Картографические проекции как математические модели. Лекция: Виды картографических проекций

Для выбора наивыгоднейшего пути при переходе судна из одного пункта в другой судоводитель пользуется картой.

Картой называют уменьшенное обобщенное изображение земной поверхности на плоскости, выполненное по определенному масштабу и способу.

Так как Земля имеет сферическую форму, ее поверхность невозможно изобразить на плоскости без искажений. Если разрезать любую сферическую поверхность на части (по меридианам) и наложить эти части на плоскость, то изображение этой поверхности на ней получилось бы искаженной и с разрывами. В экваториальной части были бы складки, а у полюсов - разрывы.

Для решения навигационных задач пользуются искаженными, плоскими изображениями земной поверхности - картами, в которых искажения обусловлены и соответствуют определенным математическим законам.

Математически определенные условные способы изображения на плоскости всей или части поверхности шара или эллипсоида вращения с малым сжатием называются картографической проекцией , а принятая при данной картографической проекции система изображения сети меридианов и параллелей - картографической сеткой.

Все существующие картографические проекции могут быть подразделены на классы по двум признакам: по характеру искажений и по способу построения картографической сетки.

По характеру искажений проекции разделяются на равноугольные (или конформные), равновеликие (или эквивалентные) и произвольные.

Равноугольные проекции. На этих проекциях углы не искажаются, т. е. углы на местности между какими-либо направлениями равны углам на карте между теми же направлениями. Бесконечно малые фигуры на карте в силу свойства равноугольности будут подобны тем же фигурам на Земле. Если остров круглой формы в природе, то и на кар- те в равноугольной проекции он изобразится кружком некоторого радиуса. Но линейные же размеры на картах этой проекции будут искажены.

Равновеликие проекции. На этих проекциях сохраняется пропорциональность площадей фигур, т. е. если площадь какого-либо участка на Земле в два раза больше другого, то на проекции изображение первого участка по площади тоже будет в два раза больше изображения второго. Однако в равновеликой проекции не сохраняется подобие фигур. Остров круглой формы будет изображен на проекции в виде равновеликого ему эллипса.

Произвольные проекции. Эти проекции не сохраняют ни подобия фигур, ни равенства площадей, но могут иметь какие-нибудь другие специальные свойства, необходимые для решения на них определенных практических задач. Наибольшее применение в судовождении из карт произвольных проекций получили ортодромические, на которых ортодромии (большие круги шара) изображаются прямыми линиями, а это очень важно при использовании некоторых радионавигационных систем при плавании по дуге большого круга.

Картографическая сетка для каждого класса проекций, в которой изображение меридианов и параллелей имеет наиболее простой вид, называется нормальной сеткой.

По способу построения картографической нормальной сетки все проекции делятся на конические, цилиндрические, азимутальные, условные и др.

Конические проекции. Проектирование координатных линий Земли производят по какому-либо из законов на внутреннюю поверхность описанного или секущего конуса, а затем, разрезав конус по образующей, разворачивают его на плоскость.

Для получения нормальной прямой конической сетки делают так, чтобы ось конуса совпадала с земной осью PNР S (рис, 33).

В этом случае меридианы изображаются прямыми линиями, исходящими из одной точки, а параллели - дугами концентрических окружностей. Если ось конуса располагают под углом к земной оси, то такие сетки называют косыми коническими.

В зависимости от закона, выбранного для построения параллелей, конические проекции могут быть равноугольными, равновеликими и произвольными. Конические проекции применяются для географических карт.

Цилиндрические проекции. Картографическую нормальную сетку получают путем проектирования координатных линий Земли по какому-либо закону на боковую поверхность касательного или секущего цилиндра, ось которого совпадает с осью Земли (рис.34), и последующей развертки по образующей на плоскость.

В прямой нормальной проекции сетка получается из взаимно перпендикулярных прямых линий меридианов Л, В, С, D, F, G и параллелей аа",bb", сс При этом без больших искажений будут изображены участки поверхности экваториальных районов (см, окружность К и ее проекцию К на рис. 34), но участки полярных районов в этом случае не могут быть спроектированы.

Если повернуть цилиндр так, чтобы ось его расположилась в плоскости экватора, а поверхность его касалась полюсов, то получается поперечная цилиндрическая проекция (например, поперечная цилиндрическая проекция Гаусса). Если цилиндр поставить под другим углом к оси Земли, то получаются косые картографические сетки. На этих сетках меридианы и параллели изображаются кривыми линиями.

Азимутальные проекции. Нормальную картографическую сетку получают проектированием координатных линий Земли на так называемую картинную плоскость Q (рис. 35) - касательную к полюсу Земли. Меридианы нормальной сетки на проекции имеют вид радиальных прямых, исходящих из. центральной точки проекции PN под угла- ми, равными соответствующим углам в натуре, а параллели - концентрическими окружностями с центром в полюсе. Картинную плоскость можно располагать в любой точке земной поверхности, и точку касания называют центральной точкой проекции и принимают за зенит.

Азимутальная проекция зависит от того, какими радиусами проводятся параллели. Подчиняя радиусы той или иной зависимости от широты, получают различные азимутальные проекции, удовлетворяющие условиям либо равноугольности, либо равновеликости.

Перспективные проекции. Если картографическую сетку получают проектированием меридианов и параллелей на плоскость по законам линейной перспективы из постоянной точки зрения Т.З. (см. рис. 35), то такие проекции называют перспективными. Плоскость можно располагать на любом расстоянии от Земли или так, чтобы она касалась ее. Точка зрения должна находиться на так называемом основном диаметре земного шара или на его продолжении, причем картинная плоскость должна быть перпендикулярна основному диаметру.

Когда основной диаметр проходит через полюс Земли, проекция называется прямой или полярной (см. рис. 35); при совпадении основного диаметра с плоскостью экватора проекция называется поперечной или экваториальной, а при других положениях основного диаметра проекции называются косыми или горизонтальными.

Кроме того, перспективные проекции зависят от расположения точки зрения от центра Земли на основном диаметре. Когда точка зрения совпадает с центром Земли, проекции называются центральными или гномоническими; когда точка зрения находится на поверхности Землистереографическими; при удалении точки зрения на какое-либо известное расстояние от Земли проекции называются внешними, и при удалении точки зрения в бесконечность - ортографическими.

На полярных перспективных проекциях меридианы и параллели изображаются аналогично полярной азимутальной проекции, но расстояния, между параллелями получаются разными и обусловлены положением точки зрения на линии основного диаметра.

На поперечных и косых перспективных проекциях меридианы и параллели изображаются в виде эллипсов, гипербол, окружностей, парабол или прямых линий.

Из особенностей, свойственных перспективным проекциям, следует отметить, что на стереографической проекции любой круг, проведенный на земной поверхности, изображается в виде окружности; на центральной проекции всякий большой круг, проведенный на земной поверхности, изображается в виде прямой линии, в связи с чем в некоторых частных случаях эту проекцию представляется целесообразным применять в навигации.

Условные проекции. К этой категории относятся все проекции, которые по способу построения нельзя отнести ни к одному из перечисленных выше видов проекций. Они обычно удовлетворяют каким-нибудь заранее поставленным условиям, в зависимости от тех целей, для которых требуется карта. Число условных проекций не ограничено.

Небольшие участки земной поверхности до 85 км можно изобразить на плоскости с сохранением на них подобия нанесенных фигур и площадей. Такие плоские изображения небольших участков земной поверхности, на которых искажениями практически можно пренебрегать, называются планами.

Планы обычно составляют без всяких проекций путем непосредственной съемки и на них наносят все подробности снимаемого участка.

Географическими картами человек пользуется с глубокой древности. Первые попытки изобразить были предприняты еще в Древней Греции такими учеными, как Эратосфен и Гиппарх. Естественно, с тех пор картография как наука далеко продвинулась вперед. Современные карты создаются с помощью съемки со спутников и с использованием компьютерных технологий, что, конечно же, способствует увеличению их точности. И все же, на каждой географической карте присутствуют некоторые искажения относительно натуральных форм, углов или расстояний на земной поверхности. Характер этих искажений, а, следовательно, и точность карты, зависит от видов картографических проекций, использованных при создании конкретной карты.

Понятие картографическая проекция

Разберем подробнее, что такое картографическая проекция и какие их виды применяются в современной картографии.

Картографическая проекция - это изображение на плоскости. Более глубокое с научной точки зрения определение звучит так: картографическая проекция - это способ отображения точек поверхности Земли на некоторой плоскости, при котором между координатами соответствующих точек отображаемой и отображенной поверхностей устанавливается некоторая аналитическая зависимость.

Как строится картографическая проекция?

Построение любых видов картографических проекций происходит в два этапа.

1. Во-первых, геометрически неправильная поверхность Земли отображается на некоторую математически правильную поверхность, которую называют поверхностью относимости. Для наиболее точного приближения в этом качестве чаще всего используют геоид - геометрическое тело, ограниченное водной поверхностью всех морей и океанов, связанных между собой (уровень моря) и имеющих единую водную массу. В каждой точке поверхности геоида сила тяжести приложена нормально. Однако геоид, как и физическую поверхность планеты, также нельзя выразить единым математическим законом. Поэтому в качестве поверхности относимости вместо геоида принимают эллипсоид вращения, придавая ему максимальное подобие геоиду с помощью степени сжатия и ориентации в теле Земли. Называют это тело земным эллипсоидом или референц-эллипсоидом, причем в разных странах для них принимают различные параметры.
2. Во-вторых, принятая поверхность относимости (референц-эллипсоид) переносится на плоскость с использованием той или иной аналитической зависимости. В итоге получаем плоскую картографическую проекцию

Искажение проекций

А вы не задумывались, почему на разных картах очертания материков немного различаются? На одних картографических проекциях некоторые части света выглядят больше или меньше относительно каких-либо ориентиров, чем на других. Все дело в искажении, с которым проекции Земли переносятся на плоскую поверхность.

Но почему картографические проекции отображают в искаженном виде? Ответ довольно прост. Сферическую поверхность не представляется возможным развернуть на плоскости, избежав складок или разрывов. Поэтому и изображение с нее нельзя отобразить, избежав искажения.

Методы получения проекций

Изучая картографические проекции, их виды и свойства необходимо упомянуть о методах их построения. Итак, картографические проекции получают, используя два основных метода:

• геометрический;
• аналитический.

В основе геометрического метода лежат закономерности линейной перспективы. Наша планета условно принимается сферой некоторого радиуса и проецируется на цилиндрическую или коническую поверхность, которая может либо касаться, либо рассекать ее.

Проекции, полученные подобным способом, называются перспективными. В зависимости от положения точки наблюдения относительно поверхности Земли перспективные проекции разделяют на виды:

• гномонические или центральные (когда точка зрения совмещена с центром земной сферы);
• стереографические (в этом случае точка наблюдения расположена на поверхности относимости);
• ортографическая (когда поверхность наблюдается из любой точки, находящейся вне сферы Земли; проекция строится переносом точек сферы с помощью параллельных линий, перпендикулярных к отображающей поверхности).

Аналитический метод построения картографических проекций базируется на математических выражениях, связывающих точки на сфере относимости и плоскости отображения. Такой метод является более универсальным и гибким, позволяя создавать произвольные проекции по заранее заданному характеру искажения.

Виды картографических проекций в географии

Для создания географических карт используют множество видов проекций Земли. Их классифицируют по различным признакам. В России применяется классификация Каврайского, которая использует четыре критерия, определяющих основные виды картографических проекций. В качестве характерных классифицирующих параметров используют:

• характер искажения;
• форму отображения координатных линий нормальной сетки;
• расположение точки полюса в нормальной координатной системе;
• способ применения.

Итак, какие существуют виды картографических проекций согласно данной классификации?

Классификация проекций

По характеру искажения

Как упоминалось выше, искажение, в сущности, является неотъемлемым свойством любой проекции Земли. Искажена может быть любая характеристика поверхности: длина, площадь или угол. По типу искажений выделяют:

• Равноугольные или конформные проекции , в которых азимуты и углы переносятся без искажений. Координатная сетка в конформных проекциях является ортогональной. Карты, полученные таким путем, рекомендуется использовать для определения расстояний в любом направлении.
• Равновеликие или эквивалентные проекции , где сохраняется масштаб площадей, который принимается равным единице, т. е. площади отображаются без искажения. Такие карты применяют для сравнения площадей.
• Равнопромежуточные или эквидистантные проекции , при построении которых сохраняется масштаб по одному из основных направлений, который принимается единичным.
• Произвольные проекции , на которых могут присутствовать все разновидности искажений.

По форме отображения координатных линий нормальной сетки

Такая классификация является максимально наглядной и, следовательно, наиболее легкой для восприятия. Отметим, однако, что данный критерий относится только к проекциям, ориентированным нормально к точке наблюдения. Итак, исходя из данного характерного признака, различают следующие виды картографических проекций:

Круговые , где параллели и меридианы представляют окружностями, а экватор и средний меридиан сетки в виде прямых линий. Подобные проекции применяют для изображения поверхности Земли в целом. Примерами круговых проекций могут служить равноугольная проекция Лагранжа, а также произвольная проекция Гринтена.

Азимутальные . В данном случае параллели представляют в виде концентрических окружностей, а меридианы в виде пучка расходящихся радиально из центра параллелей прямых. Подобная разновидность проекций используется в прямом положении для отображения полюсов Земли с прилегающими территориями, а в поперечном в качестве знакомой каждому с уроков географии карты западного и восточного полушарий.

Цилиндрические , где меридианы и параллели представлены прямыми пересекающимися нормально линиями. С минимальным искажением здесь отображаются территории, прилегающие к экватору или же растянутые вдоль некоторой стандартной широты.

Конические , представляющие собой развертку боковой поверхности конуса, где линии параллелей являются дугами окружностей с центром в вершине конуса, а меридианов - направляющими, расходящимися из вершины конуса. Такие проекции наиболее точно изображают территории, лежащие в средних широтах.

Псевдоконические проекции похожи на конические, только меридианы в данном случае изображаются кривыми линиями, симметричными относительно прямолинейного осевого меридиана сетки.

Псевдоцилиндрические проекции напоминают цилиндрические, только, также, как и в псевдоконических, меридианы изображаются кривыми линиями, симметричными осевому прямолинейному меридиану. Используются для изображения Земли целиком (например, эллиптическая проекция Мольвейде, равновеликая синусоидальная Сансона и т. д.).

Поликонические , где параллели изображаются в виде окружностей, центры которых расположены на среднем меридиане сетки или его продолжении, меридианы в виде кривых, расположенных симметрично прямолинейному

По положению точки полюса в нормальной системе координат

• Полярные или нормальные - полюс системы координат совпадает с географическим полюсом.
• Поперечные или трансверсионные - полюс нормальной системы совмещается с экватором.
• Косые или наклонные - полюс нормальной сетки координат может находиться в любой точке между экватором и географическим полюсом.

По способу применения

По способу использования выделяют следующие виды картографических проекций:

• Сплошные - проецирование всей территории на плоскость производится по единому закону.
• Многополосные - картографируемая местность условно разбивается на несколько широтных зон, которые проецируют на плоскость отображения по единому закону, но с изменением параметров для каждой зоны. Примером подобной проекции может служить трапециевидная проекция Мюфлинга, которая применялась в СССР для крупномасштабных карт до 1928 г.
• Многогранные - территорию условно разбивают на некоторое количество зон по долготе, проецирование на плоскость производится по единому закону, но с разными параметрами для каждой из зон (например, проекция Гаусса-Крюгера).
• Составные , когда некоторая часть территории отображается на плоскость с использованием одной закономерности, а остальная территория с другой.

Достоинством как многополосных, так и многогранных проекций является высокая точность отображения в пределах каждой зоны. Однако весомым недостатком при этом является невозможность получения сплошного изображения.

Разумеется, каждую картографическую проекцию можно классифицировать с использованием каждого из вышеперечисленных критериев. Так, знаменитая проекция Земли Меркатора является конформной (равноугольной) и поперечной (трансверсионной); проекция Гаусса-Крюгера - конформной поперечной цилиндрической и т. д.

Была раскрыта сущность построения фигур и линий на плоской горизонтальной поверхности способом проложения. Если же мы применим такой прием для всей земной поверхности, то столкнемся с существенными трудностями, связанными со сложностью геометрической формы Земли.
Сферическую поверхность развернуть на плоскости без разрывов и складок невозможно, то есть ее плановое изображение на плоскости нельзя представить без искажений, с полным геометрическим подобием всех ее очертаний. Относительно полного подобия спроектированных на уровенную поверхность очертаний островов, материков и различных объектов можно добиться лишь на сфере или шаре (глобусе) . Изображение поверхности Земли на глобусе обладает равномасштабностью, равноугольностью и равновеликостью.

Безусловно, модель нашей планеты удобнее всего представить в виде глобуса, при этом искажения будут минимальны. Однако во время выполнения многих практических и исследовательских задач работать с такой моделью неудобно. Дело даже не в том, что носить с собой глобус не всегда представляется возможным, а в громоздкости такой модели, если мы захотим ее представить в относительно крупном масштабе. Так, если изготовить глобус с изображением поверхности Земли в масштабе 1:1 000 000, то получим шарообразную модель нашей планеты диаметром 12,7 м. Представьте себе, что вам потребуется переносить такую модель, определять на ней координаты точек или производить линейные измерения. По этой причине карты и планы значительно удобнее в пользовании, переноске и хранении.

Геометрические преимущества глобуса (равномасштабность, равноугольность и равновеликость) одновременно и полностью сохранить на плоской карте невозможно. Построенная на плоскости географическая сетка , изображающая меридианы и параллели, будет иметь определенные искажения, поэтому будут искажены изображения всех объектов земной поверхности. Характер и размеры искажений зависят от способа построения картографической сетки, на основе которой составляется карта.

Отображение поверхности эллипсоида или шара на плоскости называется картографической проекцией . По сути, картографическая проекция является горизонтальным проложением точек земной поверхности, расположенных на фигуре Земли .
Существуют различные виды картографических проекций. Каждому из них соответствуют определенная картографическая сетка и присущие ей искажения. В одном виде проекции искажаются размеры площадей, в другом - углы, в третьем - площади и углы. При этом во всех проекциях без исключения искажаются длины линий.

Виды картографических проекций

Картографические проекции классифицируют по характеру искажений, виду изображения меридианов и параллелей (географической сетке) и некоторым другим признакам.

По характеру искажений различают следующие картографические проекции:

- равноугольные , сохраняющие равенство углов, между направлениями на карте и в натуре. На такой карте сохранено подобие углов, но искажены размеры площадей.

- равновеликие , сохраняющие пропорциональность площадей на карте соответствующим площадям на земном эллипсоиде. На карте, составленной с применением равновеликой проекции, сохранена пропорциональность всех площадей поверхности земного шара, но искажено подобие (форма) фигур, то есть отсутствует равноугольность. Взаимная перпендикулярность меридианов и параллелей на такой карте сохраняется только по среднему меридиану.

- равнопромежуточные , сохраняющие постоянство масштаба по какому-либо направлению;

- произвольные , не сохраняющие ни равенства углов, ни пропорциональности площадей, ни постоянства масштаба. Смысл применения произвольных проекций заключается в более равномерном распределении искажений на карте и удобстве решения некоторых практических задач.

По виду изображения сетки меридианов и параллелей картографической проекции подразделяются на конические , цилиндрические , азимутальные и др. Причем в пределах каждой из этих групп могут быть разные по характеру искажений проекции (равноугольные, равновеликие и т. д.).

Геометрическая сущность конических и цилиндрических проекций заключается в том, что сетка меридианов и параллелей проектируется на боковую поверхность конуса или цилиндра, описывающего земной эллипсоид, с последующим развертыванием этих поверхностей в плоскость.
Геометрическая сущность азимутальных проекций заключается в том, что сетка меридианов и параллелей проектируется на плоскость, касательную к эллипсоиду в одном из полюсов или секущую по какой-либо параллели.

Различают проекции нормальные (ось цилиндра или конуса при проецировании совмещена с осью Земли), косые (наклон цилиндра или конуса относительно полярной оси составляет острый угол) и поперечные (угол между осью Земли и осью фигуры проекции составляет 90 градусов).
При описании проекций много внимания уделяется тому, как выглядят на них параллели и меридианы. Отклонение формы сетки от квадрата показывает степень искажения проецируемого с шара на плоскость изображения. Изучая географическую сетку на карте в какой-либо проекции, можно понять, в какой степени и в каких местах эта карта искажена.
По типу географической сетки можно выделить:
- псевдоцилиндрические проекции , у которых параллели - прямые, параллельные друг другу, а меридианы - кривые, симметричные, относительно среднего прямолинейного меридиана;
- псевдоконические , где параллели - дуги концентрических окружностей, а меридианы - кривые, симметричные относительно среднего прямолинейного меридиана;
- поликонические , параллели которых - дуги эксцентрических окружностей с центрами на среднем прямолинейном меридиане, а меридианы - кривые, симметричные относительно среднего меридиана.
На приведенном рисунке видно, какие очертания может принимать географическая сетка в различных проекциях.

a - цилиндрическая, b - коническая, c - азимутальная, d - псевдоцилиндрическая,
e - псевдоконическая, f - поликоническая, g - псевдоазимутальная.

Помимо упомянутых, существует много других типов и разновидностей картографических проекций. Проекцию, наиболее подходящую по характеру, величине и распределению искажений для той или иной карты, выбирают в зависимости от назначения, содержания карты, а также от размеров, конфигурации и географического положения поверхности картографируемой территории.

Все картографические проекции классифицируются по ряду признаков, в том числе, по характеру искажений, виду меридианов и параллелей нормальной картографической сетки, положению полюса нормальной системы координат.

1. Классификация картографических проекций

по характеру искажений:

а) равноугольные, или конформные оставляют без искажений углы и форму контуров, но имеют значительные искажения площадей. Элементарная окружность в таких проекциях всегда остается окружностью, но размеры ее сильно меняются. Такие проекции особенно удобны для определения направлений и прокладки маршрутов по заданному азимуту , поэтомy их всегда используют на навигационных картах.,

Эти проекции могут быть описаны уравнениями в характеристиках вида:

m=n=a=b=m

q=90 0 w=0 m=n

Рис. Искажения в равноугольной проекции. Карта мира в проекции Меркатора

б) равновеликие, или эквивалентные - сохраняют площади без искажений, однако на них значительно нарушены углы и формы, что особенно заметно на больших территориях. Например, на карте мира приполярные области выглядят сильно сплющенными. Эти проекции могут быть описаны уравнениями вида Р = 1.

Рис. Искажения в равновеликой проекции. Карта мира в проекции Меркатора

в) равнопромежуточные (эквидистантные).

В этих проекциях линейный масштаб по одному из главных направлений постоянен и обычно равен главному масштабу карты, т. е. имеет место

либо а = 1, либо b = 1;

г) произвольные.

Не сохраняют ни углов, ни площадей.

2. Классификация картографических проекций по способу построения

Вспомогательными поверхностями при переходе от эллипсоида или шара к карте могут быть плоскость, цилиндр, конус, серия конусов и некоторые другие геометрические фигуры.

1) Цилиндрические проекции — проектирование шара (эллипсоида) ведется на поверхность касательного или секущего цилиндра, а затем его боковая поверхность разворачивается в плоскость.

В этих проекциях параллели нормальных сеток есть прямые параллельные линии, меридианы - также прямые линии, ортогональные к параллелям. Расстояния между меридианами равны и всегда пропорциональны разности долгот

Рис. Вид картографической сетки цилиндрической проекции

Условные проекции — проекции, для которых нельзя подобрать простых геометрических аналогов. Их строят, исходя из каких-либо заданных условий, например желательного вида географической сетки, того или иного распределения искажений на карте, заданного вида сетки и др., полученные путем преобразования одной или нескольких сходных проекций.

Псевдоцилиндрические проекции : параллели изображаются прямыми параллельными линиями, меридианы - кривыми линиями, симметричными относительно среднего прямолинейного меридиана, который всегда ортогонален параллелям (применяют для карт мира и Тихого океана).

Рис. Вид картографической сетки псевдоцилиндрической проекции

Полагаем, что географический полюс совпадает с полюсом нормальной системы координат

а) Нормальная (прямая) цилиндрическая - если ось цилиндра совпадает с осью вращения Земли, а его поверхность касается шара по экватору (или сечет его по па-раллелям). Тогда меридианы нормальной сетки предстают в виде равноотстоящих параллельных прямых, а параллели — в виде пря-мых, перпендикулярных к ним. В таких проекциях меньше всего искажений в тропических и приэкваториальных областях.

б) поперечная цилиндрическая проекция - ось цилиндра расположена в плоскости экватора. Цилиндр касается шара по меридиану, искажения вдоль него отсутствуют, и следовательно, в такой проекции наиболее выгодно изображать территории, вытянутые с севера на юг.

в) косая цилиндрическая - ось вспомогательного цилиндра расположена под углом к плоскости экватора. Она удобна для вытянутых территорий, ориентированных на северо-запад или северо-восток.

2) Конические проекции — поверхность шара (эллипсоида) проектируется на поверхность касательного или секущего конуса, после чего она как бы разрезается по образующей и разворачивается в плоскость.

Различают :

· нормальную (прямую) коническую проекцию, когда ось конуса совпа-дает с осью вращения Земли. Меридианы представляют собой прямые, расходящиеся из точки полюса, а параллели — дуги концентрических окружностей. Воображаемый конус каса-ется земного шара или сечет его в районе средних широт, поэто-му в такой проекции удобнее всего картографировать территории России, Канады, США, вытянутые с запада на восток в средних широтах.

· поперечную коническую — ось конуса нежит в плоскости экватора

· косую коническую — ось конуса на-клонена к плоскости экватора.

Псевдоконические проекции — такие, в которых все параллели изображаются дугами концентрических окружностей (как в нормальных конических), средний меридиан — прямая линия, а остальные меридианы — кривые, причем кривизна их возрастает с удалением от среднего меридиана. Применяются для карт России, Евразии, других материков.

Поликонические проекции — проекции, получаемые в результа-те проектирования шара (эллипсоида) на множество конусов. В нормальных поликонических проекциях параллели представлены дугами эксцентрических окружностей, а меридианы — кривые, симметричные относительно прямого среднего меридиана. Чаще всего эти проекции применяются для карт мира.

3) Азимутальные проекции — поверхность земного шара (эллип-соида) переносится на касательную или секущую плоскость. Если плоскость перпендикулярна к оси вращения Земли, то получается нормальная (полярная) азимутальная проекция. В этих проекциях параллели изображаются одноцентровыми окружностями, меридианы - пучком прямых линий с точкой схода, совпадающей с центром параллелей. В этой проекции всегда кар-тографируют полярные области нашей и других планет.

а — нормальная или полярная проекция на плоскость; в — сетка в поперечной (экваториальной) проекции;

г — сетка в косой азимутальной проекции.

Рис. Вид картографической сетки азимутальной проекции

Если плоскость проекции перпендикулярна к плоскости эква-тора, то получается поперечная (экваториальная) азимутальная проекция. Она всегда используется для карт полушарий. А если проектирование выполнено на касательную или секущую вспомогательную плоскость, находящуюся под любым углом к плоскости экватора, то получается косая азимутальная проекция.

Среди азимутальных проекций выделяют несколько их разно-видностей, различающихся по положению точки, из которой ве-дется проектирование шара на плоскость.

Псевдоазимутальные проекции — видоизмененные азимуталь-ные проекции. В полярных псевдоазимутальных проекциях парал-лели представляют собой концентрические окружности, а мери-дианы — кривые линии, симметричные относительно одного или двух прямых меридианов. Поперечные и косые псевдоазимуталь-ные проекции имеют общую овальную форму и обычно применя-ются для карт Атлантического океана или Атлантического океана вместе с Северным Ледовитым.

4) Многогранные проекции — проекции, получаемые путем про-ектирования шара (эллипсоида) на поверхность касательного или секущего многогранника. Чаще всего каждая грань представляет собой равнобочную трапецию.

3) Классификация картографических проекций по положению полюса нормальной системы координат

В зависимости от положения полюса нормальной системы Р о , все проекции подразделяются на следующие:

а) прямые или нормальные - полюс нормальной системы Р о совпадает с географическим полюсом (φ о = 90°);

б) поперечные или экваториальные - полюс нормальной системы Р о лежит на поверхности в плоскости экватора (φ о = 0°);

в) косые или горизонтальные - полюс нормальной системы Р о располагается между географическим полюсом и экватором (0° < φ о <90°).

В прямых проекциях основная и нормальная сетки совпадают. В косых и поперечных проекциях такого совпадения нет.

Рис. 7. Положение полюса нормальной системы (Р о) в косой картографической проекции

ЛЕКЦИЯ №4

КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

K артографическими проекциями называют математические способы изображения на плоскости поверхности земного эллипсоида или шара. Изображение градусной сетки Земли на карте называют картографической сеткой, а точки пересечения меридианов и параллелей - узловыми точками.

Построение карт включает сначала изображение на плоскости (бумаге) картографической сетки, а затем заполнение клеток сетки контурами и другими обозначениями географических объектов. Построение сетки может быть осуществлено различными способами. Так, при применении перспективных проекций картографическая сетка получается как бы проектированием узловых точек с поверхности шара на плоскость (рис.4) или на другую геометрическую поверхность (конус, цилиндр), которая затем развертывается в плоскость без искажений. Пример практического построения перспективным способом картографической сетки северного полушария приведен на рисунке 4.

Картинная плоскость Р касается здесь поверхности северного полушария в точке Северного полюса. Прямолинейными проектирующими лучами из центра К узловые точки пересечения меридиана с экватором и параллелями 30° и 60° широты переносятся на картинную плоскость. Тем самым определяются радиусы этих параллелей на плоскости. Меридианы изображаются на плоскости прямыми линиями, исходящими из точки полюса и отстоящими друг от друга под равными углами. На рисунке изображена половина сетки. Вторую половину легко мысленно представить, а при необходимости и построить.

Построение карты методами перспективных проекций не требует использования высшей математики, поэтому их начали применять еще задолго до ее разработки, с глубокой древности. Ныне в картографическом производстве карты строят неперспективными метода ми - путем расчета положения узловых точек картографической сетки на плоскости. Расчет выполняют, решая систему уравнений, связывающих широту и долготу узловых точек с их прямоугольными координатами X и Y на плоскости. Применяемые при этом уравнения довольно сложны. Примером сравнительно простых формул могут быть следующие:

Х=R´ sin j

Y= R ´ cos j-sinl.

В этих уравнениях R - радиус (средний) Земли, округленно принимаемый за 6370 км, а j, l - географические координаты узловых точек.

Классификация картографических проекций

Применяемые для построения географических карт проекции можно группировать по разным классификационным признакам, из которых основными являются: а) вид «вспомогательной поверхности» и ее ориентировка, б) характер искажений.

Классификация картографических проекций по виду вспомога тельной поверхности и ее ориентировке. Картографические сетки карт получают в современном производстве аналитическим путем. Однако в названиях проекций сохранены по традиции термины «цилиндрические», «конические» и другие, соответствующие способам геометрических построений, к которым в прошлом прибегали для построения сеток) Использование при объяснении этих терминов поможет уяснить особенности полученных на их основе картографических сеток. В настоящее время данный классификационный признак трактуется как вид нормальной картографической сетки

Цилиндрические проекции . При построении цилиндрических проекций представляют, что узловые точки, а значит, и линии градусной сети проектируют с шаровой поверхности глобуса на боковую поверхность цилиндра, ось которого совпадает с осью глобуса, а диаметры обоих тел равны (рис.5). Используя касательный цилиндр в качестве вспомогательной поверхности, учитывают, что узловые точки экватора - А, В, С, D и другие одновременно находятся и на глобусе, и на цилиндре. Другие же узловые точки переносятся с глобуса на поверхность цилиндра. Так, точки Е и F , расположенные на одном меридиане с точкой С, переносятся в точки £" и F \ При этом они на цилиндре расположатся на прямой, перпендикулярной линии экватора. Это и определяет форму меридианов в данной проекции. Параллели на поверхность цилиндра проектируются в форме окружностей, параллельных линии экватора (например, параллель, в которой находятся точки F [ и e").

При развертке поверхности цилиндра в плоскость все линии картографической сетки оказываются прямыми, меридианы перпендикулярны параллелям и отстоят друг от друга на равных расстояниях. Таков общий вид картографической сетки, построенной с помощью цилиндра, касательного к глобусу и имеющего с ним общую ось

У таких цилиндрических проекций линией нулевых искажений служит экватор, а изоколы имеют форму прямых, параллельных экватору; главные направления совпадают с линиями картографической сетки, при этом с удалением от экватора искажения увеличиваются.

В этих проекциях применяют также проектирование на цилиндры с диаметром меньшим, чем диаметр глобуса, и по-разному относительно глобуса расположенные. В зависимости от ориентировки цилиндра полученные картографические сетки (как и сами проекции) называют нормальными, косыми или поперечными. Нормальные цилиндрические сетки строят на цилиндрах, оси которых совпадают с осью глобуса; косые - на цилиндрах, ось которых составляет с осью глобуса острый угол; поперечные сетки образуются с помощью цилиндра, ось которого составляет прямой угол с осью глобуса.

Нормальная цилиндрическая картографическая сетка на касательном цилиндре имеет линию нулевых искажений на экваторе. Нормальная сетка на секущем цилиндре имеет две линии нулевых иска­жений, расположенных вдоль параллелей сечения цилиндра с глобусом (с широтами j1 и j2). При этом, вследствие сжатия участка сетки между линиями нулевых искажений, масштабы длин по параллелям оказываются здесь меньше главного; во внешнюю же сторону от линий нулевых искажений они больше главного масштаба - как результат растяжения параллелей при проектировании с глобуса на цилиндр.

Косая цилиндрическая сетка на секущем цилиндре имеет в северной части линию нулевых искажений в форме прямой, перпендикулярной к среднему меридиану карты и касательной к параллели с широтой j; внешний вид сетки представлен кривыми линиями меридианов и параллелей.

Примером поперечной цилиндрической проекции может служить проекция Гаусса-Крюгера, в которой каждый поперечно расположенный цилиндр используется для проектирования поверхности одной зоны Гаусса.

Конические проекции. Для построения картографических сеток в конических проекциях используют нормальные конусы - касательный или секущий.

рис.6

рис.7

У всех нормальных конических проекций специфичен внешний вид картографической сетки: меридианы - прямые, сходящиеся в точке, изображающей на плоскости вершину конуса, параллели - дуги концентрических окружностей с центром в точке схода меридианов. У сеток, построенных на касательных конусах, одна линия нулевых искажений, с удалением от которой искажения увеличиваются (рис.6). Изоколы у них имеют форму дуг окружностей, совпадающих с параллелями. Сетки, построенные на секущем конусе (рис. 6 Б), имеют тот же облик, но иное распределение искажений: линий нулевых искажений у них две. Между ними частные масштабы вдоль параллелей меньше главного, а на внешних участках сетки - больше главного масштаба. Главные направления у всех нормальных конических сеток совпадают с меридианами и параллелями.

Азимутальные проекции. Азимутальными называют картографические сетки, которые получают проектированием градусной сетки глобуса на касательную плоскость (рис.). Нормальную ази мутальную сетку получают в результате переноса на плоскость, касательную к глобусу в точке полюса (рис. 7 А), попереч ную - при касании плоскости в точке экватора (рис. 7, Б) и ко сую - при переносе на иначе ориентированную плоскость (рис.7 , В). Внешний вид сеток хорошо виден на рисунке 7.

Все азимутальные сетки имеют в отношении искажений следующие общие свойства: точкой нулевых искажений (ТНИ) служит точка касания глобуса с плоскостью (обычно она располагается в центре карты); величины искажений с удалением во все стороны от ТНИ возрастают, поэтому изоколы у азимутальных проекций имеют форму концентрических окружностей с центром в ТНИ. Главные направления следуют по радиусу и перпендикулярным им линиям. Название этой группы проекций связано с тем, что на картографической сетке, построенной в азимутальной проекции, в бывшей точке касания глобуса и плоскости (т. е. в точке нулевых искажений) азимуты всех направлений не искажаются

Поликонические проекции. Построение сетки в поликонической проекции можно представить путем проектирования участков градусной сетки глобуса на поверхность нескольких касательных конусов и последующей развертки в плоскость образовавшихся на поверхности конусов полос. Общий принцип такого проектирования показан на рисунке 8. Буквами на рисунке 8, А обозначены вершины конусов.,На каждый проектируют широтный участок поверхности глобуса, примыкающий к параллели касания соответствующего конуса. После развертки конусов получают изображение этих участков в виде полос на плоскости; полосы соприкасаются по среднему меридиану карты. Окончательный вид сетка получает после ликвидации разрывов между полосами путем растяжений.

рис.8

Для внешнего облика картографических сеток в поликонической проекции характерно, что меридианы имеют форму кривых линий (кроме среднего - прямого), а параллели - дуги эксцентрических окружностей. В поликонических проекциях, используемых для построения мировых карт, приэкваториальный участок проектируют на касательный цилиндр, поэтому на полученной сетке экватор имеет форму прямой линии, перпендикулярной среднему меридиану.

Картографические сетки в поликонических проекциях имеют в приэкваториальных участках масштабы длин, близкие к главным. Вдоль меридианов и параллелей они увеличены сравнительно с главным масштабом, что особенно заметно в периферийных частях. Соответственно в этих частях значительно искажены и площади

Условные проекции . К условным относят такие проекции, в которых вид получаемых картографических сеток невозможно представить на основе проектирования на какую-нибудь вспомогательную поверхность. Получают их часто аналитическим путем (на основе решения систем уравнений). Это очень большая группа проекций. Из них выделяют по особенностям внешнего вида картографической сетки псевдоцилиндрические проекции (рис.9). Как видно из рисунка, у псевдоцилиндрических проекций экватор и параллели - прямые, параллельные друг другу (что роднит их с цилиндрическими проекциями), а меридианы у них - кривые линии.

Рис.9

.

Вид эллипсов искажений в проекциях равновеликих - А, равноугольных - Б, произвольных - В, в том числе, равнопромежуточных по меридиану - Г и равнопромежуточных по параллели - Д. На схемах показано искажение угла 45°

Картографические проекции различают по характеру искажений и по построению. По характеру искажений выделяют проекции:

1) Равноугольные, сохраняющие величину углов, здесь а= b . Эллипсы искажений имеют вид окружностей разной площади.

2) Равновеликие, сохраняющие площади объектов. В них р =mn cos e =l; следовательно, увеличение масштаба длин по параллелям вызывает уменьшение масштаба длин по меридианам и искажение углов и форм.

3) Произвольные, искажающие углы и площади. Среди них выделяется группа равнопромежуточных проекций, в которых сохраняется главный масштаб по одному из главных направлений.

Большое практическое значение имеет подразделение проекций по территориальному охвату на проекции для карт мира, полушарий, материков и океанов, государств и их частей.

Ниже приведены таблицы внешних признаков широко распространенных проекций для разных территорий, составленные.

Таблица 1

Таблица для определения картографических сеток карт восточного и западного полушарий

Таблица 2

Таблица для определения проекций картографических сеток мировых карт

Определение картографических проекций географических карт определяют при помощи таблиц и вычислений. Прежде всего выясняют, какая территория изображена на анализируемой карте и какой таблицей следует воспользоваться при определении проекции. Затем определяют вид параллелей и меридианов и характер промежутков между параллелями по прямому меридиану. Определяют также характер меридианов: не являются ли они прямыми или же прямой только средний меридиан а остальные - кривые, симметричные относительно среднего. Прямолинейность меридианов проверяется при помощи линейки. Если меридианы оказались прямыми, уточняют, параллельны ли они между собой. При рассмотрении параллелей выясняют, являются ли параллели дугами окружностей, кривыми или прямыми линиями. Это устанавливается путем сравнения стрелок провеса для дуг равных хорд: при равных стрелках провеса линии - дуги окружностей, при неравных стрелках провеса параллели - сложные кривые. Для выяснения характера кривизны линии можно поступить также следующим образом. На листе кальки отмечают три точки этой кривой. Если при передвижении листка вдоль линии все три точки совпадут с кривой, то данная кривая будет дугой окружности. Если параллели окажутся дугами, следует проверить их концентричность, для чего измеряют расстояния между соседними параллелями в середине карты и на краю. При постоянстве этих расстояний дуги концентричны.

Как прямые конические, так и азимутальные полярные проекции имеют прямолинейные, расходящиеся из одной точки меридианы. Участок сетки прямой конической проекции можно отличить от участка сетки полярной азимутальной проекции путем измерения угла между двумя меридианами, отстоящими друг от друга на 60-90°. Если этот угол оказался меньше соответствующей разности долгот, подписанных на карте, то это - коническая проекция, если равен разности долгот - азимутальная.

Определение средних размеров искажений для географических объектов может быть выполнено двумя путями:

1) посредством измерения отрезков меридианов и параллелей по карте и последующих вычислений по формулам;

2) по картам с изоколами.

В первом случае сначала вычисляют частные масштабы по меридианам (т) и параллелям \{п) и выражают их в долях главного масштаба:

где -l 1 длина дуги меридиана на карте, L 1 -длина дуги меридиана на эллипсоиде, l 2 - длина дуги параллели на карте, L 2 - длина дуги параллели на эллипсоиде { L 1 и L 2 берут из таблиц приложения; М - знаменатель главного масштаба.

Затем измеряют на карте транспортиром угол e между касательными к параллели и меридиану в заданной точке; определяют отклонение угла q от 90°; e =q -90°.

На основе известных формул, вычисляют величины искажений р, a , b , w , к.

Во втором случае – используют карты изокол. С этих карт берут значения для 2-3 точек объектов с точностью, допускаемой визуальным интерполированием, затем можно установить, к какой группе по характеру искажений относится данная проекция.