Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности: теория и примеры решения задач

Условная вероятность

Событие. Пространство элементарных событий. Достоверное событие, невозможное событие. Совместные, несовместные события. Равновозможные события. Полная группа событий. Операции над событиями.

Событие - это явление, о котором можно сказать, что оно происходит или не происходит , в зависимости от природы самого события.

Под элементарными событиями , связанными с определенным испытанием, понимают все неразложимые результаты этого испытания. Каждое событие, которое может наступить в результате этого испытания, можно рассматривать как некоторое множество элементарных событий.

Пространством элементарных событий называется произвольное множество (конечное или бесконечное). Его элементы - точки (элементарные события). Подмножества пространства элементарных событий называются событиями.

Достоверным событием называется событие, которое вследствие данного испытания обязательно произойдет; (обозначается E).

Невозможным событием называется такое событие, которое вследствие данного испытания не может произойти ; (обозначается U). Например, появление одного из шести очков во время одного броска игрального кубика - достоверное событие, а появление 8 очков - невозможное.

Два события называются совместными (совместимыми) в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого.

Два события называются несовместными (несовместимыми) в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны.

Начало формы

Конец формы

Событие - это явление, о котором можно сказать, что оно происходит или не происходит , в зависимости от природы самого события. События обозначаются большими буквами латинского алфавита A, B, C,... Любое событие происходит вследствие испытания . Например, подбрасываем монету - испытание, появление герба - событие; достаем лампу из коробки - испытание, она бракованная - событие; вынимаем наугад шарик из ящика - испытание, шарик оказался черного цвета - событие. Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти во время данного испытания. Например, вынимая наугад одну карту из колоды, вы взяли туз; стреляя, стрелок попадает в цель. Теория вероятности изучает только массовые случайные события. Достоверным событием называется событие, которое вследствие данного испытания обязательно произойдет; (обозначается E). Невозможным событием называется такое событие, которое вследствие данного испытания не может произойти ; (обозначается U). Например, появление одного из шести очков во время одного броска игрального кубика - достоверное событие, а появление 8 очков - невозможное. Равновозможные события - это такие события, каждое из которых не имеет никаких преимуществ в появлении чаще другого во время многочисленных испытаний, которые проводятся с одинаковыми условиями. Попарно несовместимые события - это события, два из которых не могут произойти вместе. Вероятность случайного события - это отношение числа событий, которые благоприятствуют этому событию, к общему числу всех равновозможных несовместимых событий: P(A) = где A - событие; P(A) - вероятность события; N - общее число равновозможных и несовместимых событий; N(A) - число событий, которые благоприятствуют событию A. Это - классическое определение вероятности случайного события. Классическое определение вероятности имеет место для испытаний с конечным числом равновозможных результатов испытания. Пусть сделано n выстрелов по мишени, из которых оказалось m попаданий. Отношение W(A) = называется относительной статистической частотой наступления события A. Следовательно, W(A) - статистическая частота попадания.

При проведении серии выстрелов (табл.1) статистическая частота будет колебаться около определенного постоянного числа. Это число целесообразно принять за оценку вероятности попадания.

Вероятностью события A называется то неизвестное число P, около которого собираются значения статистических частот наступления события A при возрастании числа испытаний.

Это - статистическое обозначение вероятности случайного события.

Операции над событиями

Под элементарными событиями, связанными с определенным испытанием, понимают все неразложимые результаты этого испытания. Каждое событие, которое может наступить в результате этого испытания, можно рассматривать как некоторое множество элементарных событий. Пространством элементарных событий называется произвольное множество (конечное или бесконечное). Его элементы - точки (элементарные события). Подмножества пространства элементарных событий называются событиями. Все известные отношения и операции над множествами переносятся на события. Говорят, что событие A является частным случаем события B (или B является результатом A), если множество A является подмножеством B. Обозначают это отношение так же, как для множеств: A ⊂ B или B ⊃ A. Таким образом, отношение A ⊂ B означает, что все элементарные события, входящие в A, входят также в B, то есть при наступлении события A наступает также событие B. При этом, если A ⊂ B и B ⊂ A, то A = B. Событие A, которое происходит тогда и только тогда, когда событие A не происходит, называется противоположным событию A. Поскольку в каждом испытании происходит одно и только одно из событий - A или A, то P(A) + P(A) = 1, или P(A) = 1 − P(A). Объединением или суммой событий A и B называется событие C, которое происходит тогда и только тогда, когда или происходит событие A, или происходит событие B, или происходят A и B одновременно. Это обозначается C = A ∪ B или C = A + B. Объединением событий A 1 , A 2 , ... A n называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий. Обозначается объединение событий A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n , или A k , или A 1 + A 2 + ... + A n . Пересечением или произведением событий A и B называется событие D, которое происходит тогда и только тогда, когда события A и B происходят одновременно, и обозначается D = A ∩ B или D = A × B. Совмещением или произведением событий A 1 , A 2 , ... A n называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит и событие A 1 , и событие A 2 , и т.д., и событие A n . Обозначается совмещение так: A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n или A k , или A 1 × A 2 × ... × A n .

Тема № 2 . Аксиоматическое определение вероятности. Классическое, статистическое, геометрическое определение вероятности события. Свойства вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимые события. Условная вероятность. Вероятность наступления хотя бы одного из событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Численная мера степени объективной возможности наступления события называется вероятностью события. Это определение, качественно отражающее понятие вероятности события, не является математическим. Чтобы оно стало таким, необходимо определить его качественно.

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих ему, к общему числу случаев, то есть:

Где P(A) – вероятность события А.

Число случаев благоприятствующих событию А

Общее число случаев.

Статистическое определение вероятности:

Статистической вероятностью события А называется относительная частота появления этого события в произведённых испытаниях, то есть:

Где - статистическая вероятность события А.

Относительная частота(частость) события А.

Число испытаний, в которых появилось события A

Общее число испытаний.

В отличие от «математической» вероятности , рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность является характеристикой опытной, экспериментальной.

Если есть доля случаев, благоприятствующих событию А, которая определяется непосредственно, без каких-либо испытаний, то есть доля тех фактически произведённых испытаний, в которых событие А появилось.

Геометрическое определение вероятности:

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области благоприятствующей появлению события А, к мере всех области, то есть:

В одномерном случае:

Следует оценить вероятность попадания точки на CD/

Оказывается эта вероятность не зависит от места нахождения CD на отрезке АВ, а зависит лишь от его длины.

Вероятность попадания точки не зависит ни от форм, ни от месте нахождения В на А, а зависит лишь от площади данного сегмента.

Условная вероятность

Вероятность называется условной , если она вычисляется при определённых условиях и обозначается:

Это вероятность события А. Вычисляется при условии, что событие В уже произошло.

Пример. Производим испытание, извлекаем две карты из колоды: Первая вероятность является безусловной.

Вычисляем вероятность извлечения туза из колоды:

Вычисляем появление 2-тузув из колоды:

А*В – совместное появление событий

– теорема умножения вероятностей

Следствие:

Теорема умножения для совместного появления событий имеет вид:

То есть каждая последующая вероятность вычисляется с тем учётом, что все предыдущие условия уже произошли.

Независимость события:

Независимыми называются 2 события, если появление одного не противоречит появлению другого.

Например, если тузы из колоды извлекаются повторно, тогда они между собой независимы. Повторно, то есть карту посмотрели и вернули обратно в колоду.

Совместные и несовместные события:

Совместными называются 2 события, если появление одного из них не противоречит появлению другого.

Теорема сложения вероятностей совместных событий:

Вероятность появления одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без их совместного появления.

Для трёх совместных событий:

Несовместными называются события, если никакие два из них не могут появиться одновременно в результате однократного испытания случайного эксперимента.

Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Вероятность суммы событий:

Теорема сложения вероятностей:

Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Следствие 1:

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу равна единице:

Следствие 2:

Замечание: Следует подчеркнуть, что рассмотренная теорема сложения применима только для несовместных событий.

Вероятность противоположных событий:

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу. Одно из двух противоположных событий обозначено через А , другое – через .

Пример: Попадание и промах при выстреле по цели – противоположные события. Если A – попадание, то – промах.

Теорема: Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Замечание 1: Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через p, то вероятность другого события обозначают через q Таким образом, в силу предыдущей теоремы:

Замечание 2: При решении задач на отыскание вероятности события A часто выгодно сначала вычислить вероятность события , а затем найти искомую вероятность по формуле:

Вероятность появления хотя бы одного события:

Допустим, что в результате эксперимента может появиться одно, какая-то часть или ни одно событие.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного события из совокупности независимых событий равна разности между единицей и их вероятностью не появления событий .

Формула полной вероятности событий:

Теорема: Если событие F может произойти только при условии появления одного из событий(гипотез) , образующих полную группу, то вероятность события F равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий(гипотез) на соответствующие условные вероятности события F.

Пусть А и В – два события, рассматриваемые в данном испытании. При этом наступление одного из событий может влиять на возможность наступления другого. Например, наступление события А может влиять на событие В или наоборот. Для учёта такой зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Определение. Если вероятность события В находится при условии, что событие А произошло, то получаемая вероятность события В называется условной вероятностью события В . Для обозначения такой условной вероятности используются символы: р А (В ) или р (В / А ).

Замечание 2 . В отличие от условной вероятности, рассматривается и “безусловная” вероятность, когда какие-либо условия наступления некоторого события В отсутствуют.

Пример . В урне 5 шаров, среди которых 3 красных и 2 синих. Поочерёдно из неё извлекают по одному шару с возвратом и без возврата. Найти условную вероятность извлечения во второй раз красного шара при условии, что в первый раз извлечён: а) красный шар; б) синий шар.

Пусть событие А – извлечение красного шара в первый раз, а событие В – извлечение красного шара во второй раз. Очевидно, что р (А ) = 3 / 5; тогда в случае, когда вынутый 1-й раз шар возвращается в урну, р (В )=3/5. В случае же когда вынутый шар не возвращается, вероятность извлечения красного шара р (В ) зависит от того, какой шар был извлечён в первый раз – красный (событие А ) или синий (событие ). Тогда в первом случае р А (В ) = 2 / 4, а во втором (В ) = 3 / 4.

Теорема умножения вероятностей событий, одно из которых совершается при условии совершения другого

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло:

р (А ∙ В ) = р (А ) ∙ р А (В ) . (1.7)

Доказательство. Действительно, пусть n – общее число равновозможных и несовместных (элементарных) исходов испытания. И пусть n 1 – число исходов, благоприятствующих событию А , которое наступает вначале, а m – число исходов, в которых наступает событие В в предположении, что событие А наступило. Таким образом, m – это число исходов, благоприятствующих событию В. Тогда получим:

Т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других, причём условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Пример. В команде из 10 спортсменов 4 мастера спорта. По жеребьёвке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены – мастера спорта?

Решение. Приведём задачу к “урновой” модели, т.е. будем считать, что в урне, содержащей 10 шаров, имеется 4 красных шара и 6 белых. Из этой урны наудачу извлекаются 3 шара (выборка S = 3). Пусть событие А состоит в извлечении 3-х шаров. Задачу можно решить двумя способами: по классической схеме и по формуле (1.9).

Первый способ, основанный на формуле комбинаторики:

Второй способ (по формуле (1.9)). Из урны последовательно без возвращения извлекаются 3 шара. Пусть А 1 – первый извлечённый шар красный, А 2 – второй извлечённый шар красный, А 3 – третий извлечённый шар красный. Пусть также событие А означает, что все 3 извлечённых шара – красные. Тогда: А = А 1 ∙ (А 2 / А 1) ∙ А 3 / (А 1 ∙ А 2), т.е.

Пример. Пусть из совокупности карточек а, а, р, б, о, т последовательно извлекаются карточки по одной. Какова вероятность получения слова “работа ” при последовательном складывании их в одну строку слева направо?

Пусть В – событие, при котором получается заявленное слово. Тогда по формуле (1.9) получим:

р (В ) = 1/6 ∙ 2/5 ∙ 1/4 ∙ 1/3 ∙ 1/2 ∙ 1/1 = 1/360.

Теорема умножения вероятностей приобретает наиболее простой вид, когда произведение образуется независимыми друг от друга событиями.

Определение. Событие В называется независимым от события А , если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет. Два события называются независимыми (зависимыми), если появление одного из них не изменяет (изменяет) вероятность появления другого. Таким образом, для независимых событий р(В/ A ) = р (В ) или = р (В ), а для зависимых событий р (В/ A )

Лекция 4

Принцип практической невозможности маловероятных событий

Если случайное событие имеет очень маленькую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит. Все зависит от конкретной задачи. Если вероятность нераскрытия парашюта 0,01, то такой парашют применять нельзя. Если электричка опоздает с вероятностью 0,01 то можно быть уверенным что она прибудет вовремя.

Достаточно малую вероятность, при которой в данной задаче событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости от 0,01 до 0,05.

Если случайное событие имеет вероятность очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит.

Условная вероятность

Произведением двух событий A и B называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если A - деталь годная, В - деталь окрашенная, то АВ - деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событ ий. Например, если A , B , C - появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC - выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти.

Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий S, не налагается, то такую вероятность называют безусловной ; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной.

Например, часто вычисляют вероятность события B при дополнительном условии, что произошло событие A . Безусловная вероятность, строго говоря, является условной, поскольку предполагается осуществление условий S.

Условной вероятностью Р A (В) или называют вероятность события B, вычисленную в предположении, что событие A уже наступило

Условная вероятность вычисляется по формуле

. (4.1)

Эту формулу можно доказать исходя из классического определения вероятности.

Пример 3. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В ), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А ).

Решение . После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность Р А (В ) = 3/5.

Этот же результат можно получить по формуле

Р A (В ) =P (АВ )/P (А) (P (А ) > 0).

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании

P (A ) = 3/6 =1/2.

Найдем вероятность P (АВ ) того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором - белый по формуле (3.1). Общее число исходов - совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений = 6 5 = 30. Из этого числа исходов событию АВ благоприятствуют 3 3=9 исходов. Следовательно, P (АВ ) =9/30 = 3/10.

Условная вероятность P А (В ) =P (АВ )/Р (А ) = (3/10)/(1/2) = 3/5. Получен прежний результат.

Тема: Понятие условной вероятности в примерах и задачах.

Немного статистики: более 90% студентов, пройдя полный курс теории вероятности, на экзамене не могут решить задачу на теорему умножения вероятностей, на формулу полной вероятности, формулу Байеса, не могут вычислить вероятность гипотез. Вопрос почему? После индивидуальных занятий с данными студентами выяснилось, что студенты пропустили мимо ушей такое важное понятие, как условная вероятность, и тупо пытались применять формулы при решении задач. После дополнительного занятия по теме "Условная вероятность в примерах и задачах" все студенты справились с индивидуальными заданиями.

Напомню вероятность бывает безусловной и условной. В самих названиях уже заключен смысл данных понятий: безусловная вероятность это вероятность события на которое не накладывается ни каких дополнительных условий, условная - значит имеются дополнительные условия.

Рассмотрим два примера:

Пример 1.Бросаем игральную кость, найти вероятность выпадения "6".

Пример 2.Событие то же самое, бросаем игральную кость, найти вероятность выпадения "6", если известно, что выпало четное число.

Вопрос: в каком примере условная вероятность, и в каком безусловная.

Ответ: в примере 1 - безусловная, в примере 2 - условная.

Вопрос: а в чем заключается условие?

Ответ: в том, что выпадет четное число.

Вопрос: по какой формуле будем находить вероятность в примере 1?

Ответ: по формуле классической вероятности.

Ответ: вероятность события это отношение числа благоприятных событий к числу всех возможных, если событие выпадение числа "6" обозначить через А, то запись будет выглядеть так

Вопрос: назовите число благоприятных и число всех возможных событий в первом примере?

Ответ: благоприятным будет только одно событие - это выпадение "6", значит n=1, число всех возможных событий m=6 (1,2,3,4,5,6)

Вопрос: ну и подставить в формулу надеюсь труда не составит.

Ответ:

Займемся решением второго примера, на условную вероятность.

Вопрос: по какой формуле будем находить условную вероятность.
Ответ: тоже по формуле условной вероятности, данная формула отличается от классической только с той лишь разницей, что на наше событие наложено ограничение - всех возможных событий не 6, а 3, потому что в условии сказано: выпало четное число - обозначим данное событие B, значит возможно выпадение "2", "4" или "6", отсюда m=3, число благоприятных событий не изменилось n=1, тогда условная вероятность события А при условии В равна

Условная вероятность может быть записана и так: Р(А/В)=1/3

Пример 3. Из коробки, содержащей 3 белых, 5 чёрных и 7 зеленых шаров наугад взяли 1 шар. Какова вероятность того, что шар оказался чёрного цвета, если известно, что вынутый шар не белый?

Решение по формуле условной вероятности,

или Р(А/В)=m/n

где m - число благоприятных событий, n - число всех возможных событий.
условие - шар не белого цвета, обозначим событие В.

число благоприятных событий - m=5 (черных шаров 5)
число всех возможных событий - n=12 (шар не белый, 5+7=12)
Подставляем в формулу, получаем условную вероятность вынуть черный шар

или Р(А/В)=5/12

Основной вопрос: в чем же проблема в применении понятия условной вероятности?

Ответ: в том, что формула условной вероятности внешне очень похожа на формулу классической вероятности и студенты, не вдумываясь в суть задачи, часто их путают или не понимают разницы.

Ну вот и все, что необходимо знать про условную вероятность. Более сложные задачи получаются когда данная формула комбинируется с теоремой умножения вероятностей. Также данное понятие применяется в формуле полной вероятности и формуле Байеса, но это уже тема следующих занятий.

И вопрос для самостоятельного решения: какая вероятность всегда больше условная или безусловная (если событие одно и то же)?

Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной ; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной . Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А .

Условной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события В , вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

В частности, отсюда получаем .

Пример. В урне находятся 3 белых шара и 2 черных. Из урны вынимается один шар, а затем второй. Событие В – появление белого шара при первом вынимании. Событие А – появление белого шара при втором вынимании.

Решение. Очевидно, что вероятность события А , если событие В произошло, будет . Вероятность события А при условии, что событие В не произошло, будет .

Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие В), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие А).

Решение . После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых. Искомая условная вероятность .

Этот же результат можно получить по формуле .

Действительно, вероятность появления белого шара при первом испытании .

Найдем вероятность того, что в первом испытании появится черный шар, а во втором - белый. Общее число исходов - совместного появления двух шаров, безразлично какого цвета, равно числу размещений . Из этого числа исходов событию благоприятствуют исходов. Следовательно, .

Искомая условная вероятность

Результаты совпали.

Пример. В трамвайном парке имеются 15 трамваев маршрута №1 и 10 трамваев маршрута №2. Какова вероятность того, что вторым по счету на линию выйдет трамвай маршрута №1?

Решение . Пусть А - событие, состоящее в том, что на линию вышел трамвай маршрута №1, В - маршрута №2.

Рассмотрим все события, которые могут при этом быть (в условиях нашей задачи): . Из них нас будут интересовать только первое и третье, когда вторым выйдет трамвай маршрута №1.

Так как все эти события совместны, то:

отсюда искомая вероятность

Пример. Какова вероятность того, что 2 карты, вынутые из колоды в 36 карт, окажутся одной масти?

Решение . Сначала подсчитаем вероятность того, что две карты окажутся одной определенной масти (например «пики»). Пусть А - появление первой карты такой масти, В - появление второй карты той же масти. Событие В зависит от события А , т.к. его вероятность меняется от того, произошло или нет событие А . Поэтому придется воспользоваться теоремой умножения в ее общей форме:

Где (после вынимания первой карты осталось 35 карт, из них той же масти, что и первая - 8).

Получаем .

События, состоящие в том, что будут вынуты две карты масти «пики», масти «треф» и т.д., несовместны друг с другом. Следовательно, для нахождения вероятности их объединения воспользуемся теоремой сложения: .