На рисунке показан путь шахматной фигуры коня. Как ходит конь в шахматной партии

Урок седьмой. Скачем на шахматном коне.

Сегодня у нас самая любимая фигура всех детей – шахматный конь . Многих родители уже научили ходить конём. Наша задача помочь тебе научиться ещё лучше прыгать этой фигурой.
Известно, что конь ходит буквой «Г». Но ход по этой букве иногда вырастает до невероятных размеров и конь может оказаться совсем не там, где нужно.

Поэтому учиться ходам коня будем так: посчитаем от белого коня раз – два – в сторону . Сначала два раза вверх и налево – конь оказался на цифре 1 (d7) .
Раз – два – в сторону (теперь направо). Конь приземлился на цифре 2 (f7) .

Или так: ход шахматной ладьи + ход шахматного слона . Движемся вниз на одну клетку ходом ладьи и на одну клетку вниз ходом слона. Наш конь окажется на цифре 3 (поле d3) или цифре 4 (поле f3) .

Поиграем в Цветочки. Ты видел когда-нибудь стреноженного коня? Это когда коню спутывают ноги, чтобы он не мог далеко ускакать.
Так вот. Нашему коню спутали ноги на поле е5. А вокруг него большое поле с цветами. И наш конь выбирает вкусные цветы, которыми он полакомится, когда ему развяжут ноги.
Наша задача: расставить цветочки-пешки вокруг коня. Первую пешку ставим вместе, считая знакомое раз – два – в сторону. Получилось f7.
Назовём все поля, куда мечтает прыгнуть конь:
Ке5 – f7, g6, g4, f3, d3, c4, c6, d7.

Наш сытый конь захотел в гости. Самое интересное задание – это путешествие конём из угла в угол. Захотелось белому коню, живущему на поле а1, сходить в гости к чёрному. А чёрный конь в другом углу живёт, на поле h8. Дорог много. Вот одна из них.
Ka1 – b3: с5 – d7 – e5 – f7: h8
По дороге конь может «подкрепиться» пешкой с5, а самые кровожадные могут «закусить» и конём. Будем вежливы – нанесём ответный визит.
Kh8 – g6 – h4 – g2 – e3 – c2: a1
Часто путешествие коня заканчивается на полях g7, g8, h7 . А вот оттуда в угол не попасть.

Теперь упражнения для совершенствования прыжка этой интересной фигуры. Постарайся попасть конём в угол доски. Смотри не свались с доски!
Для коня с6:
1. Kc6 – a7 2. Ka7 – c8
3. Kc8 – b6 4. Kb6 – a8
Для коня g7:
1. Kg7 – e6 2. Ke6 – f8 3. Kf8 – g6 4. Kg6 – h8
Для коня a2:
1. Ka2 – c1 2. Kc1 – b3 3. Kb3 – a1
Для коня g1:
1. Kg1 – h3 2. Kh3 – f2 3. Kf2 – h1

Ты ещё не заметил одну особенность прыжков коня? При прыжке шахматный конь всегда меняет цвет поля. Стоял на белом – значит приземлится на чёрном.

Когда конь хочет кого-то побить, то при этом он может прихватить фигуры, стоящие на его пути. Как избежать таких ошибок?

Запомни, что конь бьёт только фигуру на том поле, на которое приземляется! Конь как бы протискивается или перелетает через фигуры, не обращая на них никакого внимания.

Чтобы ты стал настоящим шахматным джигитом , выполни такие задания.

Дома немного попрыгай конём по доске.
Если в квартире паркет квадратиками – «скачи на коне» в кухню и обратно. Привлеки к этому процессу всю свою семью. Походите след в след. Можно станцевать коневой танец.
Перейди шахматное поле конём наискосок из угла в угол. Побывай конём во всех углах.
Поставь на доску несколько пешек и фигур (не забудь углы!) и поиграй в Зёрнышки . Кстати, удастся ли тебе очистить всю шахматную доску за 21 ход?
Нарисуй в тетради квадрат размером 8×8 и ходом коня обойди как можно больше клеток, останавливаясь в каждой только один раз. Каждый новый прыжок коня обозначается следующим числом. На диаграмме чуть повыше показано движение коня по квадрату (конь прыгнул на b3 – пишем «2» , на а5 – пишем «3» , b7 – «4» ).

Кто больше займёт клеток на нарисованном квадрате доске, прежде чем все ходы у коня закончатся, – тот чемпион!

Конь является одной из самых хитрых фигур в шахматах, которая отличается уникальным способом хода. Коня справедливо считают коварным противником, который может «вырасти буквально из-ниоткуда» и поставить спертый мат. Располагая фигуру в центре, игрок обстреливает сразу 8 клеток, что дает ему внушительное преимущество в партии. Рассмотрим, как ходит конь и как использовать фигуру с максимальной пользой.

Описание фигуры

Конь – единственная фигура, которая способна перепрыгивать через другие во время своего хода. Это открывает перед игроком большие перспективы. По своему значению конь равен слону или трем пешкам.

Оценить истинную силу коня можно во время разгара партии, когда практически все центральные клетки поля заняты. Это ограничивает передвижение других фигур, но только не коня.

Обратите внимание, что коня следует развивать в начале партии в числе первых фигур. Конь, находящийся на стартовой позиции, является не эффективным. Еще меньше толку от коня, который расположен в углу игровой доски.

Как ходит фигура?

Фигура ходит буквой «Г» или разделенной напополам буквой «Т». Рассмотрим ситуация, где конь стоит на d5, в этом случае он может пойти на одну из предложенных клеток, отмеченных на рисунке. Зеленым выделена траектория движения, а красным – те клетки, на которые он может перепрыгнуть.

Конь, расположенный на с7 атакует сразу несколько вражеских фигур. Однако обратите внимание, что все они находятся под защитой. Иными словами бить одну из фигур не имеет смысла без четкой стратегии. Иначе Вы просто пойдете на размен.

Рассмотрим ситуацию, когда кони находятся на начальном этапе и еще не развиты. Стрелками обозначены возможные вариации ходов, как белых, так и черных.

Бывают ситуации, когда ход конем является не рациональным, как в случае на картинке. Все возможные клетки для хода контролируются черными фигурами. Иными словами конь будет под боем. Поэтому перед тем, как совершить ход, необходимо сначала прикрыть коня или оставить его без движения, пока противник не переставит одну из контролирующих поля фигуру.

Главной особенностью коня является возможность поставить спертый мат. Это ситуация, когда Король окружен своими же фигурами и не имеет возможности для движения. Конец игры ставится дистанционно, подчеркивая коварство и хитрость коня. Комбинировать спертый мат рекомендуется с одной из далеко бьющих фигур.

Ключевые особенности:

на своем ходу конь может менять цвет клетки (Вы стояли на белом цвете, а во время хода буквой «Г» стали на черный);
конь может перепрыгивать через фигуры, как свои, так и противника, которые расположены на промежуточных траекториях его движения;
атакованный король не сможет прикрыться другой фигурой от нападения коня, единственным вариантом является перемещение с атакованной клетки. Так, кстати, часто можно поставить мат, затравив Короля в неудобное положение, ограничив его движения;
конь является единственной фигурой на игровой доске, которая может нападать на Ферзя противника, не рискую собственной безопасностью;
ценность фигуры становится больше, когда движения других дальнобойных фигур (ферзь, слон) ограничены;
конь может нападать на любые фигуры противника без риска ответного удара (при условии правильного расположения);
конь может поставить выгодную вилку – ситуация, когда противник забирает у Вас одну из фигур, находящихся под боем без возможности «размена»;
поставить мат одним конем нельзя, однако шансы на успех существенно возрастают, если у Вас остался конь и слон. Поставить мат двумя конями можно только в том случае, если соперник допустил крупную ошибку во время хода.

Ценность коня

Основным конкурентом коня является слон, он равен коню по своей ценности. Фигура уступает по силе ладье. Однако одна ладья будет слабее, чем 2 коня. «Стоимость» ферзя оценивается в 3 коня. Данная ценность фигуры является условной, так как все зависит от нюансов расположения фигур.

Стоимость коня существенно возрастает, если пешки своего цвета и противника создают закрытые позиции и ограничивают движения ферзя, слона и ладьи. В таком положении сила коня будет большей, чем сила ладьи.

Урок седьмой. Скачем на шахматном коне.

Создано 30.05.2012 15:15

Урок седьмой. Как ходит шахматный конь.

Чтобы ты стал настоящим шахматным джигитом , выполни такие задания.

Дома немного попрыгай конём по доске.
Если в квартире паркет квадратиками – «скачи на коне» в кухню и обратно. Привлеки к этому процессу всю свою семью. Походите след в след. Можно станцевать коневой танец.
Перейди шахматное поле конём наискосок из угла в угол. Побывай конём во всех углах.
Поставь на доску несколько пешек и фигур (не забудь углы!) и поиграй в Зёрнышки . Кстати, удастся ли тебе очистить всю шахматную доску за 21 ход?
Нарисуй в тетради квадрат размером 8x8 и ходом коня обойди как можно больше клеток, останавливаясь в каждой только один раз. Каждый новый прыжок коня обозначается следующим числом. На диаграмме чуть повыше показано движение коня по квадрату (конь прыгнул на b3 – пишем «2» , на а5 – пишем «3» , b7 – «4» ).

Использование данного материала в интернете без указания ссылки на автора, сайт и книгу запрещено. Правами на издание книги и данного материала владеют авторы шахматного учебника "Шахматы для детей, родителей и учителей" Костров Всеволод и Давлетов Джалиль.
Как научиться играть в шахматы? Список всех шахматных уроков онлайн .
С вопросами обращайтесь по адресу: Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра. . Давайте уважать труд авторов, администраторов сайта и Детско-юношеской комиссии Санкт-Петербургской Шахматной Федерации.

Конь – шахматная фигура, которая относится к категории легких. В начале партии игроки располагают двумя конями. Находятся они в начале партии на клетках b1, g1 (у белых) и b8, g8 (у черных). В записи шахматной партии конь обозначается буквой К.

Много веков назад конница была важнейшим родом войск. Она могла решить исход любого сражения. Не была исключением в этом плане и Индия, родина шахмат. Как нетрудно догадаться, именно от конницы и произошла данная шахматная фигура. И в шахматах конь может решить исход партии.

У шахматного коня есть одна особенность – он может перескакивать через фигуры (через свои и чужие). Поэтому, ему не страшны закрытые позиции. Если вокруг него будут находиться фигуры, он может без труда выбраться из этого загромождения.

Есть у коня еще одна интересная особенность. Во время ходов он попеременно меняет цвет полей. То есть, находясь на белой клетке, он после следующего хода окажется на черной. И наоборот. Если он расположен на белом поле, то снова на белом поле он окажется через четное число ходов, а на черном – через нечетное.

Многие, кто так или иначе знаком с шахматами, слышали, что конь ходит буквой “Г”. На шахматной доске эта буква “Г” состоит из трех клеток в длину и двух – в ширину.

На данном рисунке красными клетками помечены поля, на которые может пойти конь с поля e4. Он может пойти на клетки d6, f6, c5, g5, c3, g3, d2 и f2. Причем, даже если на соседних клетках будут находиться фигуры, конь, все равно, сможет ходить на эти поля. Если на указанных клетках будут находиться фигуры противника, конь может их побить.

На данном рисунке показано, что, несмотря на наличие фигур рядом, конь, все равно, может ходить на указанные поля.

На этом рисунке показаны поля, на которые могут ходить кони у белых и у черных в начале партии. Перед тем, как сделать ход, необходимо убедиться в его безопасности. Бывают такие ситуации, при которой поле, на которое может пойти конь, находится под ударом. Поэтому, сначала необходимо обезопасить это поле.

Здесь на одном рисунке наглядно показаны все возможные ходы коня с c3. Он может пойти на поля a2, b1, b5, d1, d5. На поля a4 и e2 ему ходить нельзя – там расположены свои фигуры. А вот, на поле e4 он передвинуться может. Там находится пешка противника. Но, конь может ее побить и стать на ее место.

На этом рисунке белый конь, находящийся на f3, может пойти на d4, g5, h4 или побить пешку черных на e5. Однако, все эти поля находятся под боем. Поэтому, нужно либо предварительно поставить эти поля под удар своими фигурами, либо подождать, пока какая-либо клетка перестанет быть опасной для хода.

Если королю поставлен шах конем, он не может прикрыться другой фигурой – нужно только отходить на другое поле. Таким образом, если король со всех сторон закрыт фигурами, конем можно поставить мат. Такой мат называется спертым. Король находится под ударом, а отступать ему некуда. Конь – единственная фигура, которая может угрожать ферзю, сам не находясь под боем.

По своей ценности конь примерно равен слону. В одних ситуациях более выгоден конь, в других – слон. Ладье конь уступает. Однако, 2 коня сильнее одной ладьи. Ферзь по силе примерно равен трем коням. Эти соотношения являются условными. Здесь все зависит от конкретной позиции на доске. Конь может сказать свое веское слово, когда фигуры противника заперты и у них мало места для маневра. В таких ситуациях конь даже более уместен, чем ладья.

Конь, как никакая другая фигура, умеет ставить “вилки” (одновременно угрожать двум и более фигурам противника). “Вилки” можно делать и другими фигурами, однако, от коня это часто получается неожиданно. Вот пример “вилки”:

Здесь конь, находящийся на c7, угрожает одновременно ладье на a8, ладье на e8 и слону на e6. Вот пример еще одной вилки:

На этом рисунке конь на c7 одновременно угрожает королю и ферзю черных. Учитывая то, что часто во время вилки конь находится на безопасном поле (ему не угрожает ни одна из фигур, которые он может побить, кроме коня), поле, на которое он становится, не нужно предварительно защищать. Бывает ситуация, когда вместо пешки, дошедшей до крайней горизонтали, лучше взять именно коня, а не ферзя или ладью.

Конь более эффективен, когда он располагается в центре доски. В центре он может ставить под удар сразу 8 полей, в то время, как на краю доски – меньше. Если он находится в самом углу доски (на полях a1, a8, h8, h1), под его ударом находятся всего 2 клетки. Поэтому, если того не требует ситуация, не загоняйте коня в угол. Он там чувствует себя неуютно. Старайтесь, чтобы кони располагались ближе к центру.

Эффективно использовать коней вместе. Можно расположить их так, чтобы они прикрывали друг друга. Даже, если им угрожает фигура противника, можно этого коня разменять на угрожающую фигуру. Ладья или ферзь в такой ситуации не осмелятся напасть на коня – получится неравноценный размен. Главное, чтобы им не угрожала пешка противника. Иначе, потеряв коня, вы заберете, всего лишь, пешку противника.

Говорят, что любимой фигурой нынешнего чемпиона мира по шахматам Магнуса Карлсена является слон. Однако, есть прославленные гроссмейстеры, у которых любимая фигура – конь. В их числе был Михаил Таль. Он, как никто другой, умел мастерски использовать конницу. Его атаки с использованием кавалерии вошли в шахматные учебники.

И в заключении, несколько советов начинающим шахматистам:

Помните о том, что конь может перескакивать через свои и чужие фигуры. С помощью этой особенности можно преподнести сопернику неприятный сюрприз.
Старайтесь располагать коней в центре доски – его эффективность здесь является максимальной. Без необходимости не загоняйте коня в угол.
Старайтесь использовать коней вместе. Пара гнедых может навести шороху в оборонительных порядках соперника.
Помните о возможности поставить конем вилку. Не прозевайте вилку от чужого коня.

Удачи за шахматной доской!

Глава 5. Задача о ходе коня

Эта глава посвящена самой интересной задаче о коне и, пожалуй, вообще самой известной шахматно-математической задаче. Она заключается в нахождении маршрута коня на шахматной доске.

Обойти конем все поля шахматной доски, посетив каждое из них по одному разу.

В литературе эту задачу обычно называют просто задачей о ходе коня. Особая популярность задачи объясняется тем, что в XVIII и XIX вв. ею занимались многие крупные математики, в том числе великий Леонард Эйлер, посвятивший ей большой мемуар «Решение одного любопытного вопроса, который, кажется, не подчиняется никакому исследованию» . Хотя задача была известна и до Эйлера, лишь он впервые обратил внимание на ее математическую сущность, поэтому задачу часто связывают с его именем.

Значительно труднее проблема, состоящая не в отыскании определенного маршрута коня, а в нахождении всех маршрутов и подсчете их числа. Увы, эта задача не решена до сих пор, и шансов на успех немного. Известно, правда, что число решений не превосходит C 63 168 (это число состоит из ста цифр), но больше 30 миллионов. Математик Ф. Миндинг, подошедший к проблеме с алгебраической точки зрения, предложил метод, позволяющий вывести формулу для числа всех решений, однако вычисления, которые следует при этом произвести, практически неосуществимы, и поэтому метод Миндинга представляет лишь теоретический интерес.

Литература, посвященная задаче о ходе коня, весьма обширна. Те или иные методы нахождения маршрутов можно найти в самых разнообразных источниках. Среди них следует выделить книгу Крайчика «Проблема коня», которая, как видно из названия, целиком посвящена этой теме (эта книга входит в упомянутую во введении фундаментальную работу Крайчика). Об алгебраическом подходе, основанном на исследованиях Яниша д рассказывается у Окунева, а у Шуберта можно найти подробный исторический обзор задачи о ходе коня. Остановимся на некоторых наиболее интересных методах нахождения маршрутов коня.

Рамочный метод Мунка и Коллини . (Коллини - секретарь знаменитого философа Вольтера). Шахматную доску разделим па две части: внутреннюю, состоящую из 16 полей, и внешнюю, имеющую форму рамы и состоящую из 48 полей (рис. 23,а). На полях внутреннего квадрата запишем заглавные буквы А, В, С, D - так, чтобы каждая из них, повторенная четыре раза, образовала квадрат или ромб, по всем сторонам которого может ходить конь. Те же буквы, только строчные, запишем на рамочных полях так, чтобы ходы коня по каждой из букв образовали замкнутые многоугольники, окаймляющие центральный квадрат.

Конь начинает ходить от какого-нибудь рамочного поля, проходит вокруг рамы по выбранной букве, например а, и в 12 ходов исчерпывает эту букву (при этом последнее поле не должно быть угловым). Затем он переходит во внутренний квадрат, но не на букву Л, а на какую-нибудь другую - В, С или D. Пройдя все поля, обозначенные этой буквой, конь снова переходит на раму - на букву, по которой еще не ходил, и вновь обегает вокруг рамы, исчерпывая до конца эту букву, - и т. д., пока не пройдет по всей доске.

Метод Полиньяка и Роже - деление на четверти . Этот метод проще предыдущего, хотя и похож на него. Разделим доску крестом на четыре квадрата (рис. 23,б). В каждом из них расставим буквы а, b, с, d точно так же, как во внутреннем квадрате на рис. 23,а. Конь начинает движение с любой буквы, проходит в выбранном квадрате по всем четырем полям с этой буквой, затем переходит на ту же букву соседнего квадрата, и т. д. Исчерпав все 16 полей с одной буквой, он меняет ее и снова зигзагом обегает доску. После четырех таких кругов все поля будут пройдены (как и в предыдущем методе, «круговые» маневры не должны заканчиваться на угловом поле).

Маршруты и пути коня по доске удобно нумеровать последовательными числами 1, 2, 3 … в соответствии с порядком ходов. В полном маршруте коня начальное поле имеет номер 1, а конечное - 64. Разумеется, изменив направление данного маршрута на противоположное, мы всегда можем начальное поле сделать конечным, и наоборот. Если маршрут замкнут, то поля 1 и 64 связаны ходом коня.

Метод Эйлера и Вандермонда . Этот метод, хотя и не является таким простым и эффектным, как два предыдущих, позволяет, в отличие от них, получать самые разнообразные маршруты коня.

В основе метода лежит возможность замены обратными всех ходов, начиная с поля, связанного ходом коня с конечным.

В качестве примера рассмотрим маршрут на рисунке 24, а. Используя связь поля 31 с конечным полем 64, мы можем получить еще один маршрут. Оставим все числа 1, …, 31 на своих местах, а числа 32, 33, …, 64 заменим соответственно числами 64, 63, …, 32. Иначе говоря, один последовательный путь (от поля 32 до поля 64) мы заменили другим, обратным (от 64 до 32). Теперь поле b4, поменявшее номер 32 на 64, стало конечным. Новый маршрут в старой нумерации полей можно записать так: от 1 до 31, 31 - 64 (один ход - с поля 31 на 64), от 64 до 32.

Указанный прием можно повторять многократно, получая все новые и новые маршруты. В исходном маршруте поле 49 также связано с 64, что дает нам другой производный маршрут: от 1 до 49, 49 - 64, от 64 до 50. В первом из найденных маршрутов поле 32 связано с 43 - и мы можем получить второй производный маршрут: от 1 до 31, 31 - 64, от 64 до 43, 43 - 32, от 32 до 42, и т. д.

Рис. 24. Задача о ходе коня. Метод Эйлера и Вандермонда:
а - маршрут, преобразуемый в новые маршруты; б - преобразование «тупикового» маршрута

Если дан некоторый маршрут, то, проявив определенную изобретательность, его можно преобразовать так, чтобы любое наперед заданное поле стало конечным (а эначит, и начальным). Пусть, например, мы хотим сделать конечным поле d4, имеющее номер 56. Свяжем его с полем 64 такими ходами: 64 - 31 - 32 - 57 - 56. Теперь дважды преобразуем исходный маршрут коня (рис. 24,а): 1) от 1 до 31, 31 - 64, от 64 до 32; 2) от 1 до 31, 31 - 64, от 64 до 57, 57 - 32, от 32 до 56. Последний маршрут заканчивается на поле d4, к чему мы и стремились. Описанным методом из незамкнутого маршрута иногда удается получить замкнутый. Так, для превращения маршрута на рис. 24,а в замкнутый достаточно пути: от 11 до 17, от 10 до 1, от 18 до 31, от 64 до 57, от 32 до 45, от 56 до 46 заменить соответственно такими: от 1 до 7, от 8 до 17, от 18 до 31, от 32 до 39, от 40 до 53, от 54 до 64.

Основное достоинство метода Эйлера и Вандермонда заключается в том, что он помогает нам завершить путь коня в тех случаях, когда мы двигались без всякой системы и попали в тупик - дальше идти некуда, а еще остались непройденные поля. Пусть, например, мы уже побывали на 62 полях доски (путь от 1 до 62 на рис. 24,б, а поля а и b не посетили). Здесь поле а связано с полем 10, а поле 62 с полем 9. Это позволяет нам преобразовать путь от 1 до 62 в следующий: от 1 до 9, 9 - 62, от 62 до 10. После перенумерации поле b2 в этом пути меняет номер 10 на 62 и под номером 63 к пути присоединяется поле а. Теперь нам осталось присоединить к пути поле b. В этом нам помогает то обстоятельство, что из двух последовательных полей 57 и 58 первое связано с полем b, а второе - с полем а (имеющим сейчас номер 63). Теперь наш путь (в исходной нумерации) превращается в такой: от 1 до 9, 9 - 62, от 62 до 58, 58 - а, а - 10, 10 - 57. После очередной перенумерации номер 63 теперь получает бывшее поле 57, и, присоединяя к нему поле b, получаем, наконец, искомый маршрут (рис. 24,а; нумерация здесь последовательная - от 1 до 64).

Рассмотренные нами преобразования - далеко не единственные, позволяющие получать из одних маршрутов другие. Упомянем еще преобразования, связанные с поворотами доски и отражениями ее относительно осей симметрии или центра симметрии. Различные свойства маршрутов, основанные на идеях симметрии, исследованы в указанной ранее литературе. Заметим, кстати, что из одного замкнутого маршрута коня можно получить сразу 127 новых: 63 - сдвигом нумерации ходов, а из полученных 64 - еще столько же изменением направления маршрута.

Правило Варнсдорфа . Это довольно эффективное правило заключается в следующем.

1) при обходе доски коня следует всякий раз ставить на поле, из которого он может сделать наименьшее число ходов на еще не пройденные поля; 2) если таких полей несколько, то разрешается выбирать любое из них.

Правило Варнсдорфа предложено более 150 лет назад. Долгое время считалось, что оно действует безукоризненно. Позднее было установлено, что его вторая часть не совсем точна. Если в распоряжении коня имеется несколько возможностей, упомянутых в первой части правила, то не все они являются равноценными. Полную яспость в этот вопрос удалось внести при помощи ЭВМ. Машинный эксперимент, проведенный в Тульском пединституте под руководством А. Есаяна, показал, что с какого бы поля доски конь ни начал свой маршрут, можно так пользоваться второй частью правила Варнсдорфа, что он попадет в тупик раньше, чем посетит все поля доски.

Рис. 25. Задача о ходе коня. Метод Варнсдорфа

Все же на практике это простое правило дает неплохие результаты. Более того, иногда оно позволяет завершить путь коня даже в том случае, если несколько начальных ходов сделано произвольно. Например, на рис. 25,а конь с a1 уже сделал 40 ходов. В этой доьолыю трудной ситуации, пользуясь сформулированным правилом, кошо удается благополучно закончить маршрут. С поля 40 он мог бы пойти, кроме поля f2 с номером 41, на поля c5, d6, f6 и g3, каждое из которых связано с тремя свободными. Что же касается поля f2, то с пего имеется только два свободных выхода (на h1 и d3), этим и объясняется выбор - число 41 ставится на поле f2 (рис. 25,б).

При следующем ходе возникает вопрос относительно полей h1 и d3. Второе поле связано с четырьмя свободными, а первое - только с одним g3, поэтому число 42 ставится на h1 (рис. 25,б). С поля h1 ход коня определяется однозначно - на поле g3, которое и получает помер 43. С этого поля у коня выбор между полями h5 и f.5, причем каждое И8 них связано с тремя свободными. Сюгласно правилу, можно выбрать любое из них, в нашем случае конь идет на h5 (номер 44). Продвигаясь далее тгем же образом, конь в конце концов попадает на поле 64t.

Строго говоря, по правилу Варнсдорфа обход доски следует начинать с углового поля, так каж в начальный момент именно с него конь может совершись наименьшее число прыжков. Путь коня на рис. 25,а до поля 13 согласуется с указанным правилом, однако уже очередной ход на поле 14 (e2) противоречит ему. С поля 13 у коня имелся выбор И8 пяти возможностей и, как легко вшдеть, «точнее» было пойти им на a2, а не на e2.

Правило Варнсдорфа, как показывает опыт, является достаточно эффективным не только для обычной шахматной доски, но и для других досок, на которых вообще имеется решение эадачи.

Рис. 26. Магический маршрут коня

Многие составители «хода коня» стремились внести в свое занятие, насколько это возможно, эстетический элемент и достигли довольно любопытных результатов. Маршрут на рис. 26, принадлежащий Янишу, примечателен в нескольких отношениях. Он замкнут, образует «полумагический квадрат» (суммы чисел вертикалей и горизонталей равны магическому числу 260, а суммы чисел главных диагоналей отличны от него) и, кроме того, обладает необычной симметрией - при повороте доски на 180° первая половина маршрута (от 1 до 32) превращается во вторую (от 33 до 64).

Еще со времен Эйлера известен так называемый «раздельный ход коня», который заключается в нахождении пути по одной половине доски, его симметричном дублировании и соединении обоих путей вместе (рис. 27). Для половины шахматной доски - доски 8×4 - Крайчик нашел точное число решений. Это позволило ему подсчитать число «раздельных ходов коня» на доске 8×8, которое и дает нижнюю границу для числа всех решений задачи, указанную в начале этой главы.

Если говорить о графиках маршрутов коня, то здесь придумано множество необычных решений, изображающих различные предметы, буквы или знаки (изпестен даже график, посвященный Наполеону!). Два достопримечательных примера такого рода приведены на рис. 28. График первого маршрута (он является замкнутым) напоминает вазу, а график второго представляет собой цветок, части которого расположены в высшей степени симметрично.

Рис. 28. Ваза и цветок

Наиболее интересное обобщение эадачи о коне возникает при рассмотрении произвольной доски m×n.

При каких значениях тип существует маршрут коня по всем полям доски m×n?

Если одна из сторон доски меньше 3, то, очевидно, маршрута нет (исключение составляет вырожденный случай - доска 1×1, для «обхода» которой достаточно просто поставить коня на доску). Если одна сторона доски равна 3, то другая должна быть либо 4, либо не меньше 7. Если обе стороны больше 3, то обходной маршрут коня существует на всех досках, кроме 4×4. Итак, конь может обойти все поля доски m×n при следующих уелогиях: m, n ≠ 1, 2; если m = 3, то n = 4 или n > 6; соответственно, если n = 3, то m = 4 или m > 6; m = 4, n ≥ 5; n = 4, m ≥ 5.

Для существования замкнутого маршрута прежде всего необходимо, чтобы доска была четной. Как показано в предыдущей главе, если одна сторона равна 4, то замкнутого маршрута нет. Если обе стороны четной доски больше 4, то замкнутый маршрут всегда существует. Наконец, если одна сторона равна 3, то для существования замкнутого маршрута другая должна быть не меньше 10. Как мы видим, наименьшая (по площади) прямоугольная доска, которую может обойти конь, имеет размеры 3×4, а наименьшие прямоугольные доски с замкнутыми маршрутами имеют размеры 5×6 и 3×10.

Для обычной доски 8×8, а также для всех досок с меньшими сторонами, приведенные выше результаты устанавливаются непосредственно. Если же хотя бы одна сторона доски больше 8 (а другая больше 2), то ее легко разбить на доски со сторонами, меньшими 8, которые допускают маршруты коня. Из этих маршрутов и удается «собрать» маршрут на исходной доске. Аналогичная идея используется и для доказательства существования замкнутых маршрутов на соответствующих четных досках.

Остановимся несколько подробнее на квадратных досках n×n. На досках 2×2 и 3×3 маршрута нет - в первом случае вообще никакие два поля не связаны друг с другом, а во втором - центральное поле не связано с крайними.

Покажем, что нет маршрута и на доске 4×4. Подсчитаем, сколько ходов имеется в нашем распоряжении. Центральных полей здесь всего четыре, и они нам дают максимум восемь ходов (включая движение через углы доски). Остальные ходы образуют стороны квадратов a2 - b4 - d3 - c1 и a3 - c4 - d2 - b1. Поскольку квадраты замкнуты, то из четырех ходов каждого в маршруте может быть использовано не более трех. Итак, всего имеем 8 + 3 + 3 = 14 ходов. Однако для того, чтобы обойти все поля доски 4×4, требуется 15 ходов - противоречие!

на досках (4k + 1)×(4k + 1);

на досках 4k×4k;

на досках (4k + 2)×(4k + 2);

на доске 7×7;

общий метод нахождения маршрутов коня на доске n×n при n > 14.

Рис. 29. Маршруты коня на квадратных досках

На рис. 29,а предложен общий метод обхода досок n×n, где n = 4k + 1 (n = 1, 5, 9 и т. д.). На рис. 29,б дан метод обхода досок для n = 4k + 2 (n = 6, 10, 14 и т. д.). Аналогичным образом (рис. 29,в) обходятся доски при n = 4k (n = 8, 12, 16 и т. д.). На рисунках 29, г и 29, д (внутренний квадрат) указаны маршруты - на досках 7×7 и 11×11. Итак, мы имеем, в частности, маршруты коня на всех досках n×n при n < 15 (n ≠ 2, 3, 4).

Заметим, что маршруты на рис. 29,б и 29,в придумал недавно ленинградский школьник Н. Нецветаев. Он же предложил интересный метод нахождения маршрутов на всех досках n×n при n ≥ 15. Этот метод опирается на то, что при любом n ≥ 14 существует замкнутый обход полосы ширины 3, окаймляющей доску (n - 6)×(n - 6). На рис. 29,д изображен обход такой полосы для доски 17×17. Чтобы получить замкнутый обход полосы для любой доски n×n при n ≥ 14, надо взять такой же обход полосы, но увеличить число «треугольников» между парами полей, аналогичными парам c6 и с9, f15 и i15, о12 и о9, l13 и i3 (см. рис. 29,д); крайний случай получается при совпадении таких пар, внутренний квадрат при этом имеет размеры 8×8. Если мы имеем маршрут коня по внутренней доске, то для получения маршрута по всей доске n×n нужно выкинуть ходы, помеченные на рис. 29,д сплошной линиемг, и добавить «пунктирные» ходы. При полном обходе, как мы видим, конь сначала идет по внутреннему квадрату, «отвлекается» на нашу полосу и, возвращаясь в квадрат, заканчивает путешествие.