Определение вероятности. и без возвращения элементов

А также научились решать типовые задачи с независимыми событиями, и сейчас последует гораздо более интересное продолжение, которое позволит не только освоить новый материал, но и, возможно, окажет практическую житейскую помощь.

Кратко повторим, что такое независимость событий: события и являются НЕзависимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления либо непоявления другого события. Простейший пример – подбрасывание двух монет. Вероятность выпадения орла либо решки на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты.

Понятие зависимости событий вам тоже знакомо и настал черёд заняться ими вплотную.

Сначала рассмотрим традиционный набор, состоящий из двух событий: событие является зависимым , если помимо случайных факторов его вероятность зависит от появления либо непоявления события . Вероятность события , вычисленная в предположении того, что событие уже произошло , называется условной вероятностью наступления события и обозначается через . При этом события и называют зависимыми событиями (хотя, строго говоря, зависимо только одно из них) .

Карты в руки:

Задача 1

Из колоды в 36 карт последовательно извлекаются 2 карты. Найти вероятность того, что вторая карта окажется червой, если до этого:

а) была извлечена черва;
б) была извлечена карта другой масти.

Решение : рассмотрим событие: – вторая карта будет червой. Совершенно понятно, что вероятность этого события зависит от того, черву или не черву вытянули ранее.

а) Если сначала была извлечена черва (событие ), то в колоде осталось 35 карт, среди которых теперь находится 8 карт червовой масти. По классическому определению :
при условии , что до этого тоже была извлечена черва.

б) Если же сначала была извлечена карта другой масти (событие ), то все 9 черв остались в колоде. По классическому определению :
– вероятность того, что вторая карта окажется червой при условии , что до этого была извлечена карта другой масти.

Всё логично – если вероятность извлечения червы из полной колоды составляет , то при извлечении следующей карты аналогичная вероятность изменится: в первом случае – уменьшится (т.к. черв стало меньше), а во втором – возрастёт: (т.к. все червы остались в колоде).

Ответ :

Зависимых событий, разумеется, может быть и больше. Пока задача не остыла, добавим ещё одно: – третьей картой будет извлечена черва. Предположим, что произошло событие , а затем событие ; тогда в колоде осталось 34 карты, среди которых 7 черв. По классическому определению :
– вероятность наступления события при условии , что до этого были извлечены две червы.

Для самостоятельной тренировки:

Задача 2

В конверте находится 10 лотерейных билетов, среди которых 3 выигрышных. Из конверта последовательно извлекаются билеты. Найти вероятности того, что:

а) 2-й извлечённый билет будет выигрышным, если 1-й был выигрышным;
б) 3-й будет выигрышным, если предыдущие два билета были выигрышными;
в) 4-й будет выигрышным, если предыдущие билеты были выигрышными.

Краткое решение с комментариями в конце урока.

А теперь обратим внимание на один принципиально важный момент: в рассмотренных примерах требовалось найти лишь условные вероятности, при этом предыдущие события считались достоверно состоявшимися . Но ведь в действительности и они являются случайными! Так, в «разогретой» задаче извлечение червы из полной колоды – есть событие случайное, вероятность которого равна .

На практике гораздо чаще требуется отыскать вероятность совместного появления зависимых событий. Как, например, найти вероятность события , состоящего в том, что из полной колоды будет извлечена черва и затем ещё одна черва? Ответ на этот вопрос даёт

теорема умножения вероятностей зависимых событий : вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло:

В нашем случае:
– вероятность того, что из полной колоды будут извлечены 2 червы подряд.

Аналогично:
– вероятность того, что сначала будет извлечена карта другой масти и затем черва.

Вероятность события получилась заметно больше вероятности события , что, в общем-то, было очевидно безо всяких вычислений.

И, само собой, не нужно питать особых надежд, что из конверта с десятью лотерейными билетами (Задача 2) вы вытяните 3 выигрышных билета подряд:

Да, совершенно верно – теорема умножения вероятностей зависимых событий естественным образом распространяется и на бОльшее их количество.

Закрепим материал несколькими типовыми примерами:

Задача 3

В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны наудачу один за другим извлекают два шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что:

а) оба шара будут белыми;
б) оба шара будут чёрными;
в) сначала будет извлечён белый шар, а затем – чёрный.

Обратите внимание на уточнение «не возвращая их обратно». Этот комментарий дополнительно подчёркивает тот факт, что события зависимы. Действительно, а вдруг извлечённые шары возвращают обратно? В случае возвратной выборки вероятности извлечения чёрного и белого шара меняться не будут, а в такой задаче уже следует руководствоваться теоремой умножения вероятностей НЕзависимых событий .

Решение : всего в урне: 4 + 7 = 11 шаров. Поехали:

а) Рассмотрим события – первый шар будет белым, – второй шар будет белым и найдём вероятность события , состоящего в том, что 1-й шар будет белым и 2-й белым.

По классическому определению вероятности: . Предположим, что белый шар извлечён, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 3 белых, поэтому:
– вероятность извлечения белого шара во 2-м испытании при условии, что до этого был извлечён белый шар.

– вероятность того, что оба шара будут белыми.

б) Найдём вероятность события , состоящего в том, что 1-й шар будет чёрным и 2-й чёрным

По классическому определению: – вероятность того, что в 1-м испытании будет извлечён чёрный шар. Пусть извлечён чёрный шар, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 6 чёрных, следовательно: – вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен чёрный шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что оба шара будут чёрными.

в) Найдём вероятность события (сначала будет извлечён белый шар и затем чёрный)

После извлечения белого шара (с вероятностью ) в урне останется 10 шаров, среди которых 3 белых и 7 чёрных, таким образом: – вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен белый шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– искомая вероятность.

Ответ :

Данную задачу нетрудно проверить через теорему сложения вероятностей событий, образующих полную группу . Для этого найдём вероятность 4-го недостающего события: – того, что сначала будет извлечён чёрный шар и затем белый.

События образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:
,что и требовалось проверить.

И сразу же предлагаю проверить, насколько хорошо вы усвоили изложенный материал:

Задача 4

Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут извлечены два туза подряд?

Задача 5

В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара. Найти вероятность того, что

а) третий шар окажется белым, если до этого был извлечён черный и красный шар;
б) первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.

Решения и ответы в конце урока.

Надо сказать, что многие из рассматриваемых задач разрешимы и другим способом, но чтобы не возникло путаницы, пожалуй, вообще о нём умолчу.

Наверное, все заметили, что зависимые события возникают в тех случаях, когда осуществляется некоторая цепочка действий. Однако сама по себе последовательность действий ещё не гарантируют зависимость событий. Пусть, например, студент наугад отвечает на вопросы какого-нибудь теста – данные события хоть и происходят одно за другим, но незнание ответа на один вопрос никак не зависит от незнания других ответов =) Хотя, закономерности тут, конечно, есть =) Тогда совсем простой пример с неоднократным подбрасыванием монеты – сей увлекательный процесс даже так и называется: повторные НЕзависимые испытания .

Я как мог, старался отсрочить этот момент и подбирать разнообразные примеры, но если в задачах на теорему умножения независимых событий хозяйничают стрелки, то здесь происходит самое настоящее нашествие урн с шарами =) Поэтому никуда не деться – снова урна:

Задача 6

Из урны, в которой находится 6 белых и 4 черных шара, извлекаются наудачу один за другим три шара. Найти вероятность того, что:

а) все три шара будут черными;
б) будет не меньше двух шаров черного цвета.

Решение :всего: 6 + 4 = 10 шаров в урне.

Событий в данной задаче будет многовато, и в этой связи целесообразнее использовать смешанный стиль оформления, обозначая прописными латинскими буквами только основные события. Надеюсь, вы уже поняли, по какому принципу подсчитываются условные вероятности.

а) Рассмотрим событие: – все три шара будут черными.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

б) Второй пункт интереснее, рассмотрим событие: – будет не меньше двух шаров черного цвета. Данное событие состоит в 2 несовместных исходах: либо все шары будут чёрными (событие ) либо 2 шара будут чёрным и 1 белым – обозначим последнее событие буквой .

Событие включается в себя 3 несовместных исхода:

в 1-м испытании извлечён белый и во 2-м и в 3-м испытаниях – чёрные шары
или
и во 2-м – БШ и в 3-м – ЧШ
или
в 1-м испытании извлечён ЧШ и во 2-м – ЧШ и в 3-м – БШ.

Желающие могут ознакомиться с более трудными примерами из сборника Чудесенко , в которых перекладываются несколько шаров. Особым любителям предлагаю задачи повышенной комбинационной сложности – с двумя последовательными перемещениями шаров из 1-й во 2-ю урну, из 2-й в 3-ю и финальным извлечением шара из последней урны – смотрите последние задачи файла Дополнительные задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей . Кстати, там немало и других интересных заданий.

А в заключение этой статьи мы разберём прелюбопытнейшую задачу, которой я вас заманивал на самом первом уроке =) Даже не разберём, а проведём небольшое практическое исследование. Выкладки в общем виде будут слишком громоздкие, поэтому рассмотрим конкретный пример:

Петя сдаёт экзамен по теории вероятностей, при этом 20 билетов он знает хорошо, а 10 плохо. Предположим, в первый день экзамен сдаёт часть группы, например, 16 человек, включая нашего героя. В общем, ситуация до боли знакома: студенты один за другим заходят в аудиторию и тянут билеты.

Очевидно, что последовательное извлечение билетов представляет собой цепь зависимых событий, и возникает насущный вопрос : в каком случае Пете с бОльшей вероятностью достанется «хороший» билет – если он пойдёт «в первых рядах», или если зайдёт «посерединке», или если будет тянуть билет в числе последних? Когда лучше заходить?

Сначала рассмотрим «экспериментально чистую» ситуацию, в которой Петя сохраняет свои шансы постоянными – он не получает информацию о том, какие вопросы уже достались однокурсникам, ничего не учит в коридоре, ожидая своей очереди, и т.д.

Рассмотрим событие: – Петя зайдёт в аудиторию самым первым и вытянет «хороший» билет. По классическому определению вероятности: .

Как изменится вероятность извлечения удачного билета, если пропустить вперёд отличницу Настю? В этом случае возможны две несовместные гипотезы:

– Настя вытянет «хороший» (для Пети) билет;
– Настя вытянет «плохой» билет, т.е. увеличит шансы Пети.

Событие же (Петя зайдёт вторым и вытянет «хороший» билет) становится зависимым .

1) Предположим, что Настя с вероятностью «увела» у Пети один удачный билет. Тогда на столе останутся 29 билетов, среди которых 19 «хороших». По классическому определению вероятности:

2) Теперь предположим, что Настя с вероятностью «избавила» Петю от 1-го «плохого» билета. Тогда на столе останутся 29 билетов, среди которых по-прежнему 20 «хороших». По классическому определению:

Используя теоремы сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий, вычислим вероятность того, что Петя вытянет «хороший» билет, будучи вторым в очереди:

Вероятность… осталось той же! Хорошо, рассмотрим событие: – Петя пойдёт третьим, пропустив вперёд Настю и Лену, и вытащит «хороший» билет.

Здесь гипотез будет побольше: дамы могут «обокрасть» джентльмена на 2 удачных билета, либо наоборот – избавить его от 2 неудачных, либо извлечь 1 «хороший» и 1 «плохой» билет. Если провести аналогичные рассуждения, воспользоваться теми же теоремами, то… получится такое же значение вероятности !

Таким образом, чисто с математической точки зрения, без разницы, когда идти – первоначальные вероятности останутся неизменными. НО . Это только усреднённая теоретическая оценка, так, например, если Петя пойдёт последним, то это вовсе не значит, что ему останутся на выбор 10 «хороших» и 5 «плохих» билетов в соответствии с его изначальными шансами. Данное соотношение может варьироваться в лучшую или худшую сторону, однако всё же маловероятно, что среди билетов останется «одна халява», или наоборот – «сплошной ужас». Хотя «уникальные» случаи не исключены – всё-таки тут не 3 миллиона лотерейных билетов с практически нулевой вероятностью крупного выигрыша. Поэтому «невероятное везение» или «злой рок» будут слишком преувеличенными высказываниями.

Математика и «чистый эксперимент» – это хорошо, но какой стратегии и тактики всё же выгоднее придерживаться в реальных условиях ? Безусловно, следует принять во внимание субъективные факторы, например, «скидку» преподавателя для «храбрецов» или его усталость к концу экзамена. Зачастую эти факторы могут быть даже решающими, но в заключительных рассуждениях я постараюсь не сбрасывать со счетов и дополнительные вероятностные аспекты:

Если Вы готовы к экзамену хорошо, то, наверное, лучше идти «в первых рядах». Пока билетов полный комплект, постулат «маловозможные события не происходят » работает на Вас гораздо в бОльшей степени. Согласитесь, что намного приятнее иметь соотношение «30 билетов, среди которых 2 плохих», чем «15 билетов, среди которых 2 плохих». А то, что два неудачных билета на отдельно взятом экзамене (а не по средней теоретической оценке!) так и останутся на столе – вполне и вполне возможно.

Теперь рассмотрим «ситуацию Пети» – когда студент готов к экзамену достаточно хорошо, но с другой стороны, и «плавает» тоже неплохо. Иными словам, «больше знает, чем не знает». В этом случае целесообразно пропустить вперёд 5-6 человек, и ожидать подходящего момента вне аудитории. Действуйте по ситуации. Довольно скоро начнёт поступать информация, какие билеты вытянули однокурсники (снова зависимые события!) , и на «заигранные» вопросы можно больше не тратить силы – учите и повторяйте другие билеты, повышая тем самым первоначальную вероятность своего успеха. Если «первая партия» экзаменующихся «избавила» вас сразу от 3-4 трудных (лично для Вас) билетов, то выгоднее как можно быстрее попасть на экзамен – именно сейчас шансы значительно возросли. Постарайтесь не упускать момент – всего несколько пропущенных вперёд человек, и преимущество, скорее всего, растает. Если же наоборот, «плохих» билетов вытянули мало – ждите. Через несколько человек эта «аномалия» опять же с большой вероятностью, если не исчезнет, то сгладится в лучшую сторону. В «обычном» и самом распространённом случае выгода тоже есть: расклад «24 билета/8 плохих» будет лучше соотношения «30 билетов/10 плохих». Почему? Трудных билетов теперь не десять, а восемь! С удвоенной энергией штудируем материал!

Если Вы готовы неважно или плохо, то само собой, лучше идти в «последних рядах» (хотя возможны и оригинальные решения, особенно, если нечего терять) . Существует небольшая, но всё же ненулевая вероятность, что Вам останутся относительно простые вопросы + дополнительная зубрёжка + шпоры, которые отдадут отстрелявшиеся сокурсники =) И, да – в совсем критической ситуации есть ещё следующий день, когда экзамен сдаёт вторая часть группы;-)

Какой можно сделать вывод? Субъективный оценочный принцип «кто идёт раньше, тот готов лучше» находит внятное вероятностное обоснование!

Комбинаторика – раздел математики, занимающийся решением задач, связанных с выбором и расположением элементов из некоторой совокупности .

В классической теории вероятностей комбинаторика, в основном, используется для выбора и подсчета числа комбинаций событий с идентичными свойствами. Кроме того, первоначально комбинаторика применялась для нахождения вероятностей событий, обладающих различного вида симметриями.

Пример 1 . Сколько существует различных k - мерных векторов, координаты которых составлены из чисел множества А =  1, 2, ..., n .

Решение . Будем исходить из того, что два вектора считаются равными, если соответствующие координаты представлены одинаковыми цифрами, иначе  различные.

Число различных k -мерных векторов находим следующим образом.

Первой координатой может являться любое из n чисел множества А , второй - также любое из n чисел, то есть, для каждого фиксированного числа первой координаты имеем n вариантов для второй. Таким образом, всего имеем n  n = n 2 двумерных различных векторов, далее по индукции получаем, что всего различных k -мерных векторов будет n k .

Пример 2 . Сколько существует различных трехзначных чисел?

Решение . Всего цифр десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. На первом месте может быть любая цифра, кроме нуля, на втором и третьем месте любая из десяти цифр. Следовательно, всего различных чисел 9  10 2 = 900.

Пример 3 . Сколько существует различныхk - мерных векторов, у которых числовые значения координат, взятых из множестваА =1, 2, ...,n , не повторяются.

Решение . Аналогично примеру 1, первой координатой может являться любая из n цифр множества А , второй - любая из оставшихся (n – 1) цифр, не совпадающей с первой, и т.д. Таким образом, получаем всего

различных векторов.

В частном случае, при k = n имеем
различных векторов. Это число обозначается
 (эн - факториал).

Замечание. Часто n ! называют перестановками, так как n ! количественно определяет число различных перестановок элементов, из которых они состоят. Например, число перестановок трехтомного собрания сочинений равно шести: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1), где цифра означает номер тома.

Пример 4. Сколько существует различных k - мерных векторов, у которых числовые значения координат, взятых из множества А = 1, 2, ..., n , не только не повторяются, но и их координаты принадлежат различным подмножествам множества А . Напомним, что два множества считаются различными, если они отличаются хотя бы одним элементом.

Решение . Пусть х – число таких k - мерных векторов. Возьмем один из них. Всего существует k ! перестановок координат этого вектора. Умножая k ! на х , получим число векторов, удовлетворяющих условию примера 3, но тогда

.

Отсюда искомое число векторов равно

,

.

Если k  n , то х = 0.

Каждый из примеров представляет собой достаточно распространенный способ выбора в комбинаторике.

Мы будем придерживаться «урновой» схемы: имеется сосуд, в котором находятся n тщательно перемешанных шаров различающихся только своими порядковыми номерами. Если из урны извлечено k шаров, то будем говорить, что имеем выборку объема k . Шары из урны извлекаются случайным образом, подобно лототрону, при этом извлечение шаров может осуществляться с возвращением или без возвращения.

При выборе с возвращением фиксируется номер шара, а сам он возвращается в урну; при выборе без возвращения - шар в урну не возвращается, то есть выборка не содержит повторяющихся шаров.

Итак, из урны последовательно извлекается k шаров. Сколько различных вариантов выборки объема k можно получить, если выбор осуществляется:

а) с возвращением, и порядок следования шаров в выборке важен. Число вариантов равно n k . Этот способ называется простым случайным выбором, и соответствует примеру 1;

б) без возвращения, и порядок следования элементов в выборке важен. Число вариантов равно . Способ выбора называется размещениями . В соответствие с примером 3, имеем

при k  n ,
;

в) без возвращения, порядок следования элементов в выборке не важен. Способ выбора называется сочетаниями , число вариантов равно и, в соответствие с примером 4, вычисляется по формуле:

,

при k  n 
.

Рассмотрим несколько частных случаев, имеющих самостоятельное значение.

Определение. Выборкой объема k из n элементов с повторениями называется такая выборка, в которой любой из k ее элементов может повториться более одного раза.

Комбинаторика является одним из разделов математики, изучающая задачи расположения, сочетания, выбора объектов в различных ситуациях (условиях).

Иногда обсуждение "перестановок и сочетаний" начинается с вопроса, подобного следующему:

Сколькими способами может одеться человек, комбинируя три рубашки, два галстука и две пары ботинок?

Пусть первая координата указывает вариант выбора рубашки, вторая - галстука, а третья - ботинок.

(1,1,1) (1,1,2) (1,2,1) (1,2,2) для комбинации с первой рубашкой

(2,1,1) (2,1,2) (2,2,1) (2,2,2) для комбинации со второй рубашкой

(3,1,1) (3,1,2) (3,2,1) (3,2,2) для комбинации с третьей рубашкой

Эта совокупность является множеством всех упорядоченных пар.

Теперь понятно, что правильным ответом служит число 3 ∙ 2 ∙ 2 = 12.

Итак, сформулируем общее утверждение:

Основное правило комбинаторики

Пусть необходимо несколько раз произвести выбор. Существует m 1 вариантов при первом выборе, m 2 - при втором, m 3 - при третьем и т.д.

Если каждый раз выбор производится без всяких ограничений, тогда общее число возможностей для всей последовательности выборов равно:

m 1 ∙ m 2 ∙ m 3 ∙ ...

Теперь познакомимся с основными стандартными методами вычислений, используемыми при решении комбинаторных задач.

Рассуждения будем приводить на основе следующего примера:

Пусть урна содержит m различных шаров с номерами от 1 до m . Из неё извлекаются n шаров при соблюдении некоторых условий на способ извлечения. Для каждой модели вычисляются количества всех возможных исходов.

1. Размещение (или упорядоченный выбор)

1.1 Число размещений с возвращением

Шары извлекаются наудачу один за другим, причем каждый вынутый шар возвращается назад в урну прежде, чем будет извлечен следующий. При этом записываются номера шаров в порядке их появления.

Таким образом, мы имеем дело с упорядоченными наборами (a 1 ,...,a n ), в которых каждое a j может принимать любое значение от 1 до m .

ЧАСТЬ 1

ВВЕДЕНИЕ

Лекция 1

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ЦЕЛЬ ЛЕКЦИИ: определить предмет курса; ввести понятия опыта, случайного явления, случайного события, а также вероятности и частоты события; дать классическое определение вероятности и провести классификацию схем выбора при непосредственном подсчете вероятности.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Под опытом понимается некоторая воспроизводимая совокупность условий, в которой наблюдается то или иное явление. Опыт может представлять как одно испытание, так и серию испытаний.

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Примеры случайных явлений: взвешивание тела на аналитических весах, подбрасывание монеты или игрального кубика.

В данных примерах условия опыта неизменны, но результаты опыта варьируются. Эти вариации связаны с воздействием второстепенных факторов, влияющих на исход опыта, но не оговоренных в числе основных условий. На практике существует большой класс задач, в которых интересующий исход опыта зависит от столь большого числа факторов, что учесть их в полном объеме невозможно.

При наблюдении совокупности однородных случайных явлений часто обнаруживается закономерность, получившая название устойчивости частот (бросание монеты при многократном повторении дает число выпадения герба, равное 1/2, бросание игрального кубика дает число выпадений грани с цифрой 6, равное 1/6; процент брака в отлаженном технологическом процессе). Проявление такого рода закономерности при массовом воспроизведении опыта позволяет сделать вывод о том, что отдельныеиндивидуальности случайных явлений тонут в суммарном результате опытов.

Таким образом, базой для применения вероятностных (статистических) методов является свойство устойчивости частот в массовых случайных явлениях. Методы теории вероятностей не позволяют предсказать исход отдельного опыта, но дают возможность предсказать суммарный результат (в среднем) большого числа опытов. К примеру, случайным является движение молекул газа в сосуде, и не представляется возможным предсказать траекторию движения и скорость отдельной молекулы, однако давление газа на стенки сосуда (при большом числе молекул) является неслучайной величиной.

Зарождение теории вероятностей связано с исследованиями Паскаля (1623–1662), Ферма (1601–1665), Гюйгенса (1629–1695) в области теории азартных игр, когда было сформулировано понятие вероятности, математического ожидания. Классическое определение вероятности события было введено Якобом Бернулли (1654–1705), им же был сформулирован закон больших чисел. В дальнейшем основы теории вероятностей закладывались работами таких математиков, как Муавр (1667–1754), Лаплас(1749–1827), Гаусс (1777–1855), Пуассон (1781–1840). Большой вклад в развитие теории вероятностей внесла русская школа математики в лицеП. Л. Чебышева (1821–1894), А. А. Маркова (1856–1922), А. М. Ляпунова (1857–1918), А. Н. Колмогорова(1903–1987).

Случайное событие

Случайное событие – всякий факт, который в результате опыта со случайным исходом может произойти или не произойти.

Примеры: А – появление герба при подбрасывании монеты;В – появление четной цифры при подбрасывании игрального кубика;С – попадание в мишень при выстреле.

Противоположным событию А называется событие, состоящее в невыполнении событияА .

У каждого из событий – разная возможность его появления. В качестве численной меры степени объективной возможности события используется понятие вероятности события . Понятие вероятности события связано с понятием частоты события.

Достоверным называется событие, которое в результате опыта обязательно должно произойти,невозможным называется событие, которое в результате опыта произойти не может. Для достоверного события полагается вероятность, равная 1, для невозможного события – 0. Исходя из этого, диапазон изменения вероятности будет составлять 0 – 1.

Практически невозможным называется событие, вероятность которого не в точности равна 0, но весьма близка к 0. Например: из разрезной азбуки, состоящей из 32 букв, вынимается с возвращением 15 букв. Какова вероятность того, что последовательность этих букв составит фразу "Как молоды мы были"? Данная вероятность составит (1/32) 15 . Событие практически невозможное.

Практически достоверным называется событие, вероятность которого не в точности равна 1, но весьма близка к 1. Такое событие является противоположным практически невозможному. С данными понятиями связывается принцип практической уверенности, который формулируется следующим образом: если вероятность некоторого событияА в данном опыте весьма мала, то можно быть практически уверенным, что при однократном проведении опыта событиеА не произойдет. Выбор вероятности, которая бы считалась достаточной при определении возможности того или иного прогноза, производится каждый раз из практических соображений с учетом стоимости потерь, вызванных ошибочным прогнозом.

Опыт с конечным числом исходов.

Классическое определение вероятности

В ряде опытов, таких, как подбрасывание монеты, подбрасывание игрального кубика, карточные игры, рулетка, извлечение наудачу определенного числа шаров из урны, возможные исходы обладают определенной симметрией к условиям опыта и одинаково возможны (опыты с конечным числом равновероятных исходов). В частности, при подбрасывании "правильного" кубика ни один из элементарных исходов (появление любой цифры: 1,2,3,4,5,6) нельзя считать более предпочтительным, чем другой.

Для таких опытов представляется возможным непосредственно подсчитать вероятность события. Именно при анализе таких опытов и было сформулировано в XVII в. классическое определение вероятности .

Прежде чем сформулировать классическое определение вероятности, введем ряд определений.

Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий , если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них, например герб, цифра (решка) при бросании монеты; попадание, промах при стрельбе; появление 1,2,3,4,5,6 при бросании игральной кости.

Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если исключено их совместное появление (герб и решка при бросании монеты).

Равновозможными событиями называют события, если по условиям симметрии опыта можно считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое (герб или решка при бросании монеты).

Если группа событий обладает всеми тремя свойствами: полноты, равновозможности и несовместности, то такие события называют случаями . Случай называютблагоприятным некоторому событиюА , если появление этого случая влечет за собой появление данного события. Например, при бросании игральной кости есть три случая, благоприятных событиюА , которое состоит в появлении четного числа очков, а именно появлении 2, 4 или 6.

Соответственно опыт, при котором имеет место симметрия равновозможных и исключающих друг друга исходов, получил название схемы случаев (или схемы урн) . Непосредственный подсчет вероятностей в схеме случаев основан на оценке доли благоприятных случаев в их общем числе:

(1.1)

где
– число благоприятных случаев событиюА , n – общее число случаев.

Так как число благоприятных случаев может изменяться от 0 до n , то вероятность события будет изменяться в пределах 0 – 1. Формула (1.1) называетсяклассической формулой , она используется для непосредственного подсчета вероятностей, когда опыт сводится к схеме случаев.

Непосредственный подсчет вероятностей.

Схема выбора с возвращением

и без возвращения элементов

При определении вероятности события по классической формуле (1.1) для определения общего числа случаев и числа благоприятных случаев часто привлекаются элементы комбинаторики. При этом в каждом опыте важным является способ выбора элементов.

Существуют две схемы выбора: схема выбора без возвращения элементов и схема выбора с возвращением элементов. В первом случае извлеченные m элементов (без разницы, по одному или вместе) не возвращаются в исходную совокупность. Во втором случае на каждом шаге элементы извлекаются по одному, фиксируется выбранный элемент, затем он возвращается, и вся исходная совокупность тщательно перемешивается. Таким образом, во втором случае один и тот же элемент может извлекаться неоднократно.

После осуществления выбора элементы могут быть упорядочены или нет. Итак, в классической схеме существует четыре типа опытов. Рассмотрим, каким образом рассчитываются общее число случаев и число благоприятных случаев в каждой схеме.

Схема выбора без возвращения и без упорядочивания порядка следования элементов (схема выбора, приводящая к сочетаниям). Опыт состоит в выборе из исходной совокупности объемомn элементовm элементов без возвращения и без упорядочивания порядка следования элементов. В этом опыте различными исходами будут совокупностиm элементов, отличающиеся друг от друга составом элементов. Количество таких совокупностей (а следовательно, и исходов опыта) определяется числом сочетаний изп элементов поm :

(1.2)

Свойства числа сочетаний:

1)

2)
(свойство симметрии);

3)
(рекуррентное соотношение);

4)
(следствие биномиальной формулы Ньютона).

 Схема выбора без возвращения, но с упорядочиванием порядка следования элементов (схема выбора, приводящая к размещениям). Опыт состоит в выборе из исходной совокупности объемомn элементовт элементов без возвращения, но с упорядочиванием порядка следования элементов. В этом опыте различными исходами будут совокупностит элементов, отличающиеся друг от друга как составом элементов, так и порядком их следования. Количество таких совокупностей (а следовательно, и исходов опыта) определяется числом размещений изп элементов пот :

(1.3)

При
размещения представляют из себя перестановки изп элементов:

 Схема выбора с возвращением и без упорядочивания порядка следования элементов (схема выбора, приводящая к сочетаниям с повторениями). Опыт состоит в выборе из исходной совокупности объемомп элементовт элементов с возвращением и без упорядочивания порядка следования элементов. В этом опыте различными исходами будут совокупностит элементов, отличающиеся друг от друга составом элементов. При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы.Количество таких совокупностей (а следовательно, и исходов опыта) определяется числом сочетаний с повторениями из п элементов по т :

 Схема выбора с возвращением и с упорядочиванием порядка следования элементов (схема выбора, приводящая к размещениям с повторениями). Опыт состоит в выборе из исходной совокупности объемомп элементовт элементов с возвращением и с упорядочиванием порядка следования элементов. В этом опыте различными исходами будут совокупностит элементов, отличающиеся друг от друга как составом элементов, так и порядком следования элементов. При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Количество таких совокупностей (а следовательно, и исходов опыта) определяется числом размещений с повторениями изп элементов пот :

Частота или статистическая вероятность события

Если опыт не сводится к схеме случаев (например, игральная кость несимметрична, и выпадение определенной грани уже не будет равно 1/6), то для определения вероятности события используют понятие частоты события и связь между вероятностью и частотой.

Частотой события А в опыте, состоящем из серии испытаний, называется отношение числа испытаний, в которых появилось событиеА ,к общему числу испытаний.

Частоту события иногда называют статистической вероятностью в отличие от "математической", определенной ранее. Вычисляется частота события по следующей формуле:

(1.4)

где
– число появлений событияА в опыте,N – общее число произведенных испытаний.

При небольшом числе испытаний частота события носит в значительной степени случайный характер и может меняться от одной серии испытаний к другой. Например, рассмотрим опыт, который заключается в том, что монета бросается 10 раз. Интересующее нас событие А – появление герба. Повторяя опыт несколько раз, мы можем фиксировать частоту появления герба: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8. Но с увеличением числа испытаний частота события теряет свой случайный характер, приближаясь к некоторой средней постоянной величине. В случае с симметричной монетой частота будет близка к 1/2.

Как отмечено выше, теория вероятностей исследует явления, которые характеризуются устойчивостью частот. В этом случае между частотой события и вероятностью существует органическая связь. В частности, для схемы случаев частота события при увеличении числа испытаний всегда приближается к его вероятности. И в общем случае справедливым является утверждение, что в серии испытаний частота события приближается к вероятности события с тем большей вероятностью, чем больше произведено испытаний. Для вероятностного приближения одних величин к другим используется специальный термин – "сходимость по вероятности". С учетом этого термина выше приведенное утверждение запишется

(1.5)

Данное утверждение составляет сущность теоремы Я. Бернулли и является следствием более общей закономерности, а именно закона больших чисел.

Вероятность есть числовая характеристика возможности появления случайного события. При этом предполагается, что условия эксперимента могут быть воспроизведены неограниченное число раз. Это нематематическое определение носит скорее интуитивный характер. Придадим ему более точный смысл.

Рассмотрим некоторый случайный эксперимент. Пусть в результате данного эксперимента может произойти несколько исходов (случайных событий). К примеру, при бросании кубика может произойти шесть различных исходов (может выпасть число от 1 до 6).

Назовем исход благоприятным для случайного события А , если событие А следует из такого исхода. Пусть, например, событие А состоит в том, что выпавшее на грани кубика число четно. Благоприятными для этого события будут три исхода эксперимента: выпадение 2, 4 и 6 очков.

Будем называть равновозможными исходы, имеющие одинаковые шансы. Равновозможность определяется нестрого, однако считается интуитивно ясным и лишь поясняется примерами. Для каждого из таких событий характерно то, что ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие. В практических задачах исследователь сам решает, какие события считать равновозможными (как правило, исходя из некой симметрии в условиях задачи).

Определение: Пусть данный эксперимент имеет N равновозможных и несовместных исходов. Вероятностью P (A ) события А называется отношение числа благоприятных исходов m (A ) к общему числу N несовместных равновозможных исходов:

Данное равенство называется классическим определением вероятности .

Вероятность можно вычислять в процентах. Например, выражения P (A ) = 90% и P (A ) = 0,9 эквивалентны.

Для любого случайного события А

Во-первых, по определению вероятность неотрицательна. Во-вторых, число благоприятных исходов m (A ) не больше общего числа исходов N . Поэтому,

Пример 1: В урне находятся 4 белых и 6 черных шаров. Какова вероятность, что вынутый наугад шар будет белым?

Всего эксперимент имеет десять исходов (можно вынуть любой из 10 шаров). Благоприятными будут 4 исхода. Значит, вероятность этого события равна =0,4. Соответственно, вероятность вынуть черный шар равна 0,6.

Пример 2 . Пусть опыт состоит в последовательном бросании двух кубиков. Найдем вероятность события B – «в сумме выпало 8 очков» и вероятность события C – «в сумме выпало 12 очков».

Очевидно, что при бросании двух кубиков всего может быть получено 36 равновозможных несовместных исходов: n = 36 (каждому из 6 различных случаев выпадения очков на первом кубике отвечает 6 случаев выпадения различного числа очков на втором кубике). Событию С благоприятен лишь один исход: случай выпадения двух «шестерок», поэтому m (C ) = 1, и . Событию B благоприятны 5 исходов (2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2), и, следуя классическому определению вероятности, получаем .

Чтобы пользоваться классическим определением вероятности, нужно уметь подсчитывать общее число исходов эксперимента и число благоприятных исходов. Такой подсчет сводится к перебору вариантов, т.е. к задачам комбинаторики. Рассмотрим, как комбинаторные формулы применяются в задачах теории вероятностей.

Многие случайные события моделируются экспериментами с урной и шарами. Шары из урны можно доставать по-разному: шар можно каждый раз возвращать в урну, а можно этого не делать; выбранные шары можно упорядочивать или не упорядочивать и т.д. Таким образом, существуют различные схемы выбора . В каждой из этих схем общее число исходов и число благоприятных исходов подсчитывается по-разному. Рассмотрим основные схемы выбора и соответствующие задачи.

Задача 1. (Схема выбора без возвращения и упорядочения). В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что из четырех наугад выбранных шаров ровно один будет белый? Какова вероятность, что белых шаров будет ровно два?

Решение: вынуть 4 шара – это все равно, что вынуть по одному шару, не возвращая их обратно в урну. Поэтому такая ситуация описывается схемой без возвращения и без упорядочения. Общее число исходов этого случайного эксперимента равно числу способов выбрать 4 шара из 10, т.е. числу сочетаний . Таким образом,

В первом случай при благоприятном исходе среди четырех шаров один белый, а остальные три – черные (событие А ). Белый шар можно выбрать тремя способами (их всего три), три черных можно выбрать способами, так как черных шаров в урне семь. Каждый из трех белых шаров может сочетаться с любой из троек. Таким образом, благоприятных исходов

Значит, искомая вероятность

Найдем число благоприятных исходов во втором случае (два белых, два черных шара – событие B ). Пару белых шаров можно выбрать способами. Для пары черных шаров число способов выбора

Каждая пара белых шаров может сочетаться с каждой парой черных. Поэтому всего благоприятных исходов m (A ) = 3·21 = 63. Значит вероятность второго события (B ):

Задача 2. (Схема выбора без возвращения c упорядочением). В урне находятся карточки с цифрами от 0 до 5. Наугад достают две карточки и складывают подряд. Какова вероятность того, что полученное двузначное число кратно семи?

Решение: В отличие от предыдущей задачи, теперь важен порядок, в котором вынимают карточки, но по-прежнему карточки в урну не возвращают. Значит, в этом случае общее число исходов равно числу размещений из 6 по 2, т.е. Благоприятные исходы – это числа 14, 21, 35, 42, т.е. m (A ) = 4. Значит, искомая вероятность

Задача 3. (Схема выбора с возвращением и без упорядочения). В кондитерской продается семь видов пирожных. Очередной покупатель выбил чек на четыре пирожных. Найти вероятность того, что заказаны:

а) пирожные одного вида;

б) пирожные разных видов;

в) по два пирожных разных видов.

Решение: Результатом опыта являются всевозможные наборы из четырех пирожных, отличающиеся составом. Наборы из одних и тех же пирожных, но расположенных в различном порядке, считаются одинаковыми (схема без упорядочения). При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы (схема с возвращением). Поэтому общее число исходов равно числу сочетаний с повторениями:Телефонная книга раскрывается наудачу и выбирается случайный номер телефона. Считая, что телефонные номера состоят из семи цифр, причем все комбинации равновероятны, найти вероятность того, что все цифры в номере различны.

Решение: Заметим, что условие задачи разрешает любые номера (такие, например, как 0012413, 0123456 и даже 0000000). Поскольку всего цифр 10, а номера семизначные, общее число номеров равно N = 10 7 = 10000000 (число размещений с повторениями из 10 элементов по 7). Благоприятные исходы составляют все различные наборы из семи цифр, отличающиеся также порядком (число размещений без повторений из 10 элементов по 7). Значит, благоприятных исходов