Условной вероятностью называют. Зависимые события и условная вероятность

Лекция 4

Принцип практической невозможности маловероятных событий

Если случайное событие имеет очень маленькую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит. Все зависит от конкретной задачи. Если вероятность нераскрытия парашюта 0,01, то такой парашют применять нельзя. Если электричка опоздает с вероятностью 0,01 то можно быть уверенным что она прибудет вовремя.

Достаточно малую вероятность, при которой в данной задаче событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости от 0,01 до 0,05.

Если случайное событие имеет вероятность очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит.

Условная вероятность

Произведением двух событий A и B называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совме­щении) этих событий. Например, если A - деталь годная, В - деталь окрашенная, то АВ - деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событ ий. Например, если A , B , C - появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC - выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности усло­вий S может произойти или не произойти.

Если при вы­числении вероятности события никаких других ограни­чений, кроме условий S, не налагается, то такую вероят­ность называют безусловной ; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.

Например, часто вычисляют вероятность собы­тия B при дополнительном условии, что произошло со­бытие A . Безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.

Условной вероятностью Р A (В) или называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило

Условная вероятность вычисляется по формуле

. (4.1)

Эту формулу можно доказать исходя из классического определения вероятности.

Пример 3. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероят­ность появления белого шара при втором испытании (событие В ), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А ).

Решение . После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность Р А (В ) = 3/5.

Этот же результат можно получить по формуле

Р A (В ) =P (АВ )/P (А) (P (А ) > 0).

Действительно, вероятность появления белого шара при первом ис­пытании

P (A ) = 3/6 =1/2.

Найдем вероятность P (АВ ) того, что в первом испытании по­явится черный шар, а во втором - белый по формуле (3.1). Общее число исходов - совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений = 6 5 = 30. Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3 3=9 исходов. Следовательно, P (АВ ) =9/30 = 3/10.

Условная вероятность P А (В ) =P (АВ )/Р (А ) = (3/10)/(1/2) = 3/5. Получен прежний результат.

Как отмечалось в начале нашего курса, мы подразумеваем, что эксперимент проводится при некотором фиксированном комплексе условий К. Если эти условия изменились, то изменяется и вероятность событий, относящихся к этому эксперименту. Такое изменение всегда можно понимать как появление некоторого события (кроме исходного комплекса условий К). Чтобы понять, как определить в этом случае новую (условную) вероятность, рассмотрим соответствующие частоты. Пусть эксперимент проведен N раз, событие В произошло N(B) раз, а события А и В вместе N(AB) раз. Тогда ’’условная” частота события А среди тех экспериментов, где произошло событие В, равна

Имея в виду, что вероятность наследует свойства частот, можно дать следующее

Определение 1. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие , называется число

Иногда применяют и другое обозначение

Пример 1 . Симметричную монету подбрасывают два раза. Известно, что выпал один герб (событие В). Найти вероятность события А, состоящего в том, что герб выпал при первом бросании.

Легко вычислить, что , а . Отсюда следует, что

Нетрудно проверить, что при фиксированном В условная вероятность обладает следующими свойствами:

Таким образом, условная вероятность обладает всеми основными свойствами вероятности.

Очень важную роль играет следующая теорема.

Теорема умножения. Пусть А и В - два события и Тогда

Ее доказательство следует из определения условной вероятности. Польза этой теоремы состоит в том, что иногда мы можем вычислить условную вероятность непосредственно и затем использовать это для вычисления

Пример 2. В урне 5 шаров - 3 белых и 2 черных. Без возвращения выбираем два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Пусть событие состоит в том, что первый шар белый, а событие - второй шар белый. Легко вычислить, что После того, как мы вынули один шар и знаем, что он белый, мы имеем 4 шара и среди них 2 белых. Тогда . По теореме умножения

Теорему умножения легко распространить на любое конечное число событий.

Следствие 1. Пусть - случайные события, тогда

Если появление события В не меняет вероятности события А, т. е., то такие события естественно назвать независимыми. В этом случае по теореме умножения мы получаем

Последнее соотношение симметрично относительно А и В и имеет смысл при . Поэтому мы возьмем его в качестве определения.

Определение 2. События А и В называются независимыми, если

Пример 3 . Подбрасывают две симметричных монеты. Событие А состоит в том, что на первой монете выпал герб, а событие В - на второй монете выпал герб.

Интуитивно ясно, что такие события должны быть независимыми. Действительно,,,

Таким образом А и В - независимы в смысле определения. Менее очевидно, что независимы события А и С, где С означает, что выпал только один герб (доказать!).

Сложнее определяется независимость более двух событий.

Определение 3 . События называем независимыми в совокупности, если для любого и любых событий из рассматриваемых справедливо

Покажем на примерах, что попарной независимости и выполнения последнего равенства для перечня всех событий недостаточно для независимости в совокупности.

Пример 4. Правильный тетраэдр окрашен тремя цветами: одна грань - в синий цвет, вторая - в красный, третья - в зеленый, а на четвертой присутствуют все три цвета. Этот тетраэдр подбрасывают и отмечают, какой гранью он выпал.

Пусть означает появление синего цвета, - красного, - зеленого. Тогда,,,

Отсюда мы получаем, что. Аналогично для других пар. Таким образом, мы имеем попарную независимость. Но

Задача 1. Придумать пример эксперимента и трех событий ,,, для которых , но которые не являются попарно независимыми.

Можно дать следующее более общее

Определение 4. Пусть - некоторые классы событий.

Они называются независимыми, если любые события - независимы в совокупности.

Типичная ситуация описана в следующем примере.

Пример 5 . Симметричный игральный кубик подбрасывают два раза. обозначает набор событий, связанных с результатом первого бросания. определяется аналогично для результата второго бросания. Тогда и -независимы.

Во многих задачах является полезным следующий результат.

Предложение 1 . Если события А и В независимы, то независимы и любые два из следующих: .

Доказательство. Докажем независимость .

Независимость остальных пар событий предлагается доказать самостоятельно.

Во многих ситуациях мы встречаемся с такими экспериментами, которые можно разложить на два (или более) этапов. На первом этапе мы имеем несколько вариантов, а спрашивается что- либо о том, что произошло в конце - на втором этапе. В этом случае чрезвычайно полезен приводимый ниже результат. Начнем со следующего определения.

Определение 5. События образуют полную группу событий (разбиение пространства), если

Теорема 1 . Пусть события образуют полную группу событий, для всех и - произвольное событие. Тогда - формула полной вероятности.

Доказательство. Так как события образуют полную группу, то мы имеем

Отсюда получаем

Где мы использовали теорему умножения.

Пример 6 . На некоторой фабрике 30% продукции производится машиной А, 25% продукции - машиной В, а остальная продукция - машиной С. У машины А в брак идет 1% производимой ей продукции, у машины - 1,2% , а у машины С - 2%. Из всей произведенной продукции случайно выбрано одно изделие. Какова вероятность того, что оно бракованное?

Пусть обозначает событие, состоящее в том, что выбранная деталь изготовлена на машине А, - на машине В, - на машине С. Обозначим через D событие, состоящее в том, что выбранная деталь бракованная. События образуют полную группу событий. По условию задачи

А также научились решать типовые задачи с независимыми событиями, и сейчас последует гораздо более интересное продолжение, которое позволит не только освоить новый материал, но и, возможно, окажет практическую житейскую помощь.

Кратко повторим, что такое независимость событий: события и являются НЕзависимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления либо непоявления другого события. Простейший пример – подбрасывание двух монет. Вероятность выпадения орла либо решки на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты.

Понятие зависимости событий вам тоже знакомо и настал черёд заняться ими вплотную.

Сначала рассмотрим традиционный набор, состоящий из двух событий: событие является зависимым , если помимо случайных факторов его вероятность зависит от появления либо непоявления события . Вероятность события , вычисленная в предположении того, что событие уже произошло , называется условной вероятностью наступления события и обозначается через . При этом события и называют зависимыми событиями (хотя, строго говоря, зависимо только одно из них) .

Карты в руки:

Задача 1

Из колоды в 36 карт последовательно извлекаются 2 карты. Найти вероятность того, что вторая карта окажется червой, если до этого:

а) была извлечена черва;
б) была извлечена карта другой масти.

Решение : рассмотрим событие: – вторая карта будет червой. Совершенно понятно, что вероятность этого события зависит от того, черву или не черву вытянули ранее.

а) Если сначала была извлечена черва (событие ), то в колоде осталось 35 карт, среди которых теперь находится 8 карт червовой масти. По классическому определению :
при условии , что до этого тоже была извлечена черва.

б) Если же сначала была извлечена карта другой масти (событие ), то все 9 черв остались в колоде. По классическому определению :
– вероятность того, что вторая карта окажется червой при условии , что до этого была извлечена карта другой масти.

Всё логично – если вероятность извлечения червы из полной колоды составляет , то при извлечении следующей карты аналогичная вероятность изменится: в первом случае – уменьшится (т.к. черв стало меньше), а во втором – возрастёт: (т.к. все червы остались в колоде).

Ответ :

Зависимых событий, разумеется, может быть и больше. Пока задача не остыла, добавим ещё одно: – третьей картой будет извлечена черва. Предположим, что произошло событие , а затем событие ; тогда в колоде осталось 34 карты, среди которых 7 черв. По классическому определению :
– вероятность наступления события при условии , что до этого были извлечены две червы.

Для самостоятельной тренировки:

Задача 2

В конверте находится 10 лотерейных билетов, среди которых 3 выигрышных. Из конверта последовательно извлекаются билеты. Найти вероятности того, что:

а) 2-й извлечённый билет будет выигрышным, если 1-й был выигрышным;
б) 3-й будет выигрышным, если предыдущие два билета были выигрышными;
в) 4-й будет выигрышным, если предыдущие билеты были выигрышными.

Краткое решение с комментариями в конце урока.

А теперь обратим внимание на один принципиально важный момент: в рассмотренных примерах требовалось найти лишь условные вероятности, при этом предыдущие события считались достоверно состоявшимися . Но ведь в действительности и они являются случайными! Так, в «разогретой» задаче извлечение червы из полной колоды – есть событие случайное, вероятность которого равна .

На практике гораздо чаще требуется отыскать вероятность совместного появления зависимых событий. Как, например, найти вероятность события , состоящего в том, что из полной колоды будет извлечена черва и затем ещё одна черва? Ответ на этот вопрос даёт

теорема умножения вероятностей зависимых событий : вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло:

В нашем случае:
– вероятность того, что из полной колоды будут извлечены 2 червы подряд.

Аналогично:
– вероятность того, что сначала будет извлечена карта другой масти и затем черва.

Вероятность события получилась заметно больше вероятности события , что, в общем-то, было очевидно безо всяких вычислений.

И, само собой, не нужно питать особых надежд, что из конверта с десятью лотерейными билетами (Задача 2) вы вытяните 3 выигрышных билета подряд:

Да, совершенно верно – теорема умножения вероятностей зависимых событий естественным образом распространяется и на бОльшее их количество.

Закрепим материал несколькими типовыми примерами:

Задача 3

В урне 4 белых и 7 черных шаров. Из урны наудачу один за другим извлекают два шара, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что:

а) оба шара будут белыми;
б) оба шара будут чёрными;
в) сначала будет извлечён белый шар, а затем – чёрный.

Обратите внимание на уточнение «не возвращая их обратно». Этот комментарий дополнительно подчёркивает тот факт, что события зависимы. Действительно, а вдруг извлечённые шары возвращают обратно? В случае возвратной выборки вероятности извлечения чёрного и белого шара меняться не будут, а в такой задаче уже следует руководствоваться теоремой умножения вероятностей НЕзависимых событий .

Решение : всего в урне: 4 + 7 = 11 шаров. Поехали:

а) Рассмотрим события – первый шар будет белым, – второй шар будет белым и найдём вероятность события , состоящего в том, что 1-й шар будет белым и 2-й белым.

По классическому определению вероятности: . Предположим, что белый шар извлечён, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 3 белых, поэтому:
– вероятность извлечения белого шара во 2-м испытании при условии, что до этого был извлечён белый шар.

– вероятность того, что оба шара будут белыми.

б) Найдём вероятность события , состоящего в том, что 1-й шар будет чёрным и 2-й чёрным

По классическому определению: – вероятность того, что в 1-м испытании будет извлечён чёрный шар. Пусть извлечён чёрный шар, тогда в урне останется 10 шаров, среди которых 6 чёрных, следовательно: – вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен чёрный шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– вероятность того, что оба шара будут чёрными.

в) Найдём вероятность события (сначала будет извлечён белый шар и затем чёрный)

После извлечения белого шара (с вероятностью ) в урне останется 10 шаров, среди которых 3 белых и 7 чёрных, таким образом: – вероятность того, что во 2-м испытании будет извлечён чёрный шар при условии, что до этого был извлечен белый шар.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:
– искомая вероятность.

Ответ :

Данную задачу нетрудно проверить через теорему сложения вероятностей событий, образующих полную группу . Для этого найдём вероятность 4-го недостающего события: – того, что сначала будет извлечён чёрный шар и затем белый.

События образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:
,что и требовалось проверить.

И сразу же предлагаю проверить, насколько хорошо вы усвоили изложенный материал:

Задача 4

Какова вероятность того, что из колоды в 36 карт будут извлечены два туза подряд?

Задача 5

В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара. Найти вероятность того, что

а) третий шар окажется белым, если до этого был извлечён черный и красный шар;
б) первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.

Решения и ответы в конце урока.

Надо сказать, что многие из рассматриваемых задач разрешимы и другим способом, но чтобы не возникло путаницы, пожалуй, вообще о нём умолчу.

Наверное, все заметили, что зависимые события возникают в тех случаях, когда осуществляется некоторая цепочка действий. Однако сама по себе последовательность действий ещё не гарантируют зависимость событий. Пусть, например, студент наугад отвечает на вопросы какого-нибудь теста – данные события хоть и происходят одно за другим, но незнание ответа на один вопрос никак не зависит от незнания других ответов =) Хотя, закономерности тут, конечно, есть =) Тогда совсем простой пример с неоднократным подбрасыванием монеты – сей увлекательный процесс даже так и называется: повторные НЕзависимые испытания .

Я как мог, старался отсрочить этот момент и подбирать разнообразные примеры, но если в задачах на теорему умножения независимых событий хозяйничают стрелки, то здесь происходит самое настоящее нашествие урн с шарами =) Поэтому никуда не деться – снова урна:

Задача 6

Из урны, в которой находится 6 белых и 4 черных шара, извлекаются наудачу один за другим три шара. Найти вероятность того, что:

а) все три шара будут черными;
б) будет не меньше двух шаров черного цвета.

Решение :всего: 6 + 4 = 10 шаров в урне.

Событий в данной задаче будет многовато, и в этой связи целесообразнее использовать смешанный стиль оформления, обозначая прописными латинскими буквами только основные события. Надеюсь, вы уже поняли, по какому принципу подсчитываются условные вероятности.

а) Рассмотрим событие: – все три шара будут черными.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

б) Второй пункт интереснее, рассмотрим событие: – будет не меньше двух шаров черного цвета. Данное событие состоит в 2 несовместных исходах: либо все шары будут чёрными (событие ) либо 2 шара будут чёрным и 1 белым – обозначим последнее событие буквой .

Событие включается в себя 3 несовместных исхода:

в 1-м испытании извлечён белый и во 2-м и в 3-м испытаниях – чёрные шары
или
и во 2-м – БШ и в 3-м – ЧШ
или
в 1-м испытании извлечён ЧШ и во 2-м – ЧШ и в 3-м – БШ.

Желающие могут ознакомиться с более трудными примерами из сборника Чудесенко , в которых перекладываются несколько шаров. Особым любителям предлагаю задачи повышенной комбинационной сложности – с двумя последовательными перемещениями шаров из 1-й во 2-ю урну, из 2-й в 3-ю и финальным извлечением шара из последней урны – смотрите последние задачи файла Дополнительные задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей . Кстати, там немало и других интересных заданий.

А в заключение этой статьи мы разберём прелюбопытнейшую задачу, которой я вас заманивал на самом первом уроке =) Даже не разберём, а проведём небольшое практическое исследование. Выкладки в общем виде будут слишком громоздкие, поэтому рассмотрим конкретный пример:

Петя сдаёт экзамен по теории вероятностей, при этом 20 билетов он знает хорошо, а 10 плохо. Предположим, в первый день экзамен сдаёт часть группы, например, 16 человек, включая нашего героя. В общем, ситуация до боли знакома: студенты один за другим заходят в аудиторию и тянут билеты.

Очевидно, что последовательное извлечение билетов представляет собой цепь зависимых событий, и возникает насущный вопрос : в каком случае Пете с бОльшей вероятностью достанется «хороший» билет – если он пойдёт «в первых рядах», или если зайдёт «посерединке», или если будет тянуть билет в числе последних? Когда лучше заходить?

Сначала рассмотрим «экспериментально чистую» ситуацию, в которой Петя сохраняет свои шансы постоянными – он не получает информацию о том, какие вопросы уже достались однокурсникам, ничего не учит в коридоре, ожидая своей очереди, и т.д.

Рассмотрим событие: – Петя зайдёт в аудиторию самым первым и вытянет «хороший» билет. По классическому определению вероятности: .

Как изменится вероятность извлечения удачного билета, если пропустить вперёд отличницу Настю? В этом случае возможны две несовместные гипотезы:

– Настя вытянет «хороший» (для Пети) билет;
– Настя вытянет «плохой» билет, т.е. увеличит шансы Пети.

Событие же (Петя зайдёт вторым и вытянет «хороший» билет) становится зависимым .

1) Предположим, что Настя с вероятностью «увела» у Пети один удачный билет. Тогда на столе останутся 29 билетов, среди которых 19 «хороших». По классическому определению вероятности:

2) Теперь предположим, что Настя с вероятностью «избавила» Петю от 1-го «плохого» билета. Тогда на столе останутся 29 билетов, среди которых по-прежнему 20 «хороших». По классическому определению:

Используя теоремы сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий, вычислим вероятность того, что Петя вытянет «хороший» билет, будучи вторым в очереди:

Вероятность… осталось той же! Хорошо, рассмотрим событие: – Петя пойдёт третьим, пропустив вперёд Настю и Лену, и вытащит «хороший» билет.

Здесь гипотез будет побольше: дамы могут «обокрасть» джентльмена на 2 удачных билета, либо наоборот – избавить его от 2 неудачных, либо извлечь 1 «хороший» и 1 «плохой» билет. Если провести аналогичные рассуждения, воспользоваться теми же теоремами, то… получится такое же значение вероятности !

Таким образом, чисто с математической точки зрения, без разницы, когда идти – первоначальные вероятности останутся неизменными. НО . Это только усреднённая теоретическая оценка, так, например, если Петя пойдёт последним, то это вовсе не значит, что ему останутся на выбор 10 «хороших» и 5 «плохих» билетов в соответствии с его изначальными шансами. Данное соотношение может варьироваться в лучшую или худшую сторону, однако всё же маловероятно, что среди билетов останется «одна халява», или наоборот – «сплошной ужас». Хотя «уникальные» случаи не исключены – всё-таки тут не 3 миллиона лотерейных билетов с практически нулевой вероятностью крупного выигрыша. Поэтому «невероятное везение» или «злой рок» будут слишком преувеличенными высказываниями.

Математика и «чистый эксперимент» – это хорошо, но какой стратегии и тактики всё же выгоднее придерживаться в реальных условиях ? Безусловно, следует принять во внимание субъективные факторы, например, «скидку» преподавателя для «храбрецов» или его усталость к концу экзамена. Зачастую эти факторы могут быть даже решающими, но в заключительных рассуждениях я постараюсь не сбрасывать со счетов и дополнительные вероятностные аспекты:

Если Вы готовы к экзамену хорошо, то, наверное, лучше идти «в первых рядах». Пока билетов полный комплект, постулат «маловозможные события не происходят » работает на Вас гораздо в бОльшей степени. Согласитесь, что намного приятнее иметь соотношение «30 билетов, среди которых 2 плохих», чем «15 билетов, среди которых 2 плохих». А то, что два неудачных билета на отдельно взятом экзамене (а не по средней теоретической оценке!) так и останутся на столе – вполне и вполне возможно.

Теперь рассмотрим «ситуацию Пети» – когда студент готов к экзамену достаточно хорошо, но с другой стороны, и «плавает» тоже неплохо. Иными словам, «больше знает, чем не знает». В этом случае целесообразно пропустить вперёд 5-6 человек, и ожидать подходящего момента вне аудитории. Действуйте по ситуации. Довольно скоро начнёт поступать информация, какие билеты вытянули однокурсники (снова зависимые события!) , и на «заигранные» вопросы можно больше не тратить силы – учите и повторяйте другие билеты, повышая тем самым первоначальную вероятность своего успеха. Если «первая партия» экзаменующихся «избавила» вас сразу от 3-4 трудных (лично для Вас) билетов, то выгоднее как можно быстрее попасть на экзамен – именно сейчас шансы значительно возросли. Постарайтесь не упускать момент – всего несколько пропущенных вперёд человек, и преимущество, скорее всего, растает. Если же наоборот, «плохих» билетов вытянули мало – ждите. Через несколько человек эта «аномалия» опять же с большой вероятностью, если не исчезнет, то сгладится в лучшую сторону. В «обычном» и самом распространённом случае выгода тоже есть: расклад «24 билета/8 плохих» будет лучше соотношения «30 билетов/10 плохих». Почему? Трудных билетов теперь не десять, а восемь! С удвоенной энергией штудируем материал!

Если Вы готовы неважно или плохо, то само собой, лучше идти в «последних рядах» (хотя возможны и оригинальные решения, особенно, если нечего терять) . Существует небольшая, но всё же ненулевая вероятность, что Вам останутся относительно простые вопросы + дополнительная зубрёжка + шпоры, которые отдадут отстрелявшиеся сокурсники =) И, да – в совсем критической ситуации есть ещё следующий день, когда экзамен сдаёт вторая часть группы;-)

Какой можно сделать вывод? Субъективный оценочный принцип «кто идёт раньше, тот готов лучше» находит внятное вероятностное обоснование!

Пусть А и В – два события, рассматриваемые в данном испытании. При этом наступление одного из событий может влиять на возможность наступления другого. Например, наступление события А может влиять на событие В или наоборот. Для учёта такой зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Определение. Если вероятность события В находится при условии, что событие А произошло, то получаемая вероятность события В называется условной вероятностью события В . Для обозначения такой условной вероятности используются символы: р А (В ) или р (В / А ).

Замечание 2 . В отличие от условной вероятности, рассматривается и “безусловная” вероятность, когда какие-либо условия наступления некоторого события В отсутствуют.

Пример . В урне 5 шаров, среди которых 3 красных и 2 синих. Поочерёдно из неё извлекают по одному шару с возвратом и без возврата. Найти условную вероятность извлечения во второй раз красного шара при условии, что в первый раз извлечён: а) красный шар; б) синий шар.

Пусть событие А – извлечение красного шара в первый раз, а событие В – извлечение красного шара во второй раз. Очевидно, что р (А ) = 3 / 5; тогда в случае, когда вынутый 1-й раз шар возвращается в урну, р (В )=3/5. В случае же когда вынутый шар не возвращается, вероятность извлечения красного шара р (В ) зависит от того, какой шар был извлечён в первый раз – красный (событие А ) или синий (событие ). Тогда в первом случае р А (В ) = 2 / 4, а во втором (В ) = 3 / 4.

Теорема умножения вероятностей событий, одно из которых совершается при условии совершения другого

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло:

р (А ∙ В ) = р (А ) ∙ р А (В ) . (1.7)

Доказательство. Действительно, пусть n – общее число равновозможных и несовместных (элементарных) исходов испытания. И пусть n 1 – число исходов, благоприятствующих событию А , которое наступает вначале, а m – число исходов, в которых наступает событие В в предположении, что событие А наступило. Таким образом, m – это число исходов, благоприятствующих событию В. Тогда получим:

Т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других, причём условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Пример. В команде из 10 спортсменов 4 мастера спорта. По жеребьёвке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены – мастера спорта?

Решение. Приведём задачу к “урновой” модели, т.е. будем считать, что в урне, содержащей 10 шаров, имеется 4 красных шара и 6 белых. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара (выборка S = 3). Пусть событие А состоит в извлечении 3-х шаров. Задачу можно решить двумя способами: по классической схеме и по формуле (1.9).

Первый способ, основанный на формуле комбинаторики:

Второй способ (по формуле (1.9)). Из урны последовательно без возвращения извлекаются 3 шара. Пусть А 1 – первый извлечённый шар красный, А 2 – второй извлечённый шар красный, А 3 – третий извлечённый шар красный. Пусть также событие А означает, что все 3 извлечённых шара – красные. Тогда: А = А 1 ∙ (А 2 / А 1) ∙ А 3 / (А 1 ∙ А 2), т.е.

Пример. Пусть из совокупности карточек а, а, р, б, о, т последовательно извлекаются карточки по одной. Какова вероятность получения слова “работа ” при последовательном складывании их в одну строку слева направо?

Пусть В – событие, при котором получается заявленное слово. Тогда по формуле (1.9) получим:

р (В ) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Теорема умножения вероятностей приобретает наиболее простой вид, когда произведение образуется независимыми друг от друга событиями.

Определение. Событие В называется независимым от события А , если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет. Два события называются независимыми (зависимыми), если появление одного из них не изменяет (изменяет) вероятность появления другого. Таким образом, для независимых событий р(В/ A ) = р (В ) или = р (В ), а для зависимых событий р (В/ A )

Мы уже говорили, что в основе определения вероятности события лежит некоторая совокупность условий. Если никаких ограничений, кроме условий, при вычислении вероятности не налагается, то такие вероятности называются безусловными.

Однако в ряде случаев приходится находить вероятности событий при дополнительном условии, что произошло некоторое событие В, имеющее не нулевую вероятность, т.е. Данные вероятности мы будем называть условными и обозначать символом; это означает вероятность события А при условии, что событие В произошло.

Пример 1. Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма выпавших на них очков равна 8 (событие A), если известно, что эта сумма есть четное число (событие В)?

Все возможные случаи, которые могут представиться при бросании двух костей, мы запишем в таблице 1.7.1, каждая клетка которой содержит запись возможного события: на первом месте в скобках указывается число очков, выпавших на первой кости, на втором месте -- число очков, выпавших на второй кости.

Общее число возможных случаев -- 36, благоприятствующих событию A -- 5. Таким образом, безусловная вероятность.

Если событие В произошло, то осуществилась одна из 18 (а не 36) возможностей и, следовательно, условная вероятность равна.

Пример 2. Из колоды карт последовательно вынуты две карты. Найти: а) безусловную вероятность того, что вторая карта окажется тузом (неизвестно, какая карта была вынута вначале), и б) условную вероятность, что вторая карта будет тузом, если первоначально был вынут туз.

Обозначим через A событие, состоящее в появлении туза на втором месте, а через В--событие, состоящее в появлении туза на первом месте. Ясно, что имеет место равенство.

В силу несовместимости событий АВ и АВ имеем:

При вынимании двух карт из колоды в 36 карт могут произойти 36*35 (учитывая порядок!) случаев. Из них благоприятствующих событию АВ -- 4*3 случаев, а событию -- 32 * 4 случаев. Таким образом,

Если первая карта есть туз, то в колоде осталось 35 карт и среди них только три туза. Следовательно, .

Общее решение задачи нахождения условной вероятности для классического определения вероятности не представляет труда. В самом деле, пусть из n единственно возможных, несовместимых и равновероятных событий событию А благоприятствует m событий. Если событие В произошло, то это означает, что наступило одно из событий, благоприятствующих В. При этом условии событию А благоприятствуют r и только r событий Aj, благоприятствующих АВ. Таким образом,

Точно так же можно вывести, что

Понятно, что

т. е. вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

Теорема умножения применима и в том случае, когда одно из событий А или В есть невозможное событие, так как в этом случае вместе с имеют место равенства и.

Условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности. В этом легко убедиться, проверив, что она удовлетворяет всем свойствам, сформулированных в предыдущих параграфах. Действительно, первое свойство выполняется очевидным образом, поскольку для каждого события А определена неотрицательная функция. Если, то

Проверка третьего свойства также не составляет труда и мы предоставляем читателю ее осуществление.

Заметим, что вероятностное пространство для условных вероятностей задается следующей тройкой.

Определение 1. Говорят, что событие А независимо от события В, если имеет место равенство т. е. если наступление события В не изменяет вероятности появления события А.

Если событие А независимо от В, то имеет место равенство

Отсюда находим: т. е. событие В также независимо от А. Таким образом, свойство независимости событий взаимно.

Если события А и В независимы, то независимы также события А и. Действительно, так как

Отсюда мы делаем важное заключение: если события А и В независимы, то независимы также каждые два события.

Понятие независимости событий играет значительную роль в теории вероятностей и в ее приложениях. В частности, большая часть результатов, изложенных в настоящем пособии, получена в предположении независимости тех или иных рассматриваемых событий.

Так, например, ясно, что выпадение герба на одной монете не изменяет вероятности появления герба (решки) на другой монете, если только эти монеты во время бросания не связаны между собой (например, жестко не скреплены). Точно так же рождение мальчика у одной матери не изменяет вероятности появления мальчика (девочки) у другой матери. Это -- события независимые.

Для независимых событий теорема умножения принимает особенно простой вид, а именно, если события A и В независимы, то

Мы обобщим теперь понятие независимости двух событий на совокупность нескольких событий.

Определение 2. События называются независимыми в совокупности, если для любого события из их числа и произвольных из их же числа события и взаимно независимы. В силу предыдущего это определение эквивалентно: при любых

Заметим, что для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их по парной независимости. В этом можно убедиться на следующем простом примере.

Пример С.Н. Бернштейна. Представим себе, что грани тетраэдра окрашены: 1-я -- в красный цвет (A), 2-я -- в зеленый (В), третья -- в синий (С) и 4-я -- во все эти три цвета (AВС). Легко видеть, что вероятность выпадения грани, на которую упадет тетраэдр при бросании, и своей окраске иметь красный цвет равна 1/2: граней четыре и две из них имеют в окраске красный цвет.

события A,В,С, таким образом, попарно независимы.

Однако, если нам известно, что осуществились события В и С, то заведомо осуществилось и событие A, т. е. .

Таким образом, события A,В,С в совокупности зависимы. Таким образом, в общем случае при по определению

(В случае условная вероятность остается неопределенной.) Это позволяет нам перенести автоматически на общее понятие вероятности все определения и результаты настоящего параграфа.