Масштаб и его применение. Задачи на тему масштаб

Бетуганов Астемир

Руководитель проекта:

Шопагова Алла Сергеевна

Учреждение:

МКОУ "СОШ №27" г. Нальчика

В представленной исследовательской работе по математике на тему "Масштаб и его применение" я постараюсь выяснить при каком масштабе будет удобно располагать объекты на листе А4. Работа над исследовательским проектом о масштабе поможет закрепить мне полученные знания по математике.

В моем исследовательском проекте по математике "Масштаб и его применение" мне необходимо будет уточнить и сопоставить математические расчёты с полученными данными.

Также, в практической части своей работы я рассмотрю и математически решу интересные задачи на расстояние и масштаб.

Введение
Основная часть
1. Определение масштаба.
2. Решение интересных задач на масштаб.
Выводы
Приложения.

Введение

На уроках математики в 6 классе мы проходили эту интересную тему, из которой узнали, как, используя масштаб, можно найти расстояние на местности, зная длину отрезка на карте, соответствующего этому расстоянию на местности , и наоборот.

Участки земной поверхности изображают на бумаге в уменьшенном виде. Примером такого изображения служит любая карта, план. А маленькие детали изображают на чертежах в увеличенном виде.

Но чертеж, карта или план должны давать представление о настоящих размерах предметов. Поэтому на чертежах и картах делают специальную запись, показывающую отношение длины отрезка на карте или чертеже к его настоящей длине.

Тема моего исследовательского проекта по математике «Масштаб и его применение ».

Цель проекта: выяснить при каком масштабе будет удобно располагать объекты на листе А4.

Задачи проекта:

1. закрепить школьные знания по математике;
2. уточнить, сопоставимы ли математические расчёты с полученными данными.

Гипотеза: выкройки наиболее эффективно чертить 1:10, планировку квартиры 1:100; паспорт дома 1:1000; карту города 1:10000; карту района 1:100000.

Ожидаемый результат: заданные мною масштабы, позволят расположить объекты на альбомном листе.

Оборудование:
линейка, карандаш, циркуль, калькулятор, карта.
лист А 4, линейка, карандаш.

Определение масштаба

Масштаб – это дробь, где в числителе единица, а в знаменателе то число, которое показывает во сколько раз уменьшено расстояние на плане местности, чем на местности.

Например: 1:1000 (одна тысячная) значит, все расстояния на местности уменьшены в тысячу раз. Чем больше число в знаменателе дроби, тем больше уменьшение и тем больше охват территории.

• численный , выражается в числах 1:1000;
• именованный , выражается словами, то есть см переводим в м: в 1см 10м, 10м – это величина масштаба;
• линейный , зная величину масштаба, мы можем определить расстояния.

Посмотрим на карту. Вверху указан масштаб (1: 500 000). Говорят, что карта сделана в масштабе одна пятисоттысячная. Это значит, что 1 см на карте соответствует 500 000 см на местности. Значит, отрезок на карте в 1 см соответствует отрезку на местности в 5 км.

А если я возьму на карте отрезок длиной в 3 см, то на местности это будет отрезок длиной в 15 км.

Я скачал с интернета карту Кабардино-Балкарской Республики. Карта республики с масштабом 1:10000, то есть в 1 см 100 метров, а масштаб окрестностей 1:100000 в 1 см 1 километр. Я сразу нашёл по ней мое родное село.

Итак, масштаб (нем. Maßstab , букв. «мерная палка »: Maß «мера », Stab «палка ») - в общем, отношение двух линейных размеров.

Во многих областях практического применения масштабом называют отношение размера изображения к размеру изображаемого объекта .

Понятие масштаба наиболее распространено в геодезии, картографии и проектировании - отношение натуральной величины объекта к величине его изображения.

Человек не в состоянии изобразить большие объекты, например дом, в натуральную величину, и поэтому при изображении большого объекта в рисунке, чертеже, макете и так далее, человек уменьшает величину объекта в несколько раз: в два, пять, десять, сто, тысяча и так далее раз. Число показывающее, во сколько раз уменьшен изображенный объект, есть масштаб.

Масштаб применяется и при изображении микромира. Человек не может изобразить живую клетку, которую рассматривает в микроскоп, в натуральную величину и поэтому увеличивает величину ее изображения в несколько раз.

Число, показывающее во сколько раз, произведено увеличение или уменьшение реального явления при его изображении, определено как масштаб.

Некоторые фотографы измеряют масштаб как отношение размеров объекта к размерам его изображения на бумаге, экране или ином носителе.

Правильная методика определения масштаба зависит от контекста, в котором используется изображение.

Выводы

Сравнил свои предположения, выдвинутые в моей гипотезе с надписями на выкройках, картах и технических планах дома и квартиры. Оказалось , что кое-где я ошибся в 10 и даже в 100 раз.

• выкройки наиболее эффективно чертить 1:10;
• планировку квартиры 1:100;
• паспорт дома 1:1000;
• карту города 1:10000;
• карту района 1:100000.

На самом деле, план квартиры обычно берут в масштабе 1:200; масштабы карт оказались точно такими же, как и в оригинале, но располагаются они аж на 6 альбомных листах!

Так что в который раз, я убеждаюсь, что прежде чем предполагать, нужно несколько раз пересчитать.

Таким образом , мы сформировали понятие масштаба, карты, чертежа, отрабатывали решение задач на вычисление длины отрезка на местности и на карте.

Решение задач на масштаб

Задача 1. Расстояние между двумя городами равно 400 км. Найдите длину отрезка, соединяющего эти города на карте, выполненной в масштабе 1:5000000.

Решение:
400км = 400000м = 40000000см
40000000: 5000000 = 40: 5 = 8 (см)

Задача 2. Расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга по прямой составляет примерно 635 км от центра до центра. По автотрассе протяженность маршрута 700 км.
Во сколько раз надо уменьшить это расстояние, чтобы его можно было изобразить на слайде в виде отрезка длиной в 14 см?

Решение:
700км = 700000м = 70000000см
70000000см: 14см = 5000000(раз)

Решение задач из задачника Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд за 6 класс по математике на тему:

1 Длина отрезка на карте 3 см. Найти длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты 1: 1000000
РЕШЕНИЕ

2 Длина отрезка на местности 4,5 км. Чему равна длина этого отрезка на карте, сделанной в масштабе 1: 100000
РЕШЕНИЕ

820 Определите по карте расстояние от опушки леса до точки пересечения дороги с рекой. Масштаб карты 1:100 000.
РЕШЕНИЕ

821 Расстояние между городами А и В на карте равно 8,5 см. Найдите расстояние между городами на местности, если масштаб карты 1:1000000.
РЕШЕНИЕ

822 Длина железной дороги Москва - Петербург приближенно равна 650 км. Изобразите отрезком эту дорогу, применив масштаб 1:10 000 000.
РЕШЕНИЕ

823 Расстояние от Бреста до Владивостока более 10 000 км. Уместится ли на одной странице тетради это расстояние в масштабе одна десятимиллионная?
РЕШЕНИЕ

824 На рисунке дан план квартиры в масштабе 1:100. Определите по плану, какие размеры имеют кухня, ванная и комнаты и какова их площадь в действительности.
РЕШЕНИЕ

825 Отрезку на карте, длина которого 3,6 см, соответствует расстояние на местности в 72 км. Каково расстояние между городами, если на этой карте между ними 12,6 см?
РЕШЕНИЕ

826 Длина железнодорожной магистрали 3140 км. Какой длины получится линия, изображающая эту магистраль на карте, сделанной в масштабе 1:10 000 000; 1:2 000 000?
РЕШЕНИЕ

827 Отрезок на местности длиной 3 км изображен на карте отрезком 6 см. Какова на карте длина отрезка, изображающего 10 км? Какой отрезок на местности изображает на карте 1,8 см?
РЕШЕНИЕ

828 Длина детали на чертеже, сделанном в масштабе 1:5, равна 7,2 см. Чему будет равна длина этой детали на другом чертеже в масштабе 1:3; 2:1?
РЕШЕНИЕ

830 Какое число надо отнять от числителя и знаменателя дроби 31/47, чтобы получить 5/9
РЕШЕНИЕ

831 Составьте три пропорции, используя верное равенство 18: 2 - 54: 6; 4,5: 1,5 = 1,26: 0,42; 2,8 · 45 = 6,3 · 20; 3,9 · 0,14 - 0.6 · 0,91
РЕШЕНИЕ

832 Две трети от двух третьих числа равны двум третьим. Какое это число?
РЕШЕНИЕ

833 Сколько гектаров в 1 м2? Сколько часов в 1 с; литров в 1 см3?
РЕШЕНИЕ

834 Известно, что объем пирамиды в 3 раза меньше объема призмы такой же высоты и с таким же основанием. Вычислите объем четырехугольной пирамиды, в основании которой прямоугольник со сторонами 2/3 дм и 9/10 дм, а высота 5 дм.
РЕШЕНИЕ

835 Чтобы приготовить 4 порции картофельной запеканки нужно взять 0,44 кг картофеля. Сколько потребуется картофеля чтобы приготовить 12 порций запеканки?
РЕШЕНИЕ

836 Некоторое расстояние ласточка пролетела за 0,5 ч со скоростью 50 км/ч. За сколько минут пролетит то же расстояние стриж, если будет лететь со скоростью 100 км/ч?
РЕШЕНИЕ

837 Начертите окружность и постройте два ее радиуса, угол между которыми 120°. Закрасьте часть круга между этими радиусами. Какая часть окажется закрашенной и останется незакрашенной?
РЕШЕНИЕ

838 1) Сумма двух чисел 7,2, причем 1/3 большего числа равна меньшему. Найдите эти числа. 2) Разность двух чисел 1,5, причем 1/4 большего равна меньшему. Найдите эти числа.

Цели урока:

1. Ввести понятие масштаба, научить находить расстояния на карте и на местности, пользуясь масштабом, учить решать задачи, связанные с понятием масштаба
2. Развивать мышление, творческую активность, внимание, интерес к математике.
3. Создать условия для развития самостоятельности.

Оборудование: компьютер,мультимедиа, презентация (приложение 1) , учебник Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова, А.С. Чеснокова, С.И. Шварцбурда "Математика 6", тетрадь, линейка, карандаши.

Тип урока - урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Ход урока

1. Организационный момент. (слайд 2 ).

Думать - коллективно!
Решать - оперативно!
Отвечать - доказательно!
Бороться - старательно!
И открытия нас ждут обязательно!

2. Сообщение темы урока (слайд 3)

Речь идет о трудной теме. Хотя уже хорошо отработаны понятия: "отношение", "пропорция", говорилось и об отношении расстояний. Теперь надо только по-новому назвать одно специфическое отношение - расстояния на карте между двумя пунктами к расстоянию между теми же пунктами на местности.

3. Устный счет: (слайд 4)

1. Выразите в километрах:

а) 32000000 см,

б) 600000 см,

г) 5000000 см.

2. Выразите в метрах:

а) 32000000 см,

б) 600000 см,

г) 5000000 см.

4. Изучение нового материала.

1) Подготовительная работа. (слайд 5)

Составьте отношения:

а) 1 см к 5000 м,

б) 1 см к 210 м,

в) 1 см к 54 см,

г) 1 см к 30000 км.

Что нужно сначала сделать?

г) 1: 3000000000.

Участки земной поверхности, детали машин, план дома и многое другое изображают на бумаге в уменьшенном виде.

Если на карте, чертеже, плане встретите такие отношения, то это масштаб карты, чертежа, плана. (слайд 6)

2) Работа над новой темой. (слайд 7)

Определение: Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом карты. (Аналогично можно сказать о чертеже, плане).

Масштаб - жезл размерный или мерило, мерник, размерник, мера линейная, принятая для чертежа или иной работы. (Из толкового словаря В.И.Даля.)

Объясните, что обозначают данные масштабы. (слайд 8)

Ответ: Если масштаб карты 1: 500000, то на этой карте длина каждого отрезка уменьшена в 500000 раз. На такой карте расстояние, равное 5 км, будет изображаться отрезком в 1 см.

Масштаб карты 1: 500000 = Говорят, что карта сделана в масштабе одна пятитысячная.

3) Работа с учебником. (слайд 9)

Самостоятельно разберите задачу 1 на стр. 134.

Составьте задачу по карте

масштаб карты 1: 100000 (в 1 см - 1 км)

Задача. Длина отрезка на карте 2 см. Найдите длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты 1: 100000. (слайд 10)

Пусть х (м) - расстояние на местности.

200000см = 2000 м = 2 км

Ответ: 2 км на местности.

5. Физкультминутка.

6. Закрепление изученного материала.

Рассмотрим две задачи из учебника Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова, А.С. Чеснокова, С.И. Шварцбурда "Математика 6". (слайд 11-12)

Задача. Отрезку на карте, длина которого 3,6 см, соответствует расстояние на местности 72 км. Каково расстояние между городами, на этой карте расстояние между ними 12,6 см?

Решение. Составим таблицу. Запись: 72 км = 7 200 000 см - обязательна. Учащиеся должны каждый раз видеть, что вычисляется отношение величин, измеренных одной и той же единицей.

Затем, проговаривая определение масштаба, заполняем две последние клетки в таблице. Слева появляется запись: "3,6: 7 200 000", а справа - "12,6: х".

Ребята! А карта у нас одна и та же? Значит, масштаб в обоих случаях один и тот же? Тогда мы можем приравнять два отношения:

3,6: 7 200 000 = 12,6: х.

Вот теперь учащиеся вступают на достаточно известную им дорогу. Они уже отработали способ решения уравнений такого вида. Записывают равенство произведения крайних членов пропорции произведению ее средних членов и находят значение х:

7 200 000 * 12,6 = 3,6 * х,

Х = (7200000 * 12,6):3,6

Здесь, как правило, учащиеся торопятся умножать. Но этого делать не следует. Надо попытаться сначала сократить дробь, воспользовавшись равными отношениями 12,6:3,6 = 126:36 = 7:2. Тогда

х = --------------------

или х = 3600000 * 7 = 25200000(см) = 252(км).

Такой подход демонстрирует учащимся возможность отказаться от калькулятора, не загружая себя скучной вычислительной работой.

Задача. Отрезок на местности длиной 3 км изображен на карте отрезком 6 см. Какова на карте длина отрезка, изображающего отрезок 10 км? Какой отрезок на местности изображает отрезок на карте длиной 1,8 см?

Составляем таблицу, аналогичную таблице в предыдущей задаче, подробно разбирая, в какую строчку какое данное записать. При этом вводим две переменные. Это, во-первых, делает наглядной запись условия, а во-вторых, служит подготовкой к решению задач с двумя неизвестными.

Итак, на первом этапе решения появляется таблица. Строка "Масштаб" пока еще не заполнена - она заполняется по ходу решения.

"Что же можно узнать из второй колонки таблицы?" - "Масштаб, он равен: 6 см: 300 000 см = 2: 100 000".

- "А как можно найти масштаб иным способом, из третьей колонки таблицы?"

Ведя такую беседу (и каждый раз проговаривая определение масштаба, что очень важно), получаем вместе с классом уравнение 2: 1 00 000 = х: 1 000 000, отсюда х = 20 (см).

Снова вспоминая понятие масштаба, получаем уравнение

2: 100 000 = 1,8: у,

у = 90 000 (см) = 0,9 (км).

Конечно, в более сильных классах можно не проговаривать определение масштаба каждый раз. Но таблица, облегчающая запись решения задач, думаю, поможет всем учащимся.

7. Самостоятельная работа. (слайд 13)

Найдите расстояние между поселком Найдорф и станицей Нововеличковской если масштаб карты 1: 100000

8. Итог урока. (слайд 14)

Что называют масштабом карты?

Где в практической деятельности человек пользуется этим понятием?

Чему равен масштаб чертежа, если на нем детали увеличены в 5 раз? Уменьшены в 50 раз?

9. Домашнее задание. (слайд 15)

Стр. 137 № 842, 844

Творческое задание: нарисуйте план своего дома в масштабе 1:100 (в 1 см - 1 метр).

Приложение №1 - Презентация к уроку по теме "Масштаб"

Решение задачи.

5 класс. Тема урока: «Масштаб».

Цель: познакомиться с понятием «масштаб», научиться практически применять масштаб для решения задач.

Масштаб показывает, во сколько раз все расстояния на плане (на карте) меньше, чем на местности.

Для изучения темы необходимо:

1. изучить новый материал с помощью презентации по теме «Масштаб»;
2. разобраться в алгоритме решения задач по теме.

Практические упражнения.

Задача 1. На карте с масштабом расстояние между деревней и станцией равно 2,8 см. Найти расстояние между ними на местности.

Решение:

Масштаб означает, что расстояние на местности в 150 000 раз больше, чем на карте. Следовательно, искомое расстояние равно

2,8 × 150 000 = 420 000 (см) = 4,2 км.

Ответ: расстояние от деревни до станции на местности равно 4,2 км.

Задача 2. Расстояние между двумя городами равно 280 км. Найти длину отрезка, соединяющего эти города на карте, выполненной в масштабе 1: 4 000 000.

Решение:

Поскольку расстояние на карте в 4 000 000 раз меньше, чем на местности, то 280 км надо уменьшить в 4 000 000 раз. Вначале выразим это расстояние в см, а затем выполним деление:

280 км = 28 000 000 см,

28 000 000: 4 000 000 = 7 (см)

Ответ: расстояние между городами на карте 7 см.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Интегрированный урок математики и географии 5 класс Масштаб

«Ни одной науке не обходились так дорого знания, как географии. Почти за каждую крупицу знаний заплачено человеческой жизнью». Г.Я.Седов (1877 – 1914 г.)

Масштаб показывает, во сколько раз расстояния на плане меньше, чем на местности. .

Виды масштаба именованный численный линейный

Виды масштаба Как изображается Что показывает Для чего используется Именованный Численный Линейный Словами и числами Какое расстояние в реальности соответствует 1см на плане Для краткой записи Дробью Величину масштаба Для определения, во сколько раз уменьшены р асстояния на плане Делениями на линии Соответствующие делениям расстояния на местности Для измерения расстояний циркулем

Перевести: Численный масштаб в именованный: 1: 1000 1: 75000000 Именованный масштаб в численный: в 1 см – 50 км в 1 см – 200 м в 1 см – 10 м в 1 см – 750 км 1: 5000000 1: 20000

Какой из масштабов крупнее? 1: 25 1: 300 1: 50000 1: 25

Отношения Что называют отношением двух чисел? Что показывает отношение двух чисел? Как можно записать отношение 1: 100 и что оно показывает? Что показывает отношение 1000: 1? Как найти отношение 200м к 4см? Выразить в см: 450м, 5км.

Решим задачи На карте с масштабом 1: 150000 расстояние между деревней и станцией равно 2,8 см. найти это расстояние на местности. Расстояние между двумя городами равно 280 км. Найти длину отрезка, соединяющего эти города на карте, выполненной в масштабе 1 6 4000000.

Практическая работа http://earth.google.com

Домашнее задание Построить план своей комнаты вместе с имеющейся там мебелью в масштабе 1: 20. Все вычисления произвести в рабочей тетради по математике.