетку. Можно ли оставшуюся часть разрезать на прямоугольники

Решение: трёхцветная раскраска

Главная цель внеклассных занятий по математике - углубление знаний, получаемых школьниками на уроках, повышение интереса к предмету. Олимпиады - наиболее распространенная и яркая форма внеклассной работы с одаренными детьми. Для успешного выступления на олимпиаде необходимо прорешать разнотипные задачи. Одними из таких задач являются задачи на раскраску.

Подготовка к олимпиаде

Раскраска дома
1. В каждой вершине правильного 100-угольника поставлены фишки: 76 красных и 24 синих. Доказать, что найдутся 4 красные фишки, образующие квадрат.
Решение . Фишки образуют 25 квадратов. Синие фишки являются вершинами не более чем в 24 квадратах, поэтому хотя бы один квадрат будет красным.
2. Клетки прямоугольника 5 × 41 окрашены в два цвета. Доказать, что можно выбрать 3 строки и 3 столбца так, чтобы их пересечения имели один цвет.
Решение . Будем считать, что в прямоугольнике 41 столбец, по пять клеток в каждом. В каждом столбце пометим 3 одноцветные клетки. Это можно сделать 10 способами. Значит, найдется
5 столбцов с одинаково помеченными клетками. Из них хотя бы в трех помечены клетки одного цвета.
3. Клетки таблицы 15 × 15 окрашены в три цвета. Доказать, что найдется 2 строки, в которых клеток одного цвета поровну.
Решение . Допустим противное. Тогда во всех строках клеток каждого цвета разное количество, а всего в таблице клеток одного цвета не менее
0 + 1 + ... + 14 = 105; клеток всех трех цветов не менее 315, а в таблице 225 клеток - противоречие.

Найти раскраску
1. Таблицу 4 × 4 раскрасить в 4 цвета так, чтобы на любой горизонтали, вертикали и диагонали были бы все цвета.
Ответ: рис. 1.

2. Сколько клеток таблицы 8 × 8 можно закрасить так, чтобы никакие 3 центра закрашенных клеток не лежали на одной прямой?
Решение . Можно закрасить 16 клеток (рис. 2).

Раскрасить больше 16 клеток нельзя: тогда на какой-то горизонтали появится третья окрашенная клетка.
3. Найти все развертки куба, которыми можно покрыть плоскость без пропусков и перекрытий.
Ответ: плоскость можно покрыть паркетом из фигур, изображенных на рисунке 3.

Сколько способов?
1. Каждую грань кубика разбили на 4 одинаковых квадрата и раскрасили квадраты в несколько цветов так, чтобы квадраты, имеющие общую сторону, были разных цветов. Какое наибольшее количество квадратов одного цвета могло получиться?
Решение. Это количество будет наибольшим, когда боковая поверхность куба покрашена в шахматном порядке. Основание нельзя покрасить в тот цвет, который на боковой поверхности был использован 8 раз (рис. 4).

2. Сколькими способами можно покрасить в 6 цветов грани куба?
Решение . Любую грань можно покрасить в первый цвет (пусть это верхняя грань). Для нижней грани остается 5 вариантов. Любую грань боковой поверхности можно покрасить в третий цвет. Для остальных граней остается 3! = 6 вариантов. Итого: 5×6 = 30.
3. Сколькими способами можно окрасить в 6 цветов 6 равных секторов диска?
Решение . Любой сектор может быть окрашен в любой цвет. Для остальных секторов остается 5! = 120 вариантов.

Раскраска - метод решения

1. Можно ли таблицу 6 × 6 с вырезанными противоположными углами покрыть костями домино размером 1 × 2? Кости не должны перекрываться и выступать за края таблицы.
Решение. Раскрасим таблицу в шахматном порядке (рис. 5).
Получим 18 белых и 16 черных клеток. Кость домино покрывает одну белую и одну черную клетку, следовательно, на доске можно разместить 16 костей, и две белые клетки не будут покрыты доминошками.
2. Учитель попросил ученика вырезать из картонной шахматной доски (8 × 8) 8 квадратов размером 2 × 2 (с условием: не портить оставшиеся клетки). Потом учитель вспомнил, что ему нужно 9 квадратов. Может ли он из остатков доски вырезать девятый квадрат? А десятый?

Решение . Решающее свойство: при вырезании одного квадрата может быть испорчен только один закрашенный. Следовательно, вырезав 8 квадратов, ученик испортил не более 8 закрашенных. Если ученик вырезал 8 закрашенных квадратов, кроме одного углового, то из остатков доски еще один квадрат вырезать можно, а два - не вырезать (рис. 6).

3. Можно ли таблицу 6 × 6 с вырезанными противоположными углами обойти ходом шахматного коня (побывав в каждой клетке один раз)?
Решение. Нет. Клетка, откуда идет конь, и клетка, куда он идет, разного цвета (см. рис. 5).
Эти задачи предлагались школьникам на олимпиадах разных лет. Подобные задачи встречаются в заданиях международной математической олимпиады «Кенгуру».

Дана шахматная доска размером 8×8, из которой были вырезаны два противоположных по диагонали угла, и 31 кость домино; каждая кость домино может закрыть два квадратика на поле. Можно ли вымостить костями всю доску? Дайте обоснование своему ответу.

Решение

С первого взгляда кажется, что это возможно. Доска 8×8, следовательно, есть 64 клетки, две мы исключаем, значит остается 62. Вроде бы 31 кость должна поместиться, правильно?

Когда мы попытаемся разложить домино в первом ряду, то в нашем распоряжении только 7 квадратов, одна кость переходит на второй ряд. Затем мы размещаем домино во втором ряду, и опять одна кость переходит на третий ряд.

В каждом ряду всегда будет оставаться одна кость, которую нужно перенести на следующий ряд, не имеет значения сколько вариантов раскладки мы опробуем, у нас никогда не получится разложить все кости.

Шахматная доска делится на 32 черные и 32 белые клетки. Удаляя противоположные углы (обратите внимание, что эти клетки окрашены в один и тот же цвет), мы оставляем 30 клеток одного и 32 клетки другого цвета. Предположим, что теперь у нас есть 30 черных и 32 белых квадрата.

Каждая кость, которую мы будем класть на доску, будет занимать одну черную и одну белую клетку. Поэтому 31 кость домино займет 31 белую и 31 черную клетки. Но на нашей доске всего 30 черных и 32 белых клетки. Поэтому разложить кости невозможно.

Разбор взят из перевода книги Г. Лакман Макдауэлл и предназначен исключительно для ознакомления.
Если он вам понравился, то рекомендуем купить книгу

Задача 1: Можно ли квадрат 5 × 5 разрезать на прямоугольники 1 × 2 (доминошки).Задача 2: Из шахматной доски 8 × 8 вырезаны противоположные угловые клетки. Можно ли остаток разрезать на прямоугольники 1 × 2 (доминошки)? Решение: Нет. Каждая доминошка занимает одну чёрную и одну белую клетки, а на доске без углов чёрных и белых клеток разное число.Задача 3: Из противоположных углов доски 10 × 10 вырезаны два квадрата 3 × 3. Можно ли остаток разрезать на доминошки?Задача 4: Придумать связную фигуру на шахматной доске, в которой поровну черных и белых клеток, но которую нельзя разбить на доминошки.Задача 5: Можно ли разрезать квадрат 10 × 10 на 25 фигур ?Задача 6: Решение: Раскрасьте доску в шахматном порядке. Чёрных клеток окажется чётное число, а в каждую фигурку их попадёт одна или три.Задача 7: Можно ли разрезать квадрат 10 × 10 на 25 фигур ? Решение:

Раскрасьте доску в четыре цвета (см. рисунок). Каждая фигурка занимает по одной клетке каждого цвета, а клеток первого и второго цвета разное число.

Указание: раскрасьте доску в три цвета.

b) ? Решение: При n, кратных четырём.

c) для любого n. Решение:

Раскрасьте в n цветов.

1) m и n представляются в виде ka + lb (k и l - целые неотрицательные числа)

2) m и n делится на a.

3) m или n делится на b.

a) прямоугольник 2 × n - непрочный

b) прямоугольник 3 × n - непрочный

c) прямоугольник 4 × n - непрочный

d) прямоугольники 5 × 6 и 6 × 8 - прочные

e) если прямоугольник m × n - прочный, то и прямоугольник m × (n + 2) - прочный.

f) * прямоугольник 6 × 6 - непрочный

g) Какие прямоугольники являются прочными, а какие нет? Решение: f) Подсказка: каждая линия в квадрате 6 × 6 пересекает чётное число доминошек.

g) Все прямоугольники m × n, где mn чётно, m,n ≥ 5, кроме 6 × 6.

Уголком называется фигура вида .

a) Можно ли прямоугольник 5 × 9 разбить на уголки?

b) Доказать, что прямоугольник со сторонами,большими 100 и площадью, делящейся на 3, можно разбить на уголки.

c) Какие прямоугольники можно разбить на уголки, а какие - нет?

Можно ли доску 2 n × 2 n без угловой клетки разбить на уголки? Решение: Да, можно. Разбиение строится по индукции.