Как отмечалось в начале нашего курса, мы подразумеваем, что эксперимент проводится при некотором фиксированном комплексе условий К. Если эти условия изменились, то изменяется и вероятность событий, относящихся к этому эксперименту. Такое изменение всегда можно понимать как появление некоторого события (кроме исходного комплекса условий К). Чтобы понять, как определить в этом случае новую (условную) вероятность, рассмотрим соответствующие частоты. Пусть эксперимент проведен N раз, событие В произошло N(B) раз, а события А и В вместе N(AB) раз. Тогда ’’условная” частота события А среди тех экспериментов, где произошло событие В, равна

Имея в виду, что вероятность наследует свойства частот, можно дать следующее

Определение 1. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие , называется число

Иногда применяют и другое обозначение

Пример 1 . Симметричную монету подбрасывают два раза. Известно, что выпал один герб (событие В). Найти вероятность события А, состоящего в том, что герб выпал при первом бросании.

Легко вычислить, что , а . Отсюда следует, что

Нетрудно проверить, что при фиксированном В условная вероятность обладает следующими свойствами:

Таким образом, условная вероятность обладает всеми основными свойствами вероятности.

Очень важную роль играет следующая теорема.

Теорема умножения. Пусть А и В - два события и Тогда

Ее доказательство следует из определения условной вероятности. Польза этой теоремы состоит в том, что иногда мы можем вычислить условную вероятность непосредственно и затем использовать это для вычисления

Пример 2. В урне 5 шаров - 3 белых и 2 черных. Без возвращения выбираем два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Пусть событие состоит в том, что первый шар белый, а событие - второй шар белый. Легко вычислить, что После того, как мы вынули один шар и знаем, что он белый, мы имеем 4 шара и среди них 2 белых. Тогда . По теореме умножения

Теорему умножения легко распространить на любое конечное число событий.

Следствие 1. Пусть - случайные события, тогда

Если появление события В не меняет вероятности события А, т. е., то такие события естественно назвать независимыми. В этом случае по теореме умножения мы получаем

Последнее соотношение симметрично относительно А и В и имеет смысл при . Поэтому мы возьмем его в качестве определения.

Определение 2. События А и В называются независимыми, если

Пример 3 . Подбрасывают две симметричных монеты. Событие А состоит в том, что на первой монете выпал герб, а событие В - на второй монете выпал герб.

Интуитивно ясно, что такие события должны быть независимыми. Действительно,,,

Таким образом А и В - независимы в смысле определения. Менее очевидно, что независимы события А и С, где С означает, что выпал только один герб (доказать!).

Сложнее определяется независимость более двух событий.

Определение 3 . События называем независимыми в совокупности, если для любого и любых событий из рассматриваемых справедливо

Покажем на примерах, что попарной независимости и выполнения последнего равенства для перечня всех событий недостаточно для независимости в совокупности.

Пример 4. Правильный тетраэдр окрашен тремя цветами: одна грань - в синий цвет, вторая - в красный, третья - в зеленый, а на четвертой присутствуют все три цвета. Этот тетраэдр подбрасывают и отмечают, какой гранью он выпал.

Пусть означает появление синего цвета, - красного, - зеленого. Тогда,,,

Отсюда мы получаем, что. Аналогично для других пар. Таким образом, мы имеем попарную независимость. Но

Задача 1. Придумать пример эксперимента и трех событий ,,, для которых , но которые не являются попарно независимыми.

Можно дать следующее более общее

Определение 4. Пусть - некоторые классы событий.

Они называются независимыми, если любые события - независимы в совокупности.

Типичная ситуация описана в следующем примере.

Пример 5 . Симметричный игральный кубик подбрасывают два раза. обозначает набор событий, связанных с результатом первого бросания. определяется аналогично для результата второго бросания. Тогда и -независимы.

Во многих задачах является полезным следующий результат.

Предложение 1 . Если события А и В независимы, то независимы и любые два из следующих: .

Доказательство. Докажем независимость .

Независимость остальных пар событий предлагается доказать самостоятельно.

Во многих ситуациях мы встречаемся с такими экспериментами, которые можно разложить на два (или более) этапов. На первом этапе мы имеем несколько вариантов, а спрашивается что- либо о том, что произошло в конце - на втором этапе. В этом случае чрезвычайно полезен приводимый ниже результат. Начнем со следующего определения.

Определение 5. События образуют полную группу событий (разбиение пространства), если

Теорема 1 . Пусть события образуют полную группу событий, для всех и - произвольное событие. Тогда - формула полной вероятности.

Доказательство. Так как события образуют полную группу, то мы имеем

Отсюда получаем

Где мы использовали теорему умножения.

Пример 6 . На некоторой фабрике 30% продукции производится машиной А, 25% продукции - машиной В, а остальная продукция - машиной С. У машины А в брак идет 1% производимой ей продукции, у машины - 1,2% , а у машины С - 2%. Из всей произведенной продукции случайно выбрано одно изделие. Какова вероятность того, что оно бракованное?

Пусть обозначает событие, состоящее в том, что выбранная деталь изготовлена на машине А, - на машине В, - на машине С. Обозначим через D событие, состоящее в том, что выбранная деталь бракованная. События образуют полную группу событий. По условию задачи

Формула полной вероятности позволяет найти вероятность события A , которое может наступить только с каждым из n исключающих друг друга событий , образующих полную систему, если известны их вероятности , а условные вероятности события A относительно каждого из событий системы равны .

События также называются гипотезами, они являются исключающими друг друга. Поэтому в литературе можно также встретить их обозначение не буквой B , а буквой H (hypothesis).

Для решения задач с такими условиями необходимо рассмотреть 3, 4, 5 или в общем случае n возможностей наступления события A - с каждым событий .

По теоремам сложения и умножения вероятностей получаем сумму произведений вероятности каждого из событий системы на условную вероятность события A относительно каждого из событий системы. То есть, вероятность события A может быть вычислена по формуле

или в общем виде

,

которая и называется формулой полной вероятности .

Формула полной вероятности: примеры решения задач

Пример 1. Имеются три одинаковых на вид урны: в первой 2 белых шара и 3 чёрных, во второй - 4 белых и один чёрный, в третьей - три белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из неё один шар. Пользуясь формулой полной вероятности , найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Событие A - появление белого шара. Выдвигаем три гипотезы:

Выбрана первая урна;

Выбрана вторая урна;

Выбрана третья урна.

Условные вероятности события A относительно каждой из гипотез:

, , .

Применяем формулу полной вероятности, в результате - требуемая вероятность:

.

Пример 2. На первом заводе из каждых 100 лампочек производится в среднем 90 стандартных, на втором - 95, на третьем - 85, а продукция этих заводов составляет соответственно 50%, 30% и 20% всех электролампочек, поставляемых в магазины некоторого района. Найти вероятность приобретения стандартной электролампочки.

Решение. Обозначим вероятность приобретения стандартной электролампочки через A , а события, заключающиеся в том, что приобретённая лампочка изготовлена соответственно на первом, втором и третьем заводах, через . По условию известны вероятности этих событий: , , и условные вероятности события A относительно каждого из них: , , . Это вероятности приобретения стандартной лампочки при условии её изготовления соответственно на первом, втором, третьем заводах.

Событие A наступит, если произойдут или событие K - лампочка изготовлена на первом заводе и стандартна, или событие L - лампочка изготовлена на втором заводе и стандартна, или событие M - лампочка изготовлена на третьем заводе и стандартна. Других возможностей наступления события A нет. Следовательно, событие A является суммой событий K , L и M , которые являются несовместимыми. Применяя теорему сложения вероятностей, представим вероятность события A в виде

а по теореме умножения вероятностей получим

то есть, частный случай формулы полной вероятности .

Подставив в левую часть формулы значения вероятностей, получаем вероятность события A :

Пример 3. Производится посадка самолёта на аэродром. Если позволяет погода, лётчик сажает самолёт, пользуясь, помимо приборов, ещё и визуальным наблюдением. В этом случае вероятность благополучной посадки равна . Если аэродром затянут низкой облачностью, то лётчик сажает самолёт, ориентируясь только по приборам. В этом случае вероятность благополучной посадки равна ; . Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют надёжность (вероятность безотказной работы) P . При наличии низкой облачности и отказавших приборах слепой посадки вероятность благополучной посадки равна ; . Статистика показывает, что в k % случаев посадки аэродром затянут низкой облачностью. Найти полную вероятность события A - благополучной посадки самолёта.

Решение. Гипотезы:

Низкой облачности нет;

Низкая облачность есть.

Вероятности этих гипотез (событий):

;

Условная вероятность .

Условную вероятность снова найдём по формуле полной вероятности с гипотезами

Приборы слепой посадки действуют;

Приборы слепой посадки отказали.

Вероятности этих гипотез:

По формуле полной вероятности

Пример 4. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, а ненормальный - в 20% случаев. Вероятность выхода прибора из строя за определённое время t равна 0,1; в ненормальном 0,7. Найти полную вероятность выхода прибора из строя за время t .

Решение. Вновь обозначаем вероятность выхода прибора из строя через A . Итак, относительно работы прибора в каждом режиме (события ) по условию известны вероятности: для нормального режима это 80% (), для ненормального - 20% (). Вероятность события A (то есть, выхода прибора из строя) в зависимости от первого события (нормального режима) равна 0,1 (); в зависимости от второго события (ненормального режима) - 0,7 (). Подставляем эти значения в формулу полной вероятности (то есть, сумму произведений вероятности каждого из событий системы на условную вероятность события A относительно каждого из событий системы) и перед нами - требуемый результат.

Условная вероятность

Событие. Пространство элементарных событий. Достоверное событие, невозможное событие. Совместные, несовместные события. Равновозможные события. Полная группа событий. Операции над событиями.

Событие - это явление, о котором можно сказать, что оно происходит или не происходит , в зависимости от природы самого события.

Под элементарными событиями , связанными с определенным испытанием, понимают все неразложимые результаты этого испытания. Каждое событие, которое может наступить в результате этого испытания, можно рассматривать как некоторое множество элементарных событий.

Пространством элементарных событий называется произвольное множество (конечное или бесконечное). Его элементы - точки (элементарные события). Подмножества пространства элементарных событий называются событиями.

Достоверным событием называется событие, которое вследствие данного испытания обязательно произойдет; (обозначается E).

Невозможным событием называется такое событие, которое вследствие данного испытания не может произойти ; (обозначается U). Например, появление одного из шести очков во время одного броска игрального кубика - достоверное событие, а появление 8 очков - невозможное.

Два события называются совместными (совместимыми) в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого.

Два события называются несовместными (несовместимыми) в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.

Начало формы

Конец формы

Тема № 2 . Аксиоматическое определение вероятности. Классическое, статистическое, геометрическое определение вероятности события. Свойства вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимые события. Условная вероятность. Вероятность наступления хотя бы одного из событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события. Это определение, качественно отражающее понятие вероятности события, не является математическим. Чтобы оно стало таким, необходимо определить его качественно.

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев, то есть:

Где P(A) – вероятность события А.

Число случаев благоприятствующих событию А

Общее число случаев.

Статистическое определение вероятности:

Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях, то есть:

Где - статистическая вероятность события А.

Относительная частота(частость) события А.

Число испытаний, в которых появилось события A

Общее число испытаний.

В отличие от «математической» вероятности , рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Если есть доля случаев, благоприятствующих событию А, которая определяется непосредственно, без каких-либо испытаний, то есть доля тех фактически произведённых испытаний, в которых событие А появилось.

Геометрическое определение вероятности:

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области благоприятствующей появлению события А, к мере всех области, то есть:

В одномерном случае:

Следует оценить вероятность попадания точки на CD/

Оказывается эта вероятность не зависит от места нахождения CD на отрезке АВ, а зависит лишь от его длины.

Вероятность попадания точки не зависит ни от форм, ни от месте нахождения В на А, а зависит лишь от площади данного сегмента.

Условная вероятность

Вероятность называется условной , если она вычисляется при определённых условиях и обозначается:

Это вероятность события А. Вычисляется при условии, что событие В уже произошло.

Пример. Производим испытание, извлекаем две карты из колоды: Первая вероятность является безусловной.

Вычисляем вероятность извлечения туза из колоды:

Вычисляем появление 2-тузув из колоды:

А*В – совместное появление событий

– теорема умножения вероятностей

Следствие:

Теорема умножения для совместного появления событий имеет вид:

То есть каждая последующая вероятность вычисляется с тем учётом, что все предыдущие условия уже произошли.

Независимость события:

Независимыми называются 2 события, если появление одного не противоречит появлению другого.

Например, если тузы из колоды извлекаются повторно, тогда они между собой независимы. Повторно, то есть карту посмотрели и вернули обратно в колоду.

Совместные и несовместные события:

Совместными называются 2 события, если появление одного из них не противоречит появлению другого.

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

Вероятность появления одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без их совместного появления.

Для трёх совместных событий:

Несовместными называются события, если никакие два из них не могут появиться одновременно в результате однократного испытания случайного эксперимента.

Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Вероятность суммы событий:

Теорема сложения вероятностей:

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие 1:

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна единице:

Следствие 2:

Замечание: Следует подчеркнуть, что рассмотренная теорема сложения применима только для несовместных событий.

Вероятность противоположных событий:

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу. Одно из двух противоположных событий обозначено через А , другое – через .

Пример: Попадание и промах при выстреле по цели – противоположные события. Если A – попадание, то – промах.

Теорема: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Замечание 1: Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через p, то вероятность другого события обозначают через q Таким образом, в силу предыдущей теоремы:

Замечание 2: При решении задач на отыскание вероятности события A часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем найти искомую вероятность по формуле:

Вероятность появления хотя бы одного события:

Допустим, что в результате эксперимента может появиться одно, какая-то часть или ни одно событие.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного события из совокупности независимых событий равна разности между единицей и их вероятностью не появления событий .

Формула полной вероятности событий:

Теорема: Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий(гипотез) , образующих полную группу, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий(гипотез) на соответствующие условные вероятности события F.

Условной вероятностью события A при выполнении события B называется отношение Здесь предполагается, что .

В качестве разумного обоснования этого определения отметим, что при наступлении события B оно начинает играть роль достоверного события, поэтому надо потребовать, чтобы . Роль события A играет AB, поэтому должна быть пропорциональна . (Из определения следует, что коэффициент пропорциональности равен .)

Теперь введем понятие независимости событий.

Это означает: оттого что произошло событие B , вероятность события A не изменилась.

С учетом определения условной вероятности, это определение сведется к соотношению . Здесь уже нет необходимости требовать выполнения условия . Таким образом, приходим к окончательному определению.

События A и B называются независимыми, если P (AB ) = P (A )P (B ).

Последнее соотношение обычно и принимают за определение независимости двух событий.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если подобные соотношения выполняются для любого подмножества рассматриваемых событий. Так, например, три события A, B и C называются независимыми в совокупности, если выполняются следующие четыре соотношения:

Приведем ряд задач на условную вероятность и независимость событий и их решения.

Задача 21. Из полной колоды из 36 карт вытаскивают одну карту. Событие A – карта красная, B – карта туз. Будут ли они независимы?

Решение. Проведя вычисления согласно классическому определению вероятности, получим, что . Это означает, что события A и B независимы.

Задача 22 . Решить ту же задачу для колоды, из которой удалена пиковая дама.

Решение . . Независимости нет.

Задача 23. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого первым выпадет герб. Найти вероятности выигрыша для обоих игроков.

Решение. Можно считать, что элементарные события – это конечные последовательности вида (0, 0, 1,…, 0, 1). Для последовательности длины соответствующее элементарное событие имеет вероятность Игрок, начинающий бросать монету первым, выигрывает, если реализуется элементарное событие , состоящее из нечетного числа нулей и единиц. Поэтому вероятность его выигрыша равна

Выигрыш второго игрока соответствует четному числу нулей и единиц. Он равен

Из решения следует, что игра заканчивается за конечное время с вероятностью 1 (так как ).

Задача 24. Для того чтобы разрушить мост, нужно попадание не менее 2 бомб. Сбросили 3 бомбы. Вероятности попадания бомб равны соответственно 0, 1; 0, 3; 0, 4. Найти вероятность разрушения моста.

Решение. Пусть события A, B, C состоят в попадании 1-й, 2-й, 3-й бомбы соответственно. Тогда разрушение моста происходит только при реализации события В силу того что слагаемые в этой формуле попарно несовместны, а сомножители в слагаемых независимы, искомая вероятность равна

0,1∙0,3∙0,4 + 0,1∙0,3∙0,6 + 0,1∙0,7∙0,4 + 0,9∙0,3∙0,4 = 0,166.

Задача 25. К одному и тому же причалу должны пришвартоваться два грузовых судна. Известно, что каждое из них может с равной вероятностью подойти в любой момент фиксированных суток и должно разгружаться 8 ч. Найти вероятность того, что судну, пришедшему вторым, не придется дожидаться, пока закончит разгрузку первое судно.

Решение. Будем время измерять в сутках и долях суток. Тогдаэлементарные события – это пары чисел , заполняющие единичный квадрат, где x – время прихода первого судна, y – время прихода второго судна. Все точки квадрата равновероятны. Это означает, что вероятность любого события (т. е. множества из единичного квадрата) равна площади области, соответствующей этому событию. Событие A состоит из точек единичного квадрата, для которых выполняется неравенство . Это неравенство соответствует тому, что судно, пришедшее первым, успеет разгрузиться к моменту прихода второго судна. Множество этих точек образует два прямоугольных равнобедренных треугольника со стороной 2/3. Суммарная площадь этих треугольников равна 4/9. Таким образом, .

Задача 26. На экзамене по теории вероятностей было 34билета. Студент дважды извлекает по одному билету из предложенных билетов (не возвращая их). Студент подготовился лишь по 30-ти билетам? Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, выбрав в первый раз «неудачный » билет?

Решение. Случайный выбор состоит в том, что два раза подряд извлекают по одному билету, причем вытянутый в первый раз билет назад не возвращается. Пусть событие В состоит в том, что первым вынут «неудачный» билет, а событие А состоит в том, что вторым вынут «удачный » билет. Очевидно, что события А и В зависимы, так как извлеченный в первый раз билет не возвращается в число всех билетов. Требуется найти вероятность события АВ .

По формуле условной вероятности ; ; , поэтому .

Мы уже говорили, что в основе определения вероятности события лежит некоторая совокупность условий. Если никаких ограничений, кроме условий, при вычислении вероятности не налагается, то такие вероятности называются безусловными.

Однако в ряде случаев приходится находить вероятности событий при дополнительном условии, что произошло некоторое событие В, имеющее не нулевую вероятность, т.е. Данные вероятности мы будем называть условными и обозначать символом; это означает вероятность события А при условии, что событие В произошло.

Пример 1. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших на них очков равна 8 (событие A), если известно, что эта сумма есть четное число (событие В)?

Все возможные случаи, которые могут представиться при бросании двух костей, мы запишем в таблице 1.7.1, каждая клетка которой содержит запись возможного события: на первом месте в скобках указывается число очков, выпавших на первой кости, на втором месте -- число очков, выпавших на второй кости.

Общее число возможных случаев -- 36, благоприятствующих событию A -- 5. Таким образом, безусловная вероятность.

Если событие В произошло, то осуществилась одна из 18 (а не 36) возможностей и, следовательно, условная вероятность равна.

Пример 2. Из колоды карт последовательно вынуты две карты. Найти: а) безусловную вероятность того, что вторая карта окажется тузом (неизвестно, какая карта была вынута вначале), и б) условную вероятность, что вторая карта будет тузом, если первоначально был вынут туз.

Обозначим через A событие, состоящее в появлении туза на втором месте, а через В--событие, состоящее в появлении туза на первом месте. Ясно, что имеет место равенство.

В силу несовместимости событий АВ и АВ имеем:

При вынимании двух карт из колоды в 36 карт могут произойти 36*35 (учитывая порядок!) случаев. Из них благоприятствующих событию АВ -- 4*3 случаев, а событию -- 32 * 4 случаев. Таким образом,

Если первая карта есть туз, то в колоде осталось 35 карт и среди них только три туза. Следовательно, .

Общее решение задачи нахождения условной вероятности для классического определения вероятности не представляет труда. В самом деле, пусть из n единственно возможных, несовместимых и равновероятных событий событию А благоприятствует m событий. Если событие В произошло, то это означает, что наступило одно из событий, благоприятствующих В. При этом условии событию А благоприятствуют r и только r событий Aj, благоприятствующих АВ. Таким образом,

Точно так же можно вывести, что

Понятно, что

т. е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

Теорема умножения применима и в том случае, когда одно из событий А или В есть невозможное событие, так как в этом случае вместе с имеют место равенства и.

Условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности. В этом легко убедиться, проверив, что она удовлетворяет всем свойствам, сформулированных в предыдущих параграфах. Действительно, первое свойство выполняется очевидным образом, поскольку для каждого события А определена неотрицательная функция. Если, то

Проверка третьего свойства также не составляет труда и мы предоставляем читателю ее осуществление.

Заметим, что вероятностное пространство для условных вероятностей задается следующей тройкой.

Определение 1. Говорят, что событие А независимо от события В, если имеет место равенство т. е. если наступление события В не изменяет вероятности появления события А.

Если событие А независимо от В, то имеет место равенство

Отсюда находим: т. е. событие В также независимо от А. Таким образом, свойство независимости событий взаимно.

Если события А и В независимы, то независимы также события А и. Действительно, так как

Отсюда мы делаем важное заключение: если события А и В независимы, то независимы также каждые два события.

Понятие независимости событий играет значительную роль в теории вероятностей и в ее приложениях. В частности, большая часть результатов, изложенных в настоящем пособии, получена в предположении независимости тех или иных рассматриваемых событий.

Так, например, ясно, что выпадение герба на одной монете не изменяет вероятности появления герба (решки) на другой монете, если только эти монеты во время бросания не связаны между собой (например, жестко не скреплены). Точно так же рождение мальчика у одной матери не изменяет вероятности появления мальчика (девочки) у другой матери. Это -- события независимые.

Для независимых событий теорема умножения принимает особенно простой вид, а именно, если события A и В независимы, то

Мы обобщим теперь понятие независимости двух событий на совокупность нескольких событий.

Определение 2. События называются независимыми в совокупности, если для любого события из их числа и произвольных из их же числа события и взаимно независимы. В силу предыдущего это определение эквивалентно: при любых

Заметим, что для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их по парной независимости. В этом можно убедиться на следующем простом примере.

Пример С.Н. Бернштейна. Представим себе, что грани тетраэдра окрашены: 1-я -- в красный цвет (A), 2-я -- в зеленый (В), третья -- в синий (С) и 4-я -- во все эти три цвета (AВС). Легко видеть, что вероятность выпадения грани, на которую упадет тетраэдр при бросании, и своей окраске иметь красный цвет равна 1/2: граней четыре и две из них имеют в окраске красный цвет.

события A,В,С, таким образом, попарно независимы.

Однако, если нам известно, что осуществились события В и С, то заведомо осуществилось и событие A, т. е. .

Таким образом, события A,В,С в совокупности зависимы. Таким образом, в общем случае при по определению

(В случае условная вероятность остается неопределенной.) Это позволяет нам перенести автоматически на общее понятие вероятности все определения и результаты настоящего параграфа.