Монетата се хвърля 3 пъти по каква вероятност за това. Метод за комбиниране на комбинации. Определяне на вероятността в проблемите на играта

В теорията на вероятностите има група задачи, които да решават, които е достатъчно, за да се знае класическата дефиниция на вероятността и ясно да се представи предложената ситуация. Такива цели са по-голямата част от задачите с хвърляща монета и задачи с леярски куб. Спомнете си класическата дефиниция на вероятностите.

Вероятността от А. (Целта възможността за събитие в цифров израз) е равна на съотношението на броя на резултатите, благоприятни за това събитие до общия брой на равновесието непълни елементарни резултати: \\ t P (a) \u003d m / nКъдето:

• m - броя на елементарните резултати от теста, благоприятстващ появата на събитие А;
• n е общият брой на всички възможни елементарни резултати от теста.

Броят на възможните елементарни резултати от изпитването и броят на благоприятните резултати в разглежданите задачи се определят удобно от просперитета на всички възможни опции (комбинации) и директно отчитане.

От таблицата виждаме, че броят на възможните елементарни резултати n \u003d 4. Благоприятни резултати от събития A \u003d (Eagle Drops 1 път) съответстват на изпълнение на No. 2 и № 3 на експеримента, тези опции са две m \u003d 2.
Ние намираме вероятността за събитие p (a) \u003d m / n \u003d 2/4 \u003d 0.5

Задача 2. . В случайни експерименти симетрична монета Хвърля два пъти. намирам вероятността отче орелът няма да падне.

Решение . Тъй като монетата е хвърлена два пъти, тогава, както в проблем 1, броят на възможните елементарни резултати n \u003d 4. Благоприятните резултати от събитието A \u003d (орелът никога няма да падне) съответства на експеримента номер 4 (виж таблицата в проблем 1). Тази опция е една, което означава m \u003d 1.
Ние намираме вероятността от събитие P (a) \u003d m / n \u003d 1/4 \u003d 0,25

Задача 3. . В случайно експеримент симетричната монета се изхвърля три пъти. Намерете шанса, че орелът ще падне точно 2 пъти.

Решение . Възможни опции Три хвърлящи монети (всички възможни комбинации от орли и карти) ще присъстват под формата на таблица:

От таблицата виждаме, че броят на възможните елементарни резултати n \u003d 8. Благоприятни резултати от събития A \u003d (Eagle Drops 2 пъти) съответства на опции № 5, 6 и 7 от експеримента. Три такива опции, това означава m \u003d 3.
Ние намираме вероятността от събитие P (a) \u003d m / n \u003d 3/8 \u003d 0,375

Задача 4. . В случайно експеримент симетричната монета се хвърля четири пъти. Намерете възможността орелът да падне точно 3 пъти.

Решение . Възможни опции за четири леярски монети (всички възможни комбинации Orls и сигув) Представете си под формата на таблица:

От таблицата виждаме, че броят на възможните елементарни резултати n \u003d 16. Благоприятни резултати от събития a \u003d (орел ще падне 3 пъти) съответстват на опциите № 12, 13, 14 и 15 от експеримента, което означава m \u003d 4.
Ние намираме вероятността от събитие P (a) \u003d m / n \u003d 4/16 \u003d 0.25

Определяне на вероятността в проблемите на играта

Задача 5. . Определете вероятността, че когато хвърляте куба (подходяща кост), повече от 3 точки ще паднат.

Решение . Когато хвърляте куба (подходяща кост), някой от шестте й лица може да падне, т.е. Всяко от елементарните събития ще се случи - отпадане от 1 до 6 точки (точки). Следователно, броя на възможните елементарни резултати n \u003d 6.
Събитие A \u003d (възникна повече от 3 точки) означава, че 4, 5 или 6 точки са паднали (точки). Така че броят на благоприятните резултати m \u003d 3.
Вероятността за събитие P (a) \u003d m / n \u003d 3/6 \u003d 0.5

Задача 6. . Определете вероятността, че когато хвърляте куба, броят на точките падна, не повече от 4. резултатът, закръглен до хилядни.

Решение . Когато хвърляш куб, някой от шестте лица може да падне, т.е. Всяко от елементарните събития ще се случи - отпадане от 1 до 6 точки (точки). Следователно, броя на възможните елементарни резултати n \u003d 6.
Събитие A \u003d (не повече от 4 точки) означава 4, 3, 2 или 1 точка (точка). Следователно, броят на благоприятните резултати m \u003d 4.
Вероятността за събитието p (a) \u003d m / n \u003d 4/6 \u003d 0,6666 ... ≈0,667

Задача 7. . Игралната кост се хвърля два пъти. Намерете вероятността и двата пъти по-малък от 4.

Решение . Като игрална кост ( зародиш) Хвърляйте два пъти, ние ще спорим както следва: ако една точка падна на първия куб, тогава 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6 може да падне на втория. Получаваме двойки (1; 1), (1 ; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6) и така с всеки ръб. Всички случаи ще бъдат представени под формата на таблица от 6 линии и 6 колони:

Благоприятни резултати от събития A \u003d (и двата пъти са паднали с число по-малко от 4) (те са подчертани в мазнини) Ние изчисляваме и получаваме m \u003d 9.
Ние намираме вероятността от събитие p (a) \u003d m / n \u003d 9/36 \u003d 0.25

Задача 8. . Игралната кост се хвърля два пъти. Намерете вероятността най-голямата от два числа да спадна 5. Отговорът за хиляди.

Решение . Всички възможни резултати от двама хвърляния възпроизвеждане на кости Представете си в таблицата:

От таблицата виждаме, че броят на възможните елементарни резултати n \u003d 6 * 6 \u003d 36.
Благоприятни резултати от събитието A \u003d (най-големият от двата числа са 5) (те са подчертани в мазнини), които изчисляваме и получаваме m \u003d 8.
Ние намираме вероятността за събитието P (a) \u003d m / n \u003d 8/36 \u003d 0,2222 ... ≈0,222

Задача 9. . Игралната кост се хвърля два пъти. Намерете вероятността поне веднъж да има по-малко от 4.

Решение . В таблицата ще присъстват всички възможни резултати от две хвърляния на игрални кости:

От таблицата виждаме, че броят на възможните елементарни резултати n \u003d 6 * 6 \u003d 36.
Фразата "поне веднъж е паднала на брой, по-малко от 4" означава "броят на по-малко от 4 пада веднъж или два пъти", след това броят на благоприятните резултати от събитието a \u003d (поне веднъж е паднал на номер по-малък от 4) (те са маркирани в удебелен шрифт) m \u003d 27.
Ние намираме вероятността на събитието p (a) \u003d m / n \u003d 27/36 \u003d 0.75

Задачите за хвърляне на монети се считат за доста сложни. И преди да ги решите, е необходимо малко обяснение. Мислете, че всяка задача за теорията на вероятностите в крайна сметка се свежда до стандартната формула:

когато p е желаната вероятност, К е броят на събитията, които ни подреждат, n е общият брой на възможните събития.

Повечето B6 задачи се решават по тази формула буквално в един ред - просто прочетете състоянието. Но в случай на превръщане на монети, тази формула е безполезна, тъй като не е ясно от текста на такива проблеми, което е равно на броя K и n. Това е цялата трудност.

Въпреки това има поне два фундаментално различни метода на решения:

1. Комбинацията от комбинации е стандартен алгоритъм. Всички комбинации от орли и решетки се изписват, след което е избрано необходимото лице;
2. Специална вероятностна формула е стандартната вероятностна дефиниция, специално пренаписана така, че да е удобно да работи с монети.

За да разрешите проблема B6, трябва да знаете и двата метода. За съжаление в училищата изучават само първите. Няма да повтаряме училищните грешки. Така че нека да отидем!

Метод на комбинации от горене

Този метод също се нарича "решение на решението". Се състои от три стъпки:

1. Ние отписваме всички възможни комбинации от орли и карти. Например: или, RO, OO, PP. Броят на тези комбинации е N;
2. Сред получените комбинации отразяваме тези, които се изискват от състоянието на проблема. Считаме, че маркираните комбинации - получаваме номер k;
3. Остава да се намери вероятност: p \u003d k: n.

За съжаление този метод работи само за малък брой хвърляния. Защото с всяко ново хвърляне броят на комбинациите се удвоява. Например, за 2 монети ще трябва да напишат само 4 комбинации. За 3 монети от тях вече са 8, а за 4 - 16 и вероятността за грешка се приближава 100%. Обърнете внимание на примерите - и ще разберете всичко:

Задача. В случайно експеримент симетричната монета се хвърля 2 пъти. Намерете възможността орлите и картите да изпадат една и съща сума.

Така че монетата се хвърля два пъти. Пийте всички възможни комбинации (O - Oagle, P - Rush):

Общо n \u003d 4 опции. Сега ще запишем опциите, които са подходящи за състоянието на задачата:

Такива опции се оказаха K \u003d 2. Намерете шанс:

Задача. Монетата се хвърля четири пъти. Намерете вероятността да изпадна бързането.

Ние отново предписваме всички възможни комбинации от орли и карти:

OOOO OPOOP OOPO OPP OPPP OPPO OPPP
POOO POP POPO POPP PPOS PPOP PPPO PPPP

Общо обърнати n \u003d 16 опции. Изглежда, че не съм забравил нищо. От тези опции, ние сме само комбинация от "OOOO", в която изобщо няма скара. Следователно K \u003d 1. остава да се намери шанс:

Както виждате, в последната задача трябваше да напиша 16 варианта. Сигурни ли сте, че можете да ги пишете без нито една грешка? Лично аз не съм сигурен. Затова нека разгледаме втория начин за решаване.

Специална вероятност за формула

Така че, в задачите с монети има собствена формула за вероятност. Толкова е просто и важно, че реших да го подредя под формата на теорема. Погледни:

Теорема. Нека монетата хвърля n пъти. Тогава вероятността орелът да падне точно k пъти, може да бъде намерен по формулата:

Където C N K е броят на комбинациите от N елементи от K, който се разглежда с формулата:

По този начин, за решаване на проблема с монети са необходими две числа: броя на снимките и броя на орлите. Най-често тези цифри се дават директно в текста на задачата. Освен това, няма значение какво точно считат: отглеждат или орлите. Отговорът ще се окаже същото.

На пръв поглед теоремата изглежда твърде тромава. Но е необходимо да се практикува леко - и вече не искате да се върнете към стандартния алгоритъм, описан по-горе.

Задача. Монетата се хвърля четири пъти. Намерете вероятния орел да падне точно три пъти.

При условието на проблема общите хвърляния са n \u003d 4. необходимия брой орли: k \u003d 3. заместваме N и K във формулата:

Задача. Монетата се хвърля три пъти. Намерете вероятността да изпадна бързането.

Ние отново записваме числата n и k. Тъй като монетата е хвърлена 3 пъти, n \u003d 3. и тъй като картините не трябва да бъдат, k \u003d 0. остава да се замени числото n и k във формулата:

Нека ви напомняме, че 0! \u003d 1 по дефиниция. Следователно, C3 0 \u003d 1.

Задача. В случайно експеримент симетричната монета се хвърля 4 пъти. Намерете възможността орелът да падне повече от веднъжот бързането.

Така че орлите са повече от това, те трябва да падне или 3 пъти (тогава картите ще бъдат 1), или 4 (тогава правенето няма да бъде изобщо). Намерете вероятността от всяко от тези събития.

Нека P 1 е вероятността орелът да падне 3 пъти. След това n \u003d 4, k \u003d 3. има:

Сега откриваме P 2 - вероятността орелът да падне 4 пъти. В този случай n \u003d 4, k \u003d 4. има:

За да получите отговора, остава да бъде сгънат като P 1 и P2. Запомнете: да сгънете вероятностите само за взаимно изключващи се събития. Ние имаме:

p \u003d P 1 + P2 \u003d 0.25 + 0.0625 \u003d 0,3125

Задача 1. . Играеща кост, хвърлена 6 пъти. Намерете вероятността точно 3 пъти "шест" ще падне.

Решение. Шест оцветени костюми могат да се считат за последователност от независими тестове с вероятност за успех ("шест"), равна на 1/6, а вероятността за неуспех е 5/6. Желаната вероятност се изчислява по формулата.

Задача 2. . Монетата се втурва 6 пъти. Намерете шанса, че гербът ще падне не повече от 2 пъти.

Решение.Желаният шанс е равен на сумата на вероятностите на три събития, които гербът няма да падне, или веднъж или два пъти:

P (a) \u003d Р 6 (0) + Р 6 (1) + Р 6 (2) \u003d.

Задача 3. . Одиторът открива финансови нарушения от проверената фирма с вероятност 0.9. Намерете вероятността сред 4 интриолатори да бъдат разкрити повече от половината.

Решение. Събитието е, че три или четири ще бъдат открити от 4 фирми за нарушители, т.е.

Задача 4. . Монетата се изпуска 3 пъти. Намерете най-вероятно успеха на герба.

Решение. Възможни стойности за броя на успеха в трите разглеждани тестове са m \u003d 0, 1, 2 или 3. Нека m е събитие, състоящо се от факта, че при три капки монети на монетата монета се появяват m m пъти. Според формулата Bernoulli, е лесно да се намерят вероятностите на събитията m (виж таблицата):

От тази таблица може да се види, че най-вероятните стойности са числа 1 и 2 (вероятностите им са 3/8). Същият резултат може да бъде получен от теорема 2. Наистина, n \u003d 3, p \u003d 1/2, q \u003d 1/2. Тогава

.
.

Задача 5. В резултат на всяко посещение на застрахователния агент споразумението се крие с вероятност 0.1. Намерете най-подходящия брой договори след 25 посещения.

Решение.Имаме n \u003d 10, р \u003d 0.1, q \u003d 0.9. Неравенството за най-вероятния брой успехи приема формата: 250.1-0.9m * 250,1 + 0.1 или 1,6м * 2.6. Това неравенство има само едно решение, а именно, m * \u003d 2.

Задача 6. . Известно е, че процентът на брака за някои детайли е 0.5%. Контролерът проверява 1000 части. Каква е вероятността за откриване на точно три дефектни части? Каква е вероятността за откриване на най-малко три дефектни части?

Решение. Имаме 1000 Bernoulli тестове с вероятност за "успех" p \u003d 0.005. Прилагане на сближаването на Poisson с λ \u003d np \u003d 5, ние получаваме

1) P 1000 (3)  ;

2) p 1000 (m3) \u003d 1.p 1000 (m<3)=11
,

и P 1000 (3) 0.14; P 1000 (M3) 0.875.

Задача 7. . Вероятността за покупка при посещение на магазина Клиент е P \u003d 0.75. Намерете шанса, че със 100 посещения на клиента ще купите точно 80 пъти.

Решение. В този случай, n \u003d 100, m \u003d 80, p \u003d 0.75, q \u003d 0,25. намирам
и дефиниране  (x) \u003d 0.2036, след това желаната вероятност е равна на Р 100 (80) \u003d
.

Задача 8. Застрахователната компания заключи 40 000 договора. Вероятността на застрахованото събитие за всяка от тях за една година е 2%. Намерете вероятността такива случаи да бъдат не повече от 870.

Решение. При условие на проблема n \u003d 40000, p \u003d 0.02. Ние намираме NP \u003d 800,
. За да изчислите P (m £ 870), ние използваме интегралната теорема на Mooreav-Laplace:

P (0. и
.

Намерете на таблицата на стойностите на функцията Лаплас:

P (0.

Задача 9. . Вероятността на събитие във всеки от 400 независими тестове е 0.8. Намерете такъв положителен брой до 0.999 абсолютната стойност на отклонението на относителната честота на събитието от вероятността му, не надвишава.

Решение. При условие на проблема p \u003d 0.8, n \u003d 400. Използваме следствие от интегралната теорема в Моорв-Лаплас:
. Следователно,
. На масата за функцията Лаплас определи
. Следователно  \u003d 0.0516.

Задача 10. Процентът на кампаниите на ден може да се повиши с 1 точка с вероятност от 50%, да спадне с 1 точка с вероятност от 30% и да остане непроменен с вероятност 20%. Намерете вероятността за 5 дни на търговията да се повиши с 2 точки.

Решение.Възможни са само следните две опции за разработване на събития:

1) Курсът нараства 2 дни, никога не пада, не се променя за 3 дни;

2) Курсът нараства 3 дни, пада 1 ден, не променя 1 ден.