При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Математиката и ние В случаен експеримент се хвърля симетрична монета

Формулиране на проблема:При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността глави (опашки) да не се появят нито веднъж (ще се появят точно/поне 1, 2 пъти).

Задачата е част от Единния държавен изпит по математика основно ниво за 11 клас под номер 10 (Класическа дефиниция на вероятността).

Нека да разгледаме как се решават такива проблеми с примери.

Примерна задача 1:

При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите да не се появят нито веднъж.

OO ИЛИ RO RR

Има общо 4 такива комбинации. Ние се интересуваме само от тези, които не съдържат нито един орел. Има само една такава комбинация (PP).

Р = 1/4 = 0,25

Отговор: 0,25

Примерна задача 2:

При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността да получите глави точно два пъти.

Нека разгледаме всички възможни комбинации, които могат да възникнат, ако една монета бъде хвърлена два пъти. За удобство ще обозначим главите с буквата O, а опашките с буквата P:

OO ИЛИ RO RR

Има общо 4 такива комбинации. Интересуват ни само тези, в които главите се появяват точно 2 пъти. Има само една такава комбинация (OO).

Р = 1/4 = 0,25

Отговор: 0,25

Примерна задача 3:

При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите да се появят точно веднъж.

OO ИЛИ RO RR

Има общо 4 такива комбинации. Ние се интересуваме само от тези, в които главите се появяват точно 1 път. Има само две такива комбинации (OR и RO).

Отговор: 0,5

Примерна задача 4:

При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите да се появят поне веднъж.

OO ИЛИ RO RR

Има общо 4 такива комбинации. Ние се интересуваме само от тези, в които главите се появяват поне веднъж. Има само три такива комбинации (OO, OP и RO).

P = 3/4 = 0,75

Описание на презентацията по отделни слайдове:

1 слайд

Описание на слайда:

Решаване на задачи по теория на вероятностите. Учител по математика MBOU Nivnyanskaya средно училище, Нечаева Тамара Ивановна

2 слайд

Описание на слайда:

Цели на урока: да се разгледат различни видове проблеми в теорията на вероятностите и методите за тяхното решаване. Цели на урока: да научи учениците да разпознават различни видове проблеми в теорията на вероятностите и да подобрят логическото мислене на учениците.

3 слайд

Описание на слайда:

Задача 1. При произволен експеримент симетрична монета се хвърля 2 пъти. Намерете вероятността да получите еднакъв брой глави и опашки.

4 слайд

Описание на слайда:

Задача 2. Монета се хвърля четири пъти. Намерете вероятността никога да не получите глави.

5 слайд

Описание на слайда:

Задача 3. При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите да се появят точно веднъж. Решение: За да се намери вероятността за определено събитие, е необходимо да се разгледат всички възможни резултати от експеримента и след това да се изберат благоприятни резултати от тях (благоприятни резултати са резултати, които отговарят на изискванията на проблема). В нашия случай благоприятни резултати ще бъдат тези, при които при две хвърляния на симетрична монета главите се появяват само веднъж. Вероятността за събитие се изчислява като съотношението на броя на благоприятните резултати към общия брой резултати. Следователно вероятността при два пъти хвърляне на симетрична монета главите да се появят само веднъж е равна на: P = 2/4 = 0,5 = 50% Отговор: вероятността в резултат на горния експеримент главите да се появят само веднъж е 50 %. Номер на експеримента 1-во хвърляне 2-ро хвърляне Брой пъти глави 1 Глави Глави 2 2 Опашки Опашки 0 3 Глави Опашки 1 4 Опашки Глави 1

6 слайд

Описание на слайда:

Задача 4. Зарът се хвърля веднъж. Каква е вероятността броят на хвърлените точки да е по-голям от 4. Решение: Произволен експеримент – хвърляне на зар. Елементарното събитие е числото от изпуснатата страна. Отговор: 1/3 Общо лица: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Елементарни събития: N=6 N(A)=2

Слайд 7

Описание на слайда:

Задача 5. Биатлонист стреля по мишени пет пъти. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Намерете вероятността биатлонистът да уцели мишените първите три пъти и да пропусне последните два пъти. Закръглете резултата до стотни. Решение: Вероятност за попадение = 0,8 Вероятност за попадение = 1 - 0,8 = 0,2 A = (попадение, попадение, попадение, пропуснато, пропуснато) Съгласно формулата за умножение на вероятностите P(A) = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 P (A) = 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02 Отговор: 0,02

8 слайд

Описание на слайда:

Задача 6. В случаен експеримент се хвърлят два зара. Намерете вероятността сумата от изтеглените точки да е 6. Закръглете отговора до най-близката стотна Решение: Елементарният резултат в този експеримент е подредена двойка числа. Първото число ще се появи на първия зар, второто на втория. Удобно е да се представят много елементарни резултати в таблица. Редовете съответстват на броя точки на първия зар, колоните на втория зар. Общият брой на елементарните събития е n = 36. Нека напишем във всяка клетка сумата от начертаните точки и оцветим клетките, където сумата е равна на 6. Има 5 такива клетки. Това означава, че събитието A = (the сборът от изтеглените точки е 6) се предпочита от 5 елементарни резултата. Следователно, m = 5. Следователно, P(A) = 5/36 = 0,14. Отговор: 0,14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12

Слайд 9

Описание на слайда:

Формула за вероятности Теорема Нека една монета бъде хвърлена n пъти. Тогава вероятността главите да се появят точно k пъти може да се намери по формулата: където Cnk е броят комбинации от n елемента в k, който се изчислява по формулата:

10 слайд

Описание на слайда:

Задача 7. Монета се хвърля четири пъти. Намерете вероятността да получите глави точно три пъти. Решение Според условията на задачата имаше общо n = 4 хвърляния. Необходим брой орли: k =3. Заместваме n и k във формулата: Със същия успех можем да преброим броя на главите: k = 4 − 3 = 1. Отговорът ще бъде същият. Отговор: 0,25

11 слайд

Описание на слайда:

Задача 8. Монета се хвърля три пъти. Намерете вероятността никога да не получите глави. Решение Записваме отново числата n и k. Тъй като монетата е хвърлена 3 пъти, n = 3. И тъй като не трябва да има глави, k = 0. Остава да заменим числата n и k във формулата: Нека ви напомня, че 0! = 1 по дефиниция. Следователно C30 = 1. Отговор: 0,125

12 слайд

Описание на слайда:

Задача 9. При произволен експеримент симетрична монета се хвърля 4 пъти. Намерете вероятността главите да се появят повече пъти, отколкото опашките. Решение: За да има повече глави отколкото опашки, те трябва да се появят или 3 пъти (тогава ще има 1 опашка) или 4 пъти (тогава изобщо няма да има опашки). Нека намерим вероятността за всяко от тези събития. Нека p1 е вероятността да получите глави 3 пъти. Тогава n = 4, k = 3. Имаме: Сега нека намерим p2 - вероятността главите да паднат всичките 4 пъти. В този случай n = 4, k = 4. Имаме: За да получим отговора, остава да съберем вероятностите p1 и p2. Запомнете: можете да добавяте вероятности само за взаимно изключващи се събития. Имаме: p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Отговор: 0,3125

Слайд 13

Описание на слайда:

Задача 10. Преди началото на волейболен мач капитаните на отбори теглят честен жребий, за да определят кой отбор ще започне играта с топка. Отборът „Статор” се редува да играе с отборите „Ротор”, „Мотор” и „Стартер”. Намерете вероятността Stator да започне само първата и последната игра. Решение. Трябва да намерите вероятността три събития да се случат: „Статор“ започва първата игра, не започва втората игра и започва третата игра. Вероятността за произведение на независими събития е равна на произведението на вероятностите за тези събития. Вероятността за всяко от тях е 0,5, от което намираме: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Отговор: 0,125.

В задачите по теория на вероятностите, които са представени в Единния държавен изпит номер 4, освен това има задачи за хвърляне на монета и хвърляне на зарове. Днес ще ги разгледаме.

Проблеми с хвърляне на монети

Задача 1.Симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите да се появят точно веднъж.

При такива проблеми е удобно да запишете всички възможни резултати, като ги напишете с буквите P (опашки) и O (глави). И така, резултатът от OP означава, че при първото хвърляне е имало глави, а при второто хвърляне е имало опашки. В разглежданата задача има 4 възможни изхода: RR, RO, OR, OO. Събитието „опашки ще се появят точно веднъж“ се предпочита от 2 резултата: RO и OP. Търсената вероятност е равна на .

Отговор: 0,5.

Задача 2.Симетрична монета се хвърля три пъти. Намерете вероятността тя да попадне върху глави точно два пъти.

Има общо 8 възможни изхода: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Събитието „главите ще се появят точно два пъти“ се предпочита от 3 резултата: ROO, ORO, OOR. Търсената вероятност е равна на .

Отговор: 0,375.

Задача 3.Преди началото на футболен мач реферът хвърля монета, за да определи кой отбор ще започне с топката. Отборът на Emerald играе три мача с различни отбори. Намерете вероятността в тези игри “Emerald” да спечели партидата точно веднъж.

Тази задача е подобна на предишната. Нека всеки път, когато кацащите глави означават спечелване на партидата с „Изумруда“ (това предположение не влияе на изчисляването на вероятностите). Тогава са възможни 8 изхода: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Събитието „опашки ще се появят точно веднъж“ се предпочита от 3 изхода: ROO, ORO, OOR. Търсената вероятност е равна на .

Отговор: 0,375.

Проблем 4. Симетрична монета се хвърля три пъти. Намерете вероятността резултатът от ROO да се случи (първият път, когато приземи хедс, вторият и третият път, когато донесе хедс).

Както и в предишните задачи, има 8 резултата: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Вероятността за възникване на резултат от ROO е равна на .

Отговор: 0,125.

Проблеми с хвърляне на зарове

Задача 5.Заровете се хвърлят два пъти. Колко елементарни резултата от експеримента благоприятстват събитието „сборът от точки е 8“?

Проблем 6. Два зара се хвърлят едновременно. Намерете вероятността сборът да бъде 4 точки. Закръглете резултата до стотни.

Като цяло, когато се хвърлят зарове, има еднакви възможни резултати. Същият брой резултати се получава, ако един и същ зар се хвърли няколко пъти подред.

Събитието „общият брой е 4“ се благоприятства от следните резултати: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1. Техният брой е 3. Търсената вероятност е .

За да изчислите приблизителната стойност на фракция, е удобно да използвате ъглово деление. Така, приблизително равно на 0,083..., закръглено до най-близката стотна, имаме 0,08.

Отговор: 0,08

Проблем 7. Три зара се хвърлят едновременно. Намерете вероятността сборът да бъде 5 точки. Закръглете резултата до стотни.

Резултатът ще се счита за три числа: точките, хвърлени на първия, втория и третия зар. Има всички еднакво възможни резултати. Следните резултати са благоприятни за събитието „общо 5“: 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1. Техният брой е 6. Търсената вероятност е . За да изчислите приблизителната стойност на фракция, е удобно да използвате ъглово деление. Приблизително получаваме 0,027..., закръгляйки до стотни, имаме 0,03. Източник „Подготовка за Единния държавен изпит. Математика. Теория на вероятностите". Редактирано от F.F. Лисенко, С.Ю. Кулабухова