Теория игр матричная игра. Примеры решения задач. Практическое применение: Выявление социопатов

Если имеется несколько конфликтующих сторон (лиц), каждая из которых принимает некоторое решение, определяемое заданным набором правил, и каждому из лиц известно конечное состояние конфликтной ситуации с заранее определенными для каждой из сторон платежами, то говорят, что имеет место игра.

Задача теории игр состоит в выборе такой линии поведения данного игрока, отклонение от которой может лишь уменьшить его выигрыш.

Некоторые определения игры

Количественная оценка результатов игры называется платежом.

Парная игра (два лица) называется игрой с нулевой суммой, если сумма платежей равна нулю, т.е. если проигрыш одного игрока равен выигрышу другого.

Однозначное описание выбора игрока в каждой из возможной ситуаций, при которой он должен сделать личный ход, называется стратегией игрока .

Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш (или, что - то же самое, минимально возможный средний выигрыш).

Игра, определяемая матрицей А , имеющейm строк иn столбцов, называется конечной парной игрой размерностиm * n ;

где i =
- стратегия первого игрока, имеющегоmстратегий; j =- стратегия второго игрока, имеющегоnстратегий; ij – выигрыш первого игрока поi -й стратегии при использовании вторымj -й стратегии (или, что то же самое, проигрыш второго по своейj -й стратегии, при использовании первымi -й);

А =  ij – платежная матрица игры.

1.1 Игра с чистыми стратегиями

Нижняя цена игры (для игрока первого)

 = max (min  ij ). (1.2)

i j

Верхняя цена игры (для второго игрока):

= min (max  ij ) . (1.3)

J i

Если  =  , игра называется с седловой точкой (1.4), или игра с чистыми стратегиями. При этомV =  =  называют ценной игры (V - цена игры).

Пример. Дана платежная матрица игры 2 лиц А. Определить оптимальные стратегии для каждого из игроков и цену игры:

(1.4)

max 10 9 12 6

i

min 6

j

- стратегия первого игрока (строки).

Стратегия второго игрока (столбцы).

- цена игры.

Таким образом, игра имеет седловую точку. Стратегия j = 4 – оптимальная для второго игрока, стратегияi =2 - для первого. Имеем игру с чистыми стратегиями.

1.2 Игры со смешанными стратегиями

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е.
, и ни один из участников игры не может выбрать один план в качестве своей оптимальной стратегии, игроки переходят на «смешанные стратегии». При этом каждый из игроков использует в процессе игры несколько раз каждую из своих стратегий.

Вектор, каждая из компонент которого показывает относительную частоту использования игроком соответствующей чистой стратегии, называется смешанной стратегией данного игрока.

Х = (х 1 …х i …х m ) – смешанная стратегия первого игрока.

У = (у 1 …у j …у n ) – смешанная стратегия второго игрока.

x i , у j – относительные частоты (вероятности) использования игроками своих стратегий.

Условия использования смешанных стратегий

. (1.5)

Если Х * = (х 1 * ….х i * …х m *) – оптимальная стратегия, выбранная первым игроком;Y * = (у 1 * …у j * …у n *) – оптимальная стратегия, выбранная вторым игроком, то число является ценой игры.

(1.6)

Для того чтобы число V было ценой игры, ах * иу * - оптимальными стратегиями, необходимо и достаточно выполнение неравенств

(1.7)

Если один из игроков применяет оптимальную смешанную стратегию, то его выигрыш равен цене игры V вне зависимости от того, с какими частотами будет применять второй игрок стратегии, вошедшие в оптимальную, в том числе и чистые стратегии.

Сведения задач теории игр к задачам линейного программирования.

Пример . Найти решение игры, определяемой платежной матрицейА .

А = (1.8)

y 1 y 2 y 3

Решение:

Составим двойственную пару задач линейного программирования.

Для первого игрока

(1.9)

у 1 +у 2 +у 3 = 1 (1.10)

Освобождаясь от переменной V (цена игры), разделим левую и правую часть выражений (1.9), (1.10) наV . Приняву j /V за новую переменнуюz i , получим новую систему ограничений (1.11) и целевую функцию (1.12)

(1.11)

. (1.12)

Аналогично получим модель игры для второго игрока:

(1.13)

х 1 +х 2 +х 3 = 1 . (1.14)

Приведя модель (1.13), (1.14) к форме без переменной V , получим

(1.15)

, (1.16)

где
.

Если нам необходимо определить стратегию поведения первого игрока, т.е. относительную частоту использования его стратегий (х 1 ….х i …х m ), мы будем использовать модель второго игрока, т.к. эти переменные находятся в его модели выигрыша (1.13), (1.14).

Приведем (1.15), (1.16) к канонической форме

(1.17)

Задача:
Матричная игра задана следующей платежной матрицей:

Найти решение матричной игры, а именно:
- найти верхнюю цену игры;
- нижнюю цену игры;
- чистую цену игры;
- указать оптимальные стратегии игроков;
- привести графическое решение (геометрическую интерпретацию), при необходимости.

Шаг:1

Определим нижнюю цену игры - α

Найдем в каждой строке платежной матрицы минимальный элемент и запишем его в дополнительный столбец (Выделен желтым цветом см. Табл.1).

Затем найдем максимальный элемент дополнительного столбца (отмечен звездочкой), это и будет нижняя цена игры.

Таблица 1

В нашем случае нижняя цена игры равна: α = 3 , и для того чтобы гарантировать себе выигрыш не хуже чем 3 мы должны придерживаться стратегии A 1

Шаг:2

Определим верхнюю цену игры - β

Найдем в каждом столбце платежной матрицы максимальный элемент и запишем его в дополнительную строку снизу (Выделена желтым цветом см. Табл.2).

Затем найдем минимальный элемент дополнительной строки (отмечен плюсом), это и будет верхняя цена игры.

Таблица 2

где B 1 , B 2 - стратегии игрока "B", а q 1 , q 2 - соответственно вероятности, с которыми эти стратегии применяются, причем q 1 + q 2 = 1.

Оптимальная смешанная стратегия для игрока "А" та, которая обеспечивает ему максимальный выигрыш. Соответственно для "B" - минимальный проигрыш. Обозначаются эти стратегии S A * и S B * соответственно. Пара оптимальных стратегий образует решение игры.

В общем случае в оптимальную стратегию игрока могут входить не все исходные стратегии, а только некоторые из них. Такие стратегии называются активными стратегиями .

Шаг:4

Из теории игр известно, что если игрок "А" использует свою оптимальную стратегию, а игрок "B" остается в рамках своих активных стратегий, то средний выигрыш остается неизменным и равным цене игры v независимо от того как игрок "В" использует свои активные стратегии. А в нашем случае обе стратегии активные, иначе игра бы имела решение в чистых стратегиях. Поэтому если предположить, что игрок "В" будет пользоваться чистой стратегией B 1 , то средний выигрыш v составит:

k 11 p 1 + k 21 p 2 = v (1)

где: k ij - элементы платежной матрицы.

C другой стороны, если предположить, что игрок "В" будет пользоваться чистой стратегией B 2 , то средний выигрыш составит:

k 12 p 1 + k 22 p 2 = v (2)

Приравняв левые части уравнений (1) и (2) получим:

k 11 p 1 + k 21 p 2 = k 12 p 1 + k 22 p 2

А с учетом того, что p 1 + p 2 = 1 имеем:

k 11 p 1 + k 21 (1 - p 1 ) = k 12 p 1 + k 22 (1 - p 1 )

В данной задаче:

Из теории игр известно, что если игрок "B" использует свою оптимальную стратегию, а игрок "A" остается в рамках своих активных стратегий, то средний выигрыш остается неизменным и равным цене игры v независимо от того как игрок "А" использует свои активные стратегии. Поэтому если предположить, что игрок "A" будет пользоваться чистой стратегией A 1 , то средний выигрыш v составит:

k 11 q 1 + k 12 q 2 = v (4)

В данной задаче:

Ответ:

Геометрическая интерпретация (графическое решение):

Рисунок 1.
График зависимости выигрыша k от частоты р 2 , при использовании противником стратегии B 1 .

Предположим теперь, что игрок "B" будет пользоваться стратегией B 2 в чистом виде. Тогда, если мы (игрок "A") будем использовать чистую стратегию A 1 , то наш выигрыш составит 5.Если же мы будем использовать чистую стратегию A 2 , то наш выигрыш составит 3/2 (см. Рис. 2). Аналогично, если мы будем смешивать в различных пропорциях стратегии A 1 и A 2 , наш выигрыш будет меняться по прямой проходящей через точки с координатами (0 , 5) и (1 , 3/2), назовем ее линией стратегии B 2 . Как и в предыдущем случае, абсцисса любой точки на этой прямой равна вероятности, с которой мы применяем стратегию A 2 , а ордината - получаемому при этом выигрышу, но только для стратегии B 2 (см. Рис. 2).

Рисунок 2.
v и оптимальной частоты р 2 для игрока "А" .

В реальной игре, когда разумный игрок "В" пользуется всеми своими стратегиями, наш выигрыш будет изменяться по ломаной линии, показанной на Рис.2 красным цветом. Эта линия определяет так называемую нижнюю границу выигрыша . Очевидно, что самая высокая точка этой ломанной соответствует нашей оптимальной стратегии. В данном случае, это точка пересечения линий стратегий B 1 и B 2 . Обратите внимание, что если выбрать частоту p 2 равной ее абсциссе, то наш выигрыш будет оставаться неизменным и равным v при любой стратегии игрока "B", кроме того он будет максимальным который мы можем себе гарантировать. Частота (вероятность) p 2 , в этом случае, есть соответствующая частота нашей оптимальной смешанной стратегии. Кстати из рисунка 2 видна и частота p 1 , нашей оптимальной смешанной стратегии, это длина отрезка [p 2 ; 1] на оси абсцисс. (Это потому, что p 1 + p 2 = 1 )

Совершенно аналогично рассуждая, можно найти и частоты оптимальной стратегии для игрока "В", что иллюстрируется на рисунке 3.

Рисунок 3.
Графическое определение цены игры v и оптимальной частоты q 2 для игрока "В" .

Только для него следует построить так называемую верхнюю границу проигрыша (красная ломаная линия) и искать на ней самую низкую точку, т.к. для игрока "В" цель, это минимизация проигрыша. Аналогично значение частоты q 1 , это длина отрезка [q 2 ; 1] на оси абсцисс.

Решение матричной игры с использованием графического метода

Решение матричной игры с использованием методов линейного программирования

1. Матричная игра. Использование симплексного метода . Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(a i) = 2, которая указывает на максимальную чистую стратегию A 1 .
2. Пример решения матричной игры методом линейного программирования . Решить матричную игру методом линейного программирования.

Дайте графическое представление, приведите к нормальной форме и найдите точное решение позиционной игры со следующей функцией выигрышей:
1-й ход делает игрок А: он выбирает число x из множества двух чисел.
2-й ход делает игрок В: не зная о выборе игрока А на 1-м ходе, он выбирает число y из множества двух чисел.
3-й ход делает игрок А: он выбирает число z из множества двух чисел, зная значения y, выбранное игроком В на 2-м ходе, но не помня собственного выбора x на 1-м ходе.

Игры с природой

1. Статистические игры
   Сельскохозяйственное предприятие может реализовать некоторую продукцию:
   А1) сразу после уборки;
   А2) в зимние месяцы;
   А3) в весенние месяцы.
   Прибыль зависит от цены реализации в данный период времени, затратами на хранение и возможных потерь. Размер прибыли, рассчитанный для разных состояний-соотношений дохода и издержек (S1, S2 и S3), в течение всего периода реализации, представлен в виде матрицы (млн.руб.)
2. Фирма производит платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды . Затраты фирмы в течение апреля-мая на единицу продукции составят...
3. Решение задачи про запасы сырья . За некоторый период времени на предприятии потребление исходного сырья в зависимости от его качества составляет в 1 , в 2 , в 3 и в 4 .
4. Стратегии крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма

Биматричные игры

Дерево решений в теории игр (пример решения задачи).

см. также сборник решений по теории игр (решение матричных игр), типовые задачи по ЭММ (линейное программирование, теория игр).

В городе работают три телекомпании: АВС, СВS и NВС . Эти компании могут начинать программу вечерних новостей в 6.30 или в 7.00. 60% телезрителей предпочитают смотреть вечерние новости в 6.30, а 40% — в 7.00. Наиболее популярна программа вечерних новостей у компании АВС , наименьшей популярностью пользуются новости, подготовленные компанией NВС . Доля телезрителей вечерних новостных программ представлена в таблице (NBС, СВS , АВС)

Найти оптимальные стратегии компаний по времени показа новостных программ

Указание к решению: в игре существует доминируемая стратегия

Лекция 11: Теория игр и принятие решений

Предмет и задачи теории игр

Классическими задачами системного анализа являются игровые задачи принятия решений в условиях риска и неопределенности.

Неопределенными могут быть как цели операции, условия выполнения операции, так и сознательные действия противников или других лиц, от которых зависит успех операции.

Разработаны специальные математические методы, предназначенные для обоснования решений в условиях риска и неопределенности. В некоторых, наиболее простых случаях эти методы дают возможность фактически найти и выбрать оптимальное решение. В более сложных случаях эти методы доставляют вспомогательный материал, позволяющий глубже разобраться в сложной ситуации и оценить каждое из возможных решений с различных точек зрения, и принять решений с учетом его возможных последствий. Одним из важных условий принятия решений в этом случае является минимизация риска.

При решении ряда практических задач исследования операций (в области экологии, обеспечения безопасности жизнедеятельности и т. д.) приходится анализировать ситуации, в которых сталкиваются две (или более) враждующие стороны, преследующие различные цели, причем результат любого мероприятия каждой из сторон зависит от того, какой образ действий выберет противник. Такие ситуации мы можно отнести к конфликтным ситуациям .

Теория игр является математической теорией конфликтных ситуаций, при помощи которой можно выработать рекомендации по рациональному образу действий участников конфликта. Чтобы сделать возможным математический анализ ситуации без учета второстепенных факторов, строят упрощенную, схематизированную модель ситуации, которая называется игрой . игра ведется по вполне определенным правилам, под которыми понимается система условий, регламентирующая возможные варианты действий игроков; объем информации каждой стороны о поведении другой; результат игры, к которому приводит каждая данная совокупность ходов.

Результат игры (выигрыш или проигрыш) вообще не всегда имеет количественное выражение, но обычно можно, хотя бы условно, выразить его числовым значением.

Ход — выбор одного из предусмотренных правилами игры действий и его осуществление. Ходы делятся на личные и случайные. Личным ходом называется сознательный выбор игроком одного из возможных вариантов действий и его осуществление. Случайным ходом называется выбор из ряда возможностей, осуществляемый не решением игрока, а каким-либомеханизмом случайного выбора (бросание монеты, выбор карты из перетасованной колоды и т. п.). Для каждого случайного хода правила игры определяют распределение вероятностей возможных исходов. Игра может состоять только их личных или только из случайных ходов, или из их комбинации. Следующим основным понятием теории игр является понятие стратегии. Стратегия — это априори принятая игроком система решений (вида «если — то»), которых он придерживается во время ведения игры, которая может быть представлена в виде алгоритма и выполняться автоматически.

Целью теории игр является выработка рекомендаций для разумного поведения игроков в конфликтной ситуации, т. е. определение «оптимальной стратегии» для каждого из них. Стратегия, оптимальная по одному показателю, необязательно будет оптимальной по другим. Сознавая эти ограничения и поэтому не придерживаясь слепо рекомендаций, полученных игровыми методами, можно все же разумно использовать математический аппарат теории игр для выработки, если не в точности оптимальной, то, во всяком случае «приемлемой» стратегии.

Игры можно классифицировать: по количеству игроков, количеству стратегий, характеру взаимодействия игроков, характеру выигрыша, количеству ходов, состоянию информации и т.д. .

В зависимости от количества игроков различают игры двух и n игроков. Первые из них наиболее изучены. Игры трех и более игроков менее исследованы из-за возникающих принципиальных трудностей и технических возможностей получения решения.

В зависимости от числа возможных стратегий игры делятся на «конечные » и «бесконечные ».

Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется только конечное число стратегий, и бесконечной, если хотя бы у одного из игроков имеется бесконечное число стратегий.

По характеру взаимодействия игры делятся на бескоалиционные: игроки не имеют права вступать в соглашения, образовывать коалиции; коалиционные (кооперативные) — могут вступать в коалиции.

В кооперативных играх коалиции заранее определены.

По характеру выигрышей игры делятся на: игры с нулевой суммой (общий капитал всех игроков не меняется, а перераспределяется между игроками; сумма выигрышей всех игроков равна нулю) и игры с ненулевой суммой.

По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые и др.

Матричная игра — это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задается выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1, столбец — номеру применяемой стратегии игрока на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).

Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение и оно может быть легко найдено путем сведения игры к задаче линейного программирования.

Биматричная игра — это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец — стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице — выигрыш игрока)

Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной. Доказано, что игры этого класса имеют решения, однако не разработано практически приемлемых методов их нахождения.

Если функция выигрышей является выпуклой, то такая игра называется выпуклой . Для них разработаны приемлемые методы решения, состоящие в отыскании чистой оптимальной стратегии (определенного числа) для одного игрока и вероятностей применения чистых оптимальных стратегий другого игрока. Такая задача решается сравнительно легко.

Запись матричной игры в виде платежной матрицы

Рассмотрим конечную игру, в которой первый игрок А имеет m стратегий, а второй игрок B-n стратегий. Такая игра называется игрой m×n. Обозначим стратегии A 1 , А 2 , ..., А m ; и В 1 , В 2 , ..., В n . Предположим, что каждая сторона выбрала определенную стратегию: A i или B j . Если игра состоит только из личных ходов, то выбор стратегий однозначно определяет исход игры — выигрыш одной из сторон a ij . Если игра содержит кроме личных случайные ходы, то выигрыш при паре стратегий A i и B является случайной величиной, зависящей от исходов всех случайных ходов. В этом случае естественной оценкой ожидаемого выигрыша является математическое ожидание случайного выигрыша, которое также обозначается за a ij .

Предположим, что нам известны значения a ij при каждой паре стратегий. Эти значения можно записать в виде прямоугольной таблицы (матрицы), строки которой соответствуют стратегиям A i , а столбцы — стратегиям B j .

Тогда, в общем виде матричная игра может быть записана следующей платежной матрицей:

Таблица — Общий вид платежной матрицы матричной игры

где A i — названия стратегий игрока 1, B j — названия стратегий игрока 2, a ij — значения выигрышей игрока 1 при выборе им i–й стратегии, а игроком 2 — j-й стратегии. Поскольку данная игра является игрой с нулевой суммой, значение выигрыша для игрока 2 является величиной, противоположенной по знаку значению выигрыша игрока 1.

Понятие о нижней и верхней цене игры. Решение игры в чистых стратегиях

Каждый из игроков стремится максимизировать свой выигрыш с учетом поведения противодействующего ему игрока. Поэтому для игрока 1 необходимо определить минимальные значения выигрышей в каждой из стратегий, а затем найти максимум из этих значений, то есть определить величину

V н = max i min j a ij

или найти минимальные значения по каждой из строк платежной матрицы, а затем определить максимальное из этих значений. Величина V н называется максимином матрицы или нижней ценой игры . Та стратегия игрока, которая соответствует максимину V н называется максиминной стратегией.

Очевидно, если мы будем придерживаться максиминной стратегии, то нам при любом поведении противника гарантирован выигрыш, не меньший V н. Поэтому величина V н — это тот гарантированный минимум, который мы можем себе обеспечить, придерживаясь своей наиболее осторожной стратегии.

Величина выигрыша игрока 1 равна, по определению матричной игры, величине проигрыша игрока Поэтому для игрока 2 необходимо определить значение

V в = min j max i a ij

Или найти максимальные значения по каждому из столбцов платежной матрицы, а затем определить минимальное из этих значений. Величина V в называется минимаксом матрицы, верхней ценой игры или минимаксным выигрышем. Соответствующая выигрышу стратегия противника называется его минимаксной стратегией. Придерживаясь своей наиболее осторожной минимаксной стратегии, противник гарантирован, что в любом случае он проиграет не больше V в.

В случае, если значения V н и V в не совпадают, при сохранении правил игры (коэффициентов a ij) в длительной перспективе, выбор стратегий каждым из игроков оказывается неустойчивым. Устойчивость он приобретает лишь при равенстве V н = V в = V. В этом случае говорят, что игра имеет решение в чистых стратегиях , а стратегии, в которых достигается V — оптимальными чистыми стратегиями . Величина V называется чистой ценой игры .

Например, в матрице:

Таблица — Платежная матрица, в которой существует решение в чистых стратегиях

существует решение в чистых стратегиях. При этом для игрока 1 оптимальной чистой стратегией будет стратегия A 1 , а для игрока 2 — стратегия B 4 .

В матрице решения в чистых стратегиях не существует, так как нижняя цена игры достигается в стратегии A 1 и ее значение равно 12, в то время как верхняя цена игры достигается в стратегии B 4 и ее значение равно 13.

Таблица — Платежная матрица, в которой не существует решения в чистых стратегиях

Уменьшение порядка платежной матрицы

Порядок платежной матрицы (количество строк и столбцов) может быть уменьшен за счет исключения доминируемых и дублирующих стратегий.

Стратегия K* называется доминируемой стратегией K**, если при любом варианте поведения противодействующего игрока выполняется соотношение

A k* < A k** ,

где A k* и A k** — значения выигрышей при выборе игроком, соответственно, стратегий K* и K**.

В случае, если выполняется соотношение

стратегия K* называется дублирующей по отношению к стратегии K**.

Например, в матрице с доминируемыми и дублирующими стратегиями стратегия A 1 является доминируемой по отношению к стратегии A 2 , стратегия B 6 является доминируемой по отношению к стратегиям B 3 , B 4 и B 5 , а стратегия B 5 является дублирующей по отношению к стратегии B 4 .

Таблица — Платежная матрица с доминируемыми и дублирующими стратегиями

Данные стратегии не будут выбраны игроками, так как являются заведомо проигрышными и удаление этих стратегий из платежной матрицы не повлияет на определение нижней и верхней цены игры, описанной данной матрицей.

Множество недоминируемых стратегий, полученных после уменьшения размерности платежной матрицы, называется еще множеством Парето.

Примеры игр

1. Игра «Цыпленок»

Игра «Цыпленок» заключается в том, что игроки вступают во взаимодействие, которое ведет в нанесению серьезного вреда каждому из них, пока один из игроков не выйдет из игры. Пример использования этой игры — взаимодействие автотранспортный средств, например, ситуации, когда два автомобиля идут навстречу друг другу, и тот, который первым сворачивает в сторону, считается «слабаком» или «цыпленком». Смысл игры заключается в создании напряжения, которое бы привело к устранению игрока. Подобная ситуация часто встречается в среде подростков или агрессивно настроенных молодых людей, хотя иногда несет в себе меньший риск. Еще одно из применений этой игры — ситуация, в которой две политические партии вступают в контакт, при котором они не могут ничего выиграть, и только гордость заставляет их сохранять противостояние. Партии медлят с уступками до тех пор, пока не дойдут до финальной точки. Возникающее психологическое напряжение может привести одного из игроков к неправильной стратегии поведения: если никто из игроков не уступает, то столкновение и фатальная развязка неизбежны.

Платежная матрица игры выглядит следующей:

2. Игра «коршун и голубь»

Игра «коршун и голубь» является биологическим примером игры. В этой версии двое игроков, обладающих неограниченными ресурсами, выбирают одну из двух стратегий поведения. Первая («голубь») заключается в том, что игрок демонстрирует свою силу, запугивая противника, а вторая («коршун») — в том, что игрок физически атакует противника. Если оба из игроков выбирают стратегию «коршуна», они сражаются, наносф друг другу увечья. Если один из игроков выбирает стратегию «коршуна», а второй «голубя» — то первый побеждает второго. В случае, если оба игрока — «голуби», то соперники приходит к компромиссу, получая выигрыш, который оказывается меньше, чем выигрыш «коршуна», побеждающего «голубя», как это следует из платежной матрицы этой игры.

Здесь V — цена соглашения, C — цена конфликта, причем V

В игре «коршун и голубь» есть три точки равновесия по Нэшу:

1. первый игрок выбирает «коршуна», а второй «голубя».
2. первый игрок выбирает «голубя», а второй «коршуна».
3. оба игрока выбирают смешанную стратегию, в которой «коршун» выбирается с вероятностью p, а «голубь» — с вероятностью 1-p.

3. Дилемма заключенного

«Дилемма заключенного» — одна из наиболее распространенных конфликтных ситуаций, рассматриваемая в теории игр.

Классическая «дилемма заключенного» звучит следующим образом: двое подозреваемых, A и B, находятся в разных камерах. Следователь, навещая их поодиночке, предлагает сделку следующего содержания: если один из них будет свидетельствовать против другого, а второй будет молчать, то первый заключенный будет освобожден, а второго осудят на 10 лет. Если оба будут молчать, то отсидят по 6 месяцев. Если оба предадут друг друга, то каждый получит по 2 года. Каждый из заключенных должен принять решение: предать подельника или молчать, не зная о том, какое решение принял другой. Дилемма: какое решение примут заключенные?

Платежная матрица игры:

В данном случае, результат базируется на решении каждого из заключенных. Положение игроков осложняется тем, что они не знают о том, какое решение принял другой, и тем, что они не доверяют друг другу.

Наилучшей стратегией игроков будет кооперация, при которой оба молчат, и получают максимальный выигрыш (меньший срок), каждое другое решение будет менее выигрышным.

Проанализируем «дилемму заключенного», перейдя для наглядности к платежной матрице канонического вида:

Согласно этой матрице, цена взаимного отказа от кооперации (S) составляет по 1 баллу для каждого из игроков, цена за кооперацию (R) — по 3 балла, а цена соблазна предать другого (T) составляет 5 баллов. Можем записать следующее неравенство: T > R > S. При повторении игры несколько раз, выбор кооперации превосходит соблазн предать и получить максимальный выигрыш: 2 R > T + S.

Равновесие по Нэшу.

Равновесие по Нэшу — это ситуация, когда ни у одного игрока нет стимулов изменять свою стратегию при данной стратегии другого игрока (другой фирмы), позволяющая игрокам достичь компромиссного решения.

Определение равновесия по Нэшу и его существование определяется следующим образом.

Пусть (S, f) — это игра, в которой S — множество стратегий, f — множество выигрышей. Когда каждый из игроков i ∈ {1, ..., n} выбирает стратегию x i &isin S, где x = (x 1 , ..., x n), тогда игрок i получает выигрыш f i (x). Выигрыш зависит от стратегии, выбранной всеми игроками. Стратегия x* ∈ S является равновесием по Нэшу, если никакое отклонение от нее каким-то одним игроком не приносит ему прибыль, то есть, для всех i выполняется следующее неравенство:

f i (x*) ≥ f i (x i , x* -i)

Например, игра «дилемма заключенного» имеет одно равновесие по Нэшу — ситуацию, когда оба заключенных предают друг друга.

Проще всего определить равновесие по Нэшу можно по платежной матрице, особенно в случаях, когда в игре участвуют два игрока, имеющие в арсенале более двух стратегий. Так как в этом случае формальный анализ будет достаточно сложным, применяется мнемоническое правило, которое заключается в следующем: ячейка платежной матрицы представляет собой равновесие по Нэшу, если первое число, стоящее в ней, является максимальным среди всех значений, представленных в столбцах, а второе число, стоящее в ячейке — максимальное число среди всех строк.

Например, применим это правило для матрицы 3x3:

Точки равновесия по Нэшу: (B,A), (A,B) и (C,C). Indeed, for cell (B,A), так как 40 — максимальное значение в первом столбце, 25 максимальное значение во втором ряду. Для ячейки (A,B) 25 — это максимальное значение во втором столбце, 40 — максимальное значение во втором ряду. То же самое и для ячейки (C,C).

Рассмотрим пример игры в загрязнения (окружающей среды). Здесь объектом нашего внимания станет такой вид побочных эффектов производства, как загрязнение. Если бы фирмы никогда и никого не спрашивали о том, как им поступить, любая из них скорее предпочла бы создавать загрязнения, чем устанавливать дорогостоящие очистители. Если же какая-нибудь фирма решилась бы уменьшить вредные выбросы, то издержки, а, следовательно, и цены на ее продукцию, возросли бы, а спрос бы упал. Вполне возможно, эта фирма просто обанкротилась бы. Живущие в жестоком мире естественного отбора, фирмы скорее предпочтут оставаться в условиях равновесия по Нэшу (ячейка D), при котором не нужно расходовать средства на очистные сооружения и технологии. Ни одной фирме не удастся повысить прибыль, уменьшая загрязнение.

Таблица — Платежная матрица игры в загрязнение окружающей среды.

Вступив в экономическую игру, каждая неконтролируемая государством и максимизирующая прибыль сталелитейная фирма будет производить загрязнения воды и воздуха. Если какая-либо фирма попытается очищать свои выбросы, то тем самым она будет вынуждена повысить цены и потерпеть убытки. Некооперативное поведение установит равновесие по Нэшу в условиях высоких выбросов. Правительство может предпринять меры с тем, чтобы равновесие переместилось в ячейку А. В этом положении загрязнение будет незначительным, прибыли же останутся теми же.

Игры загрязнения - один из случаев того, как механизм действия «невидимой руки» не срабатывает. Это ситуация, когда равновесие по Нэшу неэффективно. Иногда подобные неконтролируемые игры становятся угрожающими, и здесь может вмешаться правительство. Установив систему штрафов и квот на выбросы, правительство может побудить фирмы выбрать исход А, соответствующий низкому уровню загрязнения. Фирмы зарабатывают ровно столько же, сколько и прежде, при больших выбросах, мир же становится несколько чище.

Пример решения матричной игры в чистых стратегиях

Рассмотрим пример решения матричной игры в чистых стратегиях, в условиях реальной экономики, в ситуации борьбы двух предприятий за рынок продукции региона.

Задача.

Два предприятия производят продукцию и поставляют ее на рынок региона. Они являются единственными поставщиками продукции в регион, поэтому полностью определяют рынок данной продукции в регионе.

Каждое из предприятий имеет возможность производить продукцию с применением одной из трех различных технологий. В зависимости от экологичности технологического процесса и качества продукции, произведенной по каждой технологии, предприятия могут установить цену единицы продукции на уровне 10, 6 и 2 денежных единиц соответственно. При этом предприятия имеют различные затраты на производство единицы продукции.

Таблица — Затраты на единицу продукции, произведенной на предприятиях региона (д.е.).

В результате маркетингового исследования рынка продукции региона была определена функция спроса на продукцию:

Y = 6 - 0.5⋅X,

где Y — количество продукции, которое приобретет население региона (тыс. ед.), а X — средняя цена продукции предприятий, д.е.

Данные о спросе на продукцию в зависимости от цен реализации приведены в таблице:

Таблица — Спрос на продукцию в регионе, тыс. ед.

Значения Долей продукции предприятия 1, приобретенной населением, зависят от соотношения цен на продукцию предприятия 1 и предприятия В результате маркетингового исследования эта зависимость установлена и значения вычислены:

Таблица — Доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением в зависимости от соотношения цен на продукцию

По условию задачи на рынке региона действует только 2 предприятия. Поэтому долю продукции второго предприятия, приобретенной населением, в зависимости от соотношения цен на продукцию можно определить как единица минус доля первого предприятия.

Стратегиями предприятий в данной задаче являются их решения относительно технологий производства продукции. Эти решения определяют себестоимость и цену реализации единицы продукции. В задаче необходимо определить:

1. Существует ли в данной задаче ситуация равновесия при выборе технологий производства продукции обоими предприятиями?
2. Существуют ли технологии, которые предприятия заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности?
3. Сколько продукции будет реализовано в ситуации равновесия? Какое предприятие окажется в выигрышном положении?

Решение задачи

1. Определим экономический смысл коэффициентов выигрышей в платежной матрице задачи. Каждое предприятие стремится к максимизации прибыли от производства продукции. Но кроме того, в данном случае предприятия ведут борьбу за рынок продукции в регионе. При этом выигрыш одного предприятия означает проигрыш другого. Такая задача может быть сведена к матричной игре с нулевой суммой. При этом коэффициентами выигрышей будут значения разницы прибыли предприятия 1 и предприятия 2 от производства продукции. В случае, если эта разница положительна, выигрывает предприятие 1, а в случае, если она отрицательна — предприятие 2.
2. Рассчитаем коэффициенты выигрышей платежной матрицы. Для этого необходимо определить значения прибыли предприятия 1 и предприятия 2 от производства продукции.

Прибыль предприятия в данной задаче зависит:

• от цены и себестоимости продукции;
• от количества продукции, приобретаемой населением региона;
• от доли продукции, приобретенной населением у предприятия.

Таким образом, значения разницы прибыли предприятий, соответствующие коэффициентам платежной матрицы, необходимо определить по формуле:

D = p⋅(S⋅R1 - S⋅C1) - (1 - p)⋅(S⋅R2 - S⋅C2),

где D — значение разницы прибыли от производства продукции предприятия 1 и предприятия

p — доля продукции предприятия 1, приобретаемой населением региона;

S — количество продукции, приобретаемой населением региона;

R1 и R2 — цены реализации единицы продукции предприятиями 1 и

C1 и C2 — полная себестоимость единицы продукции, произведенной на предприятиях 1 и

Вычислим один из коэффициентов платежной матрицы.

Пусть, например, предприятие 1 принимает решение о производстве продукции в соответствии с технологией III, а предприятие 2 — в соответствии с технологией II. Тогда цена реализации единицы. продукции для предприятия 1 составит 2 д.е. при себестоимости единицы. продукции 1,5 д.е. Для предприятия 2 цена реализации единицы. продукции составит 6 д.е. при себестоимости 4 д.е..

Количество продукции, которое население региона приобретет при средней цене 4 д.е., равно 4 тыс. ед. (таблица 1). Доля продукции, которую население приобретет у предприятия 1, составит 0,85, а у предприятия 2 — 0,15 (табл. 1.3). Вычислим коэффициент платежной матрицы a 32 по формуле:

a 32 = 0,85⋅(4⋅2 - 4×1,5) - 0,15⋅(4⋅6 - 4⋅4) = 0,5 тыс. ед.

где i=3 — номер технологии первого предприятия, а j=2 — номер технологии второго предприятия.

Аналогично вычислим все коэффициенты платежной матрицы. В платежной матрице стратегии A 1 — A 3 – представляют собой решения о технологиях производства продукции предприятием 1, стратегии B 1 – B 3 — решения о технологиях производства продукции предприятием 2, коэффициенты выигрышей — разницу прибыли предприятия 1 и предприятия

Таблица — Платежная матрица в игре «Борьба двух предприятий».

В данной матрице нет ни доминируемых, ни дублирующих стратегий. Это значит, что для обоих предприятий нет заведомо невыгодных технологий производства продукции. Определим минимальные элементы строк матрицы. Для предприятия 1 каждый из этих элементов имеет значение минимально гарантированного выигрыша при выборе соответствующей стратегии. Минимальные элементы матрицы по строкам имеют значения: 0,17, -1,5, 0,4.

Определим максимальные элементы столбцов матрицы. Для предприятия 2 каждый из этих элементов также имеет значение минимально гарантированного выигрыша при выборе соответствующей стратегии. Максимальные элементы матрицы по столбцам имеют значения: 3, 0,62, 0,4.

Нижняя цена игры в матрице равна 0,4. Верхняя цена игры также равна 0,4. Таким образом, нижняя и верхняя цена игры в матрице совпадают. Это значит, что имеется технология производства продукции, которая является оптимальной для обоих предприятий в условиях данной задачи. Эта технология III, которая соответствует стратегиям A 3 предприятия 1 и B 3 предприятия Стратегии A 3 и B 3 — чистые оптимальные стратегии в данной задаче.

Значение разницы прибыли предприятия 1 и предприятия 2 при выборе чистой оптимальной стратегии положительно. Это означает, что предприятие 1 выиграет в данной игре. Выигрыш предприятия 1 составит 0,4 тыс. д.е. При этом на рынке будет реализовано 5 тыс. ед. продукции (реализация равна спросу на продукцию, таблица 1).. Оба предприятия установят цену за единицу продукции в 2 д.е. При этом для первого предприятия полная себестоимость единицы продукции составит 1,5 д.е., а для второго — 1 д.е. Предприятие 1 окажется в выигрыше лишь за счет высокой доли продукции, которую приобретет у него население.

Критерии принятия решения

ЛПР определяет наиболее выгодную стратегию в зависимости от целевой установки, которую он реализует в процессе решения задачи. Результат решения задачи ЛПР определяет по одному из критериев принятия решения . Для того, чтобы прийти к однозначному и по возможности наиболее выгодному варианту решению, необходимо ввести оценочную (целевую) функцию. При этом каждой стратегии ЛПР (A i) приписывается некоторый результат W i , характеризующий все последствия этого решения. Из массива результатов принятия решений ЛПР выбирает элемент W, который наилучшим образом отражает мотивацию его поведения.

В зависимости от условий внешней среды и степени информативности ЛПР производится следующая классификация задач принятия решений:

• в условиях риска;
• в условиях неопределенности;
• в условиях конфликта или противодействия (активного противника).

Принятие решений в условиях риска.

1. Критерий ожидаемого значения.

Использование критерия ожидаемого значения обусловлено стремлением максимизировать ожидаемую прибыль (или минимизировать ожидаемые затраты). Использование ожидаемых величин предполагает возможность многократного решения одной и той же задачи, пока не будут получены достаточно точные расчетные формулы. Математически это выглядит так: пусть Х — случайная величина с математическим ожиданием MX и дисперсией DX. Если x 1 , x 2 , ..., x n — значения случайной величины (с.в.) X, то среднее арифметическое их (выборочное среднее) значений x^=(x 1 +x 2 +...+x n)/n имеет дисперсию DX/n. Таким образом, когда n→∞ DX/n→∞ и X→MX.

Другими словами при достаточно большом объеме выборки разница между средним арифметическим и математическим ожиданием стремится к нулю (так называемая предельная теорема теории вероятности). Следовательно, использование критерия ожидаемое значение справедливо только в случае, когда одно и тоже решение приходится применять достаточно большое число раз. Верно и обратное: ориентация на ожидания будет приводить к неверным результатам, для решений, которые приходится принимать небольшое число раз.

Пример 1 . Требуется принять решение о том, когда необходимо проводить профилактический ремонт ПЭВМ, чтобы минимизировать потери из-за неисправности. В случае если ремонт будет производится слишком часто, затраты на обслуживание будут большими при малых потерях из-за случайных поломок.

Так как невозможно предсказать заранее, когда возникнет неисправность, необходимо найти вероятность того, что ПЭВМ выйдет из строя в период времени t. В этом и состоит элемент »риска».

Математически это выглядит так: ПЭВМ ремонтируется индивидуально, если она остановилась из-за поломки. Через T интервалов времени выполняется профилактический ремонт всех n ПЭВМ. Необходимо определить оптимальное значение m, при котором минимизируются общие затраты на ремонт неисправных ПЭВМ и проведение профилактического ремонта в расчете на один интервал времени.

Пусть р t — вероятность выхода из строя одной ПЭВМ в момент t, а n t — случайная величина, равная числу всех вышедших из строя ПЭВМ в тот же момент. Пусть далее С 1 – затраты на ремонт неисправной ПЭВМ и С 2 — затраты на профилактический ремонт одной машины.

Применение критерия ожидаемого значения в данном случае оправдано, если ПЭВМ работают в течение большого периода времени. При этом ожидаемые затраты на один интервал составят

ОЗ = (C 1 ∑M(n t)+C 1 n)/T,

где M(n t) — математическое ожидание числа вышедших из строя ПЭВМ в момент t. Так как n t имеет биномиальное распределение с параметрами (n, p t), то M(n t) = np t . Таким образом

ОЗ = n(C 1 ∑p t +C 2)/T.

Необходимые условия оптимальности T * имеют вид:

ОЗ (T * -1) ≥ ОЗ (T *),

ОЗ (T * +1) ≥ ОЗ (T *).

Следовательно, начиная с малого значения T, вычисляют ОЗ(

T), пока не будут удовлетворены необходимые условия оптимальности.

Пусть С 1 = 100; С 2 = 10; n = 50. Значенияp t имеют вид:

T * →3, ОЗ(Т *)→366.7

Следовательно профилактический ремонт необходимо делать через T * =3 интервала времени.

Критерий «ожидаемое значение — дисперсия».

Критерий ожидаемого значения можно модифицировать так, что его можно будет применить и для редко повторяющихся ситуаций.

Если х — с. в. с дисперсией DX, то среднее арифметическое x^ имеет дисперсию DX/n, где n — число слагаемых в x^. Следовательно, если DX уменьшается, и вероятность того, что x^ близко к MX, увеличивается. Следовательно, целесообразно ввести критерий, в котором максимизация ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией ее дисперсии.

Пример 2 . Применим критерий «ожидаемое значение — дисперсия» для примера 1. Для этого необходимо найти дисперсию затрат за один интервал времени, т.е. дисперсию

з Т =(C 1 ∑n t +C 2 n)/T

Т.к. n t , t = {1, T-1} — с.в., то з Т также с.в. С.в. n t имеет биномиальное распределение с M(n t) = np t и D(n t) = np t (1–p t). Следовательно,

D(з Т) = D((C 1 ∑n t +C 2 n)/T) = (C 1 /T) 2 D(∑n t) =

= (C 1 /T) 2 ∑Dn t = (C 1 /T) 2 ∑np t (1-p t) = (C 1 /T) 2 {∑p t - ∑p t 2 },

где С 2 n = const.

Из примера 1 следует, что

М(з Т) = М(з(Т)).

Следовательно искомым критерием будет минимум выражения

М(з(Т)) + к D(з Т).

Замечание . Константу «к» можно рассматривать как уровень не склонности к риску , т.к. «к» определяет «степень возможности» дисперсии Д(з Т) по отношению к математическому ожиданию. Например, если предприниматель, особенно остро реагирует на большие отрицательные отклонения прибыли вниз от М(з(Т)), то он может выбрать «к» много больше 1. Это придает больший вес дисперсии и приводит к решению, уменьшающему вероятность больших потерь прибыли.

При к=1 получаем задачу

M(з(T))+D(з(T)) = n { (C 1 /T+C 1 2 /T 2)∑p t - C 1 2 /T 2 ∑p t 2 + C 2 /T }

По данным из примера 1 можно составить следующую таблицу

Из таблицы видно, что профилактический ремонт необходимо делать в течение каждого интервала Т * =1.

3. Критерий предельного уровня

Критерий предельного уровня не дает оптимального решения, максимизирующего, например, прибыль или минимизирующего затраты. Скорее он соответствует определению приемлемого способа действий.

Пример 3 . Предположим, что величина спроса x в единицу времени (интенсивность спроса) на некоторый товар задается непрерывной функцией распределения f(x). Если запасы в начальный момент невелики, в дальнейшем возможен дефицит товара. В противном случае к концу рассматриваемого периода запасы нереализованного товара могут оказаться очень большими. В обоих случаях возможны потери.

Т.к. определить потери от дефицита очень трудно, ЛПР может установить необходимый уровень запасов таким образом, чтобы величина ожидаемого дефицита не превышала A 1 единиц, а величина ожидаемых излишков не превышала A 2 единиц. Иными словами, пусть I — искомый уровень запасов. Тогда

ожидаемый дефицит = ∫(x-I)f(x)dx ≤ A 1 ,

ожидаемые излишки = ∫(I-x)f(x)dx ≤ A 2 .

При произвольном выборе A 1 и A 2 указанные условия могут оказаться противоречивыми. В этом случае необходимо ослабить одно из ограничений, чтобы обеспечить допустимость.

Пусть, например,

f(x) = 20/x 2 , 10≤x≤20,

f(x) = 0, x≤10 и x≥20.

∫(x-I)f(x)dx = ∫(x-I)(20/x 2)dx = 20(ln(20/I) + I/20 – 1)

∫(I-x)f(x)dx = ∫(I-x)(20/x 2)dx = 20(ln(10/I) + I/10 – 1)

Применение критерия предельного уровня приводит к неравенствам

ln(I) - I/20 ≥ ln(20) – A 1 /20 – 1 = 1,996 - A 1 /20

ln(I) - I/10 ≥ ln(10) – A 2 /20 – 1 = 1,302 - A 2 /20

Предельные значения A 1 и A 2 должны быть выбраны так, что бы оба неравенства выполнялись хотя бы для одного значения I.

Например, если A 1 = 2 и A 2 = 4, неравенства принимают вид

ln(I) - I/20 ≥ 1,896

ln(I) - I/10 ≥ 1,102

Значение I должно находиться между 10 и 20, т.к. именно в этих пределах изменяется спрос. Из таблицы видно, что оба условия выполняются для I, из интервала (13,17)

Любое из этих значений удовлетворяет условиям задачи.

Принятие решений в условиях неопределенности

Будем предполагать, что лицу, принимающему решение не противостоит разумный противник.

Данные, необходимо для принятия решения в условии неопределенности, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям, а столбцы — возможным состояниям системы.

Пусть, например, из некоторого материала требуется изготовить изделие, долговечность которого при допустимых затратах невозможно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие размеры должно иметь изделие из данного материала.

Варианты решения таковы:

Е 1 — выбор размеров из соображений максимальной долговечности;

Е m — выбор размеров из соображений минимальной долговечности;

E i — промежуточные решения.

Условия требующие рассмотрения таковы:

F 1 — условия, обеспечивающие максимальной долговечность;

F n — условия, обеспечивающие min долговечность;

F i — промежуточные условия.

Под результатом решения e ij = е(E i ; F j) здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту E i и условиям F j и характеризующие прибыль, полезность или надежность. Обычно мы будем называть такой результат полезностью решения .

Тогда семейство (матрица) решений ||e ij || имеет вид:

Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решению необходимо ввести оценочную (целевую) функцию. При этом матрица решений ||e ij || сводится к одному столбцу. Каждому варианту E i приписывается, т.о., некоторый результат e ir , характеризующий, в целом, все последствия этого решения. Такой результат мы будем в дальнейшем обозначать тем же символом e ir .

Классические критерии принятия решений

1. Минимаксный критерий.

Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием (ММ-критерием) можно интерпретировать следующим образом:

матрица решений дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов e ir каждой строки. Необходимо выбрать те варианты в строках которых стоят наибольшее значение e ir этого столбца.

Выбранные т.о. варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Это свойство позволяет считать ММ-критерий одним из фундаментальных.

Применение ММ-критерия бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение следующая:

1. О возможности появления внешних состояний F j ничего не известно;
2. Приходится считаться с появлением различных внешних состояний F j ;
3. Решение реализуется только один раз;
4. Необходимо исключить какой бы то ни было риск.

2. Критерий Байеса—Лапласа.

Обозначим через q i — вероятность появления внешнего состояния F j .

Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом:

матрица решений дополняется еще одним столбцом содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты, в строках которых стоит наибольшее значение e ir этого столбца.

При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

1. Вероятности появления состояния F j известны и не зависят от времени.
2. Решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз.
3. Для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключен.

Т.о. критерий Байеса-Лапласа (B-L-критерий) более оптимистичен, чем минимаксный критерий, однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию.

3. Критерий Сэвиджа.

a ij:= max i (e ij) - e ij

e ir:= max i (a ij) = max j (max i (e ij) - e ij)

Величину a ij можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии F j вместо варианта E i выбирать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Величину a ij можно интерпретировать и как потери (штрафы) возникающие в состоянии F j при замене оптимального для него варианта на вариант E i . В последнем случае e ir представляет собой максимально возможные (по всем внешним состояниям F j , j = {1,n}) потери в случае выбора варианта E i .

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора теперь трактуется так:

1. Каждый элемент матрицы решений ||e ij || вычитается из наибольшего результата max(e ij) соответствующего столбца.
2. Разности a ij образуют матрицу остатков ||e ij ||. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей e ir . Выбирают те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.

Требования, предъявляемые к ситуации, в которой принимается решение, совпадают с требованием к ММ-критерию.

4. Пример и выводы.

Из требований, предъявляемых к рассмотренным критериям становится ясно, что в следствии их жестких исходных позиций они применимы только для идеализированных практических решений. В случае, когда возможна слишком сильная идеализация, можно применять одновременно поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов ЛПР волевым методом выбирает окончательное решение. Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.

Пример . При работе ЭВМ необходимо периодически приостанавливать обработку информации и проверять ЭВМ на наличие в ней вирусов. Приостановка в обработке информации приводит к определенным экономическим издержкам. В случае же если вирус вовремя обнаружен не будет, возможна потеря и некоторой части информации, что приведет и еще к большим убыткам.

Варианты решения таковы:

Е 1 — полная проверка;

Е 2 — минимальная проверка;

Е 3 — отказ от проверки.

ЭВМ может находиться в следующих состояниях:

F 1 — вирус отсутствует;

F 2 — вирус есть, но он не успел повредить информацию;

F 3 — есть файлы, нуждающиеся в восстановлении.

Результаты, включающие затраты на поиск вируса и его ликвидацию, а также затраты, связанные с восстановлением информации имеют вид:

Согласно ММ-критерию следует проводить полную проверку. Критерий Байеса-Лапласа, в предположении, что все состояния машины равновероятны.

Пример специально подобран так, что каждый критерий предлагает новое решение. Неопределенность состояния, в котором проверка застает ЭВМ, превращается в неясность, какому критерию следовать.

Поскольку различные критерии связаны с различными условиями, в которых принимается решение, лучшее всего для сравнительной оценки рекомендации тех или иных критериев получить дополнительную информацию о самой ситуации. В частности, если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковыми параметрами, то рекомендуется применять критерий Байеса-Лапласа. Если же число машин не велико, лучше пользоваться критериями минимакса или Севиджа.

Производные критерии.

1. Критерий Гурвица.

Стараясь занять наиболее уравновешенную позицию, Гурвиц предположил оценочную функцию, которая находится где-то между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма:

max i (e ir) = { C⋅min j (e ij) + (1-C)⋅max j (e ij) },

где С — весовой множитель.

Правило выбора согласно критерию Гурвица, формируется следующим образом:

матрица решений ||e ij || дополняется столбцом, содержащим среднее взвешенное наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбираются только те варианты, в строках которых стоят наибольшие элементыe e ir этого столбца.

При С=1 критерий Гурвица превращается в ММ-критерий. При С = 0 он превращается в критерий «азартного игрока»

max i (e ir) = max i (max j (e ij)),

т.е. мы становимся на точку зрения азартного игрока, делающего ставку на то, что «выпадет» наивыгоднейший случай.

В технических приложениях сложно выбрать весовой множитель С, т.к. трудно найти количественную характеристику для тех долей оптимизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии решения. Поэтому чаще всего С:=1/2.

Критерий Гурвица применяется в случае, когда:

1. о вероятностях появления состояния F j ничего не известно;
2. с появлением состояния F j необходимо считаться;
3. реализуется только малое количество решений;
4. допускается некоторый риск.

2. Критерий Ходжа–Лемана.

Этот критерий опирается одновременно на ММ-критерий и критерий Баеса-Лапласа. С помощью параметра n выражается степень доверия к используемому распределений вероятностей. Если доверие велико, то доминирует критерий Баеса-Лапласа, в противном случае — ММ-критерий, т.е. мы ищем

max i (e ir) = max i {v⋅∑e ij ⋅q i + (1-v) min j (e ir)}, 0 ≤ n ≤ 1.

Правило выбора, соответствующее критерию Ходжа-Лемана формируется следующим образом:

матрица решений ||e ij || дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с весом v≡const) математическое ожиданиями и наименьшего результата каждой строки (*). Отбираются те варианты решений в строках которого стоит набольшее значение этого столбца.

При v = 1 критерий Ходжа-Лемана переходит в критерий Байеса-Лапласа, а при v = 0 становится минимаксным.

Выбор v субъективен т. к. Степень достоверности какой-либо функции распределения — дело темное.

Для применения критерия Ходжа-Лемана желательно, чтобы ситуация в которой принимается решение, удовлетворяла свойствам:

1. вероятности появления состояния F j неизвестны, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;
2. принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций;
3. при малых числах реализации допускается некоторый риск.

3. Критерий Гермейера.

Этот критерий ориентирован на величину потерь, т.е. на отрицательные значения всех e ij . При этом

max i (e ir) = max i (min j (e ij)q j) .

Т.к. в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами, условиеe e ij <0 обычно выполняется. В случае же, когда среди величин e ij встречаются и положительные значения, можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования e ij -a при подходящем образом подобранном a>0. При этом оптимальный вариант решения зависит от а.

Правило выбора согласно критерию Гермейера формулируется следующим образом:

матрица решений ||e ij || дополняется еще одним столбцом содержащим в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния F j . Выбираются те варианты в строках которых находится наибольшее значениеe e ij этого столбца.

В каком-то смысле критерий Гермейера обобщает ММ-критерий: в случае равномерного распределения q j = 1/n, j={1,n}, они становятся идентичными.

Условия его применимости таковы:

1. с появлением тех или иных состояний, отдельно или в комплексе, необходимо считаться;
2. допускается некоторый риск;
3. решение может реализоваться один или несколько раз.

Если функция распределения известна не очень надежно, а числа реализации малы, то, следуя критерию Гермейера, получают, вообще говоря, неоправданно большой риск.

4. Объединенный критерий Байеса-Лапласа и минимакса.

Стремление получить критерии, которые бы лучше приспосабливались к имеющейся ситуации, чем все до сих пор рассмотренные, привело к построению так называемых составных критериев. В качестве примера рассмотрим критерий, полученный путем объединения критериев Байеса-Лапласа и минимакса (BL(MM)-критерий).

Правило выбора для этого критерия формулируется следующим образом:

матрица решений ||e ij || дополняется еще тремя столбцами. В первом из них записываются математические ожидания каждой из строк, во втором — разность между опорным значением

e i 0 j 0 = max i (max j (e ij))

и наименьшим значением

соответствующей строки. В третьем столбце помещаются разности между наибольшим значением

каждой строки и наибольшим значением max j (e i 0 j) той строки, в которой находится значение e i 0 j 0 . Выбираются те варианты, строки которых (при соблюдении приводимых ниже соотношений между элементами второго и третьего столбцов) дают наибольшее математическое ожидание. А именно, соответствующее значение

e i 0 j 0 - max j (e ij)

из второго столбца должно быть или равно некоторому заранее заданному уровню риска E доп. Значение же из третьего столбца должно быть больше значения из второго столбца.

Применение этого критерия обусловлено следующими признаками ситуации, в которой принимается решение:

1. вероятности появления состояний F j неизвестны, однако имеется некоторая априорная информация в пользу какого-либо определенного распределения;
2. необходимо считаться с появлением различных состояний как по отдельности, так и в комплексе;
3. допускается ограниченный риск;
4. принятое решение реализуется один раз или многократно.

BL(MM)-критерий хорошо приспособлен для построения практических решений прежде всего в области техники и может считаться достаточно надежным. Однако заданные границы риска E доп и, соответственно, оценок риска E i не учитывает ни число применения решения, ни иную подобную информацию. Влияние субъективного фактора хотя и ослаблено, но не исключено полностью.

max j (e ij)-max j (e i 0 j)≥E i

существенно в тех случаях, когда решение реализуется только один или малое число раз. В этих условиях недостаточно ориентироваться на риск, связанный только с невыгодными внешними состояниями и средними значениями. Из-за этого, правда, можно понести некоторые потери в удачных внешних состояниях. При большом числе реализаций это условие перестает быть таким уж важным. Оно даже допускает разумные альтернативы. При этом не известно, однако, четких количественных указаний, в каких случаях это условие следовало бы опускать.

5. Критерий произведений.

max i (e ir):= max i (∏e ij)

Правило выбора в этом случае формулируется так:

Матрица решений ||e ij || дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца.

Применение этого критерия обусловлено следующими обстоятельствами:

1. вероятности появления состояния F j неизвестны;
2. с появлением каждого из состояний F j по отдельности необходимо считаться;
3. критерий применим и при малом числе реализаций решения;
4. некоторый риск допускается.

Критерий произведений приспособлен в первую очередь для случаев, когда все e ij положительны. Если условие положительности нарушается, то следует выполнять некоторый сдвиг e ij +а с некоторой константой а>|min ij (e ij)|. Результат при этом будет, естественно зависеть от а. На практике чаще всего

а:= |min ij (e ij)|+1.

Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то критерий произведений не применим.

Пример.

Рассмотрим тот же пример, что и ранее (см. выше).

Построение оптимального решения для матрицы решений о проверках по критерию Гурвица имеет вид (при С=0, в 10 3):

В данном примере у решения имеется поворотная точка относительно весового множителя С: до С=0,57 в качестве оптимального выбирается Е 3 , а при больших значениях — Е 1 .

Применение критерия Ходжа-Лемана (q=0,33, v=0, в 10 3):

Критерий Ходжа-Лемана рекомендует вариант Е 1 (полная проверка) — так же как и ММ-критерий. Смена рекомендуемого варианта происходит только при v=0,94. Поэтому равномерное распределение состояний рассматриваемой машины должно распознаваться с очень высокой вероятностью, чтобы его можно было выбрать по большему математическому ожиданию. При этом число реализаций решения всегда остается произвольным.

Критерий Гермейера при q j = 0.33 дает следующий результат (в 10 3):

В качестве оптимального выбирается вариант Е 1 . Сравнение вариантов с помощью величинe e ir показывает, что способ действия критерия Гермейера является даже более гибким, чем у ММ-критерия.

В таблице, приведенной ниже, решение выбирается в соответствии с BL(MM)-критерием при q 1 =q 2 =q 3 =1/2 (данные в 10 3).

Вариант Е 3 (отказ от проверки) принимается этим критерием только тогда, когда риск приближается к E возм = 15⋅10 3 . В противном случае оптимальным оказывается Е 1 . Во многих технических и хозяйственных задачах допустимый риск бывает намного ниже, составляя обычно только незначительный процент от общих затрат. В подобных случаях бывает особенно ценно, если неточное значение распределения вероятностей сказывается не очень сильно. Если при этом оказывается невозможным установить допустимый риск E доп заранее, не зависимо от принимаемого решения, то помочь может вычисление ожидаемого риска E возм. Тогда становится возможным подумать, оправдан ли подобный риск. Такое исследование обычно дается легче.

Результаты применения критерия произведения при а = 41⋅10 3 и а = 200⋅10 3 имеют вид:

Условие e ij > 0 для данной матрицы не выполнимо. Поэтому к элементам матрицы добавляется (по внешнему произволу) сначала а = 41⋅10 3 , а затем а = 200⋅10 3 .

Для а = 41⋅10 3 оптимальным оказывается вариант Е 1 , а для а = 200⋅10 3 — вариант Е 3 , так что зависимость оптимального варианта от а очевидна.

Из популярного американского блога Cracked.

Теория игр занимается тем, что изучает способы сделать лучший ход и в результате получить как можно больший кусок выигрышного пирога, оттяпав часть его у других игроков. Она учит подвергать анализу множество факторов и делать логически взвешенные выводы. Я считаю, её нужно изучать после цифр и до алфавита. Просто потому что слишком многие люди принимают важные решения, основываясь на интуиции, тайных пророчествах, расположении звёзд и других подобных. Я тщательно изучил теорию игр, и теперь хочу рассказать вам о её основах. Возможно, это добавит здравого смысла в вашу жизнь.

1. Дилемма заключенного

Берто и Роберт были арестованы за ограбление банка, не сумев правильно использовать для побега угнанный автомобиль. Полиция не может доказать, что именно они ограбили банк, но поймала их с поличным в украденном автомобиле. Их развели по разным комнатам и каждому предложили сделку: сдать сообщника и отправить его за решетку на 10 лет, а самому выйти на свободу. Но если они оба сдадут друг друга, то каждый получит по 7 лет. Если же никто ничего не скажет, то оба сядут на 2 года только за угон автомобиля.

Каждый заключенный - игрок, и выгода каждого может быть представлена в виде «формулы» (что получат они оба, что получит другой). Например, если я ударю тебя, моя выигрышная схема будет выглядеть так (я получаю грубую победу, ты страдаешь от сильной боли). Поскольку у каждого заключенного есть два варианта, мы можем представить результаты в таблице.

Практическое применение: Выявление социопатов

Здесь мы видим основное применение теории игр: выявление социопатов, думающих лишь о себе. Настоящая теория игр - это мощный аналитический инструмент, а дилетантство часто служит красным флагом, с головой выдающим человека, лишенного понятия чести. Люди, делающие расчеты интуитивно, считают, что лучше поступить некрасиво, потому что это приведет к более короткому тюремному сроку независимо от того, как поступит другой игрок. Технически это правильно, но только если вы недальновидный человек, ставящий цифры выше человеческих жизней. Именно поэтому теория игра так популярна в сфере финансов.

Настоящая проблема дилеммы заключенного в том, что она игнорирует данные. Например, в ней не рассматривается возможность вашей встречи с друзьями, родственниками, или даже кредиторами человека, которого вы посадили в тюрьму на 10 лет.

Хуже всего то, что все участники дилеммы заключенного действуют так, как будто никогда не слышали ней.

А лучший ход - хранить молчание, и через два года вместе с хорошим другом пользоваться общими деньгами.

2. Доминирующая стратегия

Это ситуация, при которой ваши действия дают наибольший выигрыш, независимо от действий оппонента. Что бы ни происходило - вы всё сделали правильно. Вот почему многие люди при «дилемме заключенного» считают: предательство приводит к «наилучшему» результату независимо от того, что делает другой человек, а игнорирование действительности, свойственное этому методу, заставляет всё выглядеть супер-просто.

Большинство игр, в которые мы играем, не имеет строго доминирующих стратегий, потому что иначе они были бы просто ужасны. Представьте, что вы всегда делали бы одно и то же. В игре «камень-ножницы-бумага» нет никакой доминирующей стратегии. Но если бы вы играли с человеком, у которого на руках надеты прихватки, и он мог показать только камень или бумагу, у вас была бы доминирующая стратегия: бумага. Ваша бумага обернет его камень или приведет к ничьей, и вы не сможете проиграть, потому что соперник не может показать ножницы. Теперь, когда у вас есть доминирующая стратегия, нужно быть дураком, чтобы попробовать что-нибудь другое.

3. Битва полов

Игры интереснее, когда у них нет строго доминирующей стратегии. Например, битва полов. Анджали и Борислав идут на свидание, но не могут выбрать между балетом и боксом. Анджали любит бокс, потому что ей нравится, когда льется кровь на радость орущей толпе зрителей, считающих себя цивилизованными только потому, что они заплатили за чьи-то разбитые головы.

Борислав хочет смотреть балет, потому что он понимает, что балерины проходят через огромное количество травм и сложнейших тренировок, зная, что одна травма может положить конец всему. Артисты балета - величайшие спортсмены на Земле. Балерина может ударить вас ногой в голову, но никогда этого не сделает, потому что ее нога стоит гораздо дороже вашего лица.

Каждый из них хочет пойти на своё любимое мероприятие, но они не хотят наслаждаться им в одиночестве, таким образом, получаем схему их выигрыша: наибольшее значение - делать то, что им нравится, наименьшее значение - просто быть с другим человеком, и ноль - быть в одиночестве.

Некоторые люди предлагают упрямо балансировать на грани войны: если вы, несмотря ни на что, делаете то, что хотите, другой человек должен подстроиться под ваш выбор или потерять все. Как я уже говорил, упрощённая теория игр отлично выявляет глупцов.

Практическое применение: Избегайте острых углов

Конечно, и у этой стратегии есть свои значительные недостатки. Прежде всего, если вы относитесь к вашим свиданиям как к «битве полов», она не сработает. Расстаньтесь, чтобы каждый из вас мог найти человека, который ему понравится. А вторая проблема заключается в том, что в этой ситуации участники настолько не уверены в себе, что не могут этого сделать.

По-настоящему выигрышная стратегия для каждого - делать то, что они хотят, а после, или на следующий день, когда они будут свободны, пойти вместе в кафе. Или же чередовать бокс и балет, пока в мире развлечений не произойдет революция и не будет изобретен боксерский балет.

4. Равновесие Нэша

Равновесие Нэша - это набор ходов, где никто не хочет сделать что-то по-другому после свершившегося факта. И если мы сможем заставить это работать, теория игр заменит всю философскую, религиозную, и финансовую систему на планете, потому что «желание не прогореть» стало для человечества более мощной движущей силой, чем огонь.

Давайте быстро поделим 100$. Вы и я решаем, сколько из сотни мы требуем и одновременно озвучиваем суммы. Если наша общая сумма меньше ста, каждый получает то, что хотел. Если общее количество больше ста, тот, кто попросил наименьшее количество, получает желаемую сумму, а более жадный человек получает то, что осталось. Если мы просим одинаковую сумму, каждый получает 50 $. Сколько вы попросите? Как вы разделите деньги? Существует единственный выигрышный ход.

Требование 51 $ даст вам максимальную сумму независимо от того, что выберет ваш противник. Если он попросит больше, вы получите 51 $. Если он попросит 50 $ или 51 $, вы получите 50 $. И если он попросит меньше 50 $, вы получите 51 $. В любом случае нет никакого другого варианта, который принесет вам больше денег, чем этот. Равновесие Нэша - ситуация, в которой мы оба выбираем 51 $.

Практическое применение: сначала думайте

В этом вся суть теории игр. Не обязательно выиграть и тем более навредить другим игрокам, но обязательно сделать лучший для себя ход, независимо от того, что подготовят для вас окружающие. И даже лучше, если этот ход будет выгоден и для других игроков. Это своего рода математика, которая могла бы изменить общество.

Интересный вариант этой идеи - распитие спиртного, которое можно назвать Равновесием Нэша с временной зависимостью. Когда вы достаточно много пьете, то не заботитесь о поступках других людей независимо от того, что они делают, но на следующий день вы очень жалеете, что не поступили иначе.

5. Игра в орлянку

В орлянке участвуют Игрок 1 и Игрок 2. Каждый игрок одновременно выбирает орла или решку. Если они угадывают, Игрок 1 получает пенс Игрока 2. Если же нет - Игрок 2 получает монету Игрока 1.

Выигрышная матрица проста…

…оптимальная стратегия: играйте полностью наугад. Это сложнее, чем вы думаете, потому что выбор должен быть абсолютно случайным. Если у вас есть предпочтения орла или решки, противник может использовать его, чтобы забрать ваши деньги.

Конечно, настоящая проблема здесь заключается в том, что было бы намного лучше, если бы они просто бросали один пенс друг в друга. В результате их прибыль была бы такой же, а полученная травма могла бы помочь этим несчастным людям почувствовать что-то, кроме ужасной скуки. Ведь это худшая игра из существующих когда-либо. И это идеальная модель для серии пенальти.

Практическое применение: Пенальти

В футболе, хоккее и многих других играх, дополнительное время - это серия пенальти. И они были бы интереснее, если бы строились на том, сколько раз игроки в полной форме смогут сделать «колесо», потому что это, по крайней мере, было бы показателем их физических способностей и на это было бы забавно посмотреть. Вратари не могут чётко определить движение мяча или шайбы в самом начале их движения, потому что, к огромному сожалению, в наших спортивных состязаниях роботы все еще не участвуют. Вратарь должен выбрать левое или правое направление и надеяться, что его выбор совпадет с выбором противника, бьющего по воротам. В этом есть что-то общее с игрой в монетку.

Однако обратите внимание, что это не идеальный пример сходства с игрой в орла и решку, потому что даже при правильном выборе направления вратарь может не поймать мяч, а нападающий может не попасть по воротам.

Итак, каково же наше заключение согласно теории игр? Игры с мячом должны заканчиваться способом «мультимяча», где каждую минуту игрокам один на один выводится дополнительный мяч/шайба, до получения одной из сторон определенного результата, который был показателем настоящего мастерства игроков, а не эффектным случайным совпадением.

В конце концов, теория игр должна использоваться для того, чтобы сделать игру умнее. А значит лучше.

Дарья Золотых 09.02.2015

Понравился пост?
Поддержи Фактрум, нажми: