В древнем вавилоне для написания чисел использовались. Что из себя представляли вавилонские числа? Трудности в вавилонской математике

«Древний Египет 5 класс» - Древние египтяне верили, что людьми и природой управляют… Боги и жрецы. Построены в качестве гробниц для фараонов Древнего Египта. Книга из папируса, свернутая в трубку… Тесты. Люди строили для богов… Письменность в Египте… 5 класс Повторительно-обобщающий урок «Страна большого Хапи». Письменность. Задание на повторение Найдите ошибки.

«Древняя письменность» - Название «глаголица» образовано от глаголъ – «слово», «речь». Но когда такое наконец произошло, новый способ продемонстрировал несомненные преимущества. Второй способ письменности. Рождение славянской письменности... Глаголица хорошо отвечала фонемному составу старославянского языка. Финикийский. Становление письменности - очень непростой процесс, длившийся тысячелетия.

«Древний Вавилон» - Древний Вавилон. Конституция – основа всего законодательства страны. Вавилонская башня. Висячие сады Семирамиды. Законы царя Хаммурапи стали первыми письменными законами. Висячие сады Семирамиды – одно из Семи чудес света. Вавилонский царь обладал неограниченной властью. Хаммурапи – вавилонский царь правивший с 1792 по 1750 до н.э. Сколько лет правил Хаммурапи?

«Древний город» - Разрушение города. Тигеш был довольно большим городом. А по Волге можно и в Багдад, и в Скандинавию. Через века в современность. Археологические раскопки. А после рва - третья крепостная стена. Если так, город жил, получается, до тридцатых годов тринадцатого века. Тигеш. Там теперь пасется скот. Перед каждой стеной был вырыт глубокий ров, наполненный водой.

«Вавилон» - Однако запись необходимых 60 цифр была своеобразной. «…Построен Вавилон вот так… Официальным названием государства касситов было Кардуниаш. Висячие сады Семирамиды - одно из Семи чудес света. Ступени соединялись лестницами, по краю стены шёл ведущий к храму пандус. Вавилонская математика. Вавилонская Башня.

«Развитие Древнего Рима» - Легендарное основание Рима. Республиканский этап. Царский этап. Волчица вскармливает Ромула и Рема. Древнеримский бог войны Марс и Рея. Сильное влияние на становление древнеримской цивилизации оказали культуры этрусков, латинов и древних греков. Ранняя Республика. Затем братьев подобрал царский пастух Фаустул.

одной из единиц длины, применяемых в астрономии, является святой год. один световой год равняется расстоянию, которое проходит света в вакууме за один

год. сколько метров составляет световой год, если скорость света в вакууме приблизительно равна 30000 км/с?

При решении каких из приведенных задач изучаемые тела можно принять за материальные точки: - рассчитать расстояние между Землей и Луной; - рассчитать

расстояние, которое проедет автомобиль за 2 ч; - рассчитать скорость вращения вала электродвигателя; - рассчитать время обгона автомобилем колонны грузовых автомобилей; - рассчитать время движения спортсмена, пробегающего дистанцию 400 м?

Помогите пожалуйста) что знаете, хотя бы некоторые)

Часть А
1. Механическим движением называют
a. изменение положения тела с течением времени
b. изменение положения тела с течением времени относительно других тел
c. беспорядочное движение молекул, из которых состоит тело

2. Если человек стоит на плывучем по реке плоту, то он движется относительно
a. плота
b. дома на берегу реки
c. воды

3. Путь - это
a. длина траектории
b. линия, по которой движется тело
c. наикратчайшее расстояние между начальным и конечным пунктами движения

4. Движение называется равномерным, если
a. за любые равные промежутки времени тело проходит одинаковые пути
b. за равные промежутки времени тело проходит одинаковые пути
c. за любые промежутки времени тело проходит одинаковые пути

5. Чтобы определить среднюю скорость тела при неравномерном движении, надо
a. всё время движения умножить на пройденный путь
b. все время движения поделить на весь путь
c. весь пройденный путь поделить на все время движения

6. Формула для нахождения скорости равномерного движения имеет вид:
a. υ = St
b. υ = S/t
c. S = υt
d. t = S/υ

7. Основной единицей пути в Международной системе единиц СИ является
a. метр (м)
b. километр (км)
c. сантиметр (см)
d. дециметр (дм)
8. В одном метре (м) содержится
a. 1000см
b. 100см
c. 10см
d. 100дм

Часть В
1. Скорость скворца равна примерно 20 м/с, сколько это в км/ч?
2. В течение 30 с поезд двигался равномерно со скоростью 72 км/ч. Какой путь прошел поезд за это время?
Часть С
1. Какова средняя скорость страуса, если первые 30 м он пробежал за 2 с, а следующие 70 м за 0,05 мин?
2. Автомобиль первую часть пути (30 км) прошёл со средней скоростью 15 м/с. Остальную часть пути (40 км) он прошел за 1 ч. С какой средней скоростью двигался автомобиль на всем пути?
3. Рассмотрите графике движения тела и ответьте на вопросы:
-чему равна скорость движения тела;
-каков путь, пройденный телом за 8 секунд;

Наряду с долиной Нила, другим районом массового поселения первобытных людей на Ближнем и Среднем Востоке была долина рек Тигра и Евфрата – Двуречье, или Месопотамия. Здесь, как и в долине Нила, очень плодородные почвы, поэтому первобытный человек, наряду с обычными в то время способами добываниями пищи, занялся земледелием. В конце IV тысячелетия до н.э. в Южном Двуречье складывается рабовладельческий строй в виде небольших государств. В III тысячелетии до н.э. в Двуречье существуют только два, но зато крупных государства двух различных племен – шумеров и аккаденян. В XXIII в. до н.э. оба государства были объединены аккадским царем. Вавилонское царство в борьбе с иноземными завоеваниями не раз испытало периоды подъема и упадка. В 729 г. до н.э. Вавилон был завоеван Ассирией, а в 538 г. до н.э. Ассирийско-Вавилонское царство было захвачено персами.

Стимулы развития математики в Вавилоне были примерно те же, что и в Египте: нужно было строить большие общественные здания и крепости, для нужд земледелия приходилось сооружать каналы и дамбы, нужно было вычислять длины, площади и объемы, считать налоги, составлять календарь. Царские указы и математические расчеты составляли писцы.

Вавилоняни писали на сырых глиняных табличках, которые затем сушили на солнце или обжигали в печах. Этот материал был весьма долговечен, поэтому большое количество исписанных табличек сохранилось до наших дней. Основным знаком при письме был клин; по этой причине вавилонская письменность называется клинописной. Клин выдавливали на глине специальной треугольной деревянной палочкой.

Арифметика. Вавилонская нумерация чисел также была клинописной. Основными знаками в ней были вертикальный клин ∇ и горизонтальный. Эта нумерация была изобретена шумерами. Приведем примеры записи чисел по вавилонской системе (рис.2).

(т.е. 3721 = 3600 + 2 ∙ 60 + 1).

Отсюда видно, что от 1 до 59 вавилонская система строилась по аддитивному принципу, который использовался и в Египте. Новое начинается в числа 60: один и тот же знак ∇ в зависимости от его позиции мог означать и 1, и 60, и 3600, а знак - и 10, и 600, и 36000. Следовательно, эта система по своему типу была шестидесятеричной позиционной. Точнее, она была полупозиционной, так как не было знака для нуля; знак для нуля появился, но сравнительно поздно и не получил широкого распространения. Конечно, отсутствие знака для нуля доставляло неудобства, но в задачах практического характера обычно по тексту легко было догадаться, каков порядок рассматриваемого числа.

Почему в Вавилоне в качестве основания системы счисления было выбрано такое большое число -60? На этот счет существует несколько гипотез. наиболее правдоподобной представляется следующая. Население Вавилонского царства было смешанным, и вавилонская культура сложилась в результате слияния культур нескольких народов. В частности, нужно было переводить меры одного народа в меры другого. Например, если у четырех народов применялись системы мер с основаниями 5, 10, 12 и 20, то наиболее удобным числом для такого перевода было 60 – наименьшее общее кратное этих чисел.

Шестидесятеричная система счисления распространялась и на дроби: знак ∇ мог означать так же или, а знак −=

Сложение и вычитание натуральных чисел и дробей выполнялись примерно так же, как и в нашей десятичной позиционной системе. Характерной особенностью умножения и деления в Вавилоне являлось широкое использование специальных таблиц. Применялись следующие таблицы: таблицы умножения натуральных чисел (от 1∙1 до 59∙59); таблица обратных чисел, с помощью которой деление заменялось умножением на число, обратное делителю; таблицы квадратов, кубов, квадратных и кубичных корней и некоторые другие, например, таблица значений выражения .

Арифметические задачи у вавилонян носили прикладной характер и большей частью решались с помощью пропорциональной зависимости.

Вавилоняне положили начало астрономии. Они первыми стали определять координаты светил на ночном небе. В связи с этим они делили окружность на 360 градусов, градус – на 60 минут, а также час на 60 минут. Вавилонская шестидесятеричная система счисления применялась в астрономии всеми народами Европы и Азии, которые занимались этой наукой, вплоть до XV-XVI вв. н.э. Но позиционный принцип записи чисел был распространен на арифметику лишь в средние века.

Алгебра. Вавилоняне в явной форме понятиями уравнения и неизвестного. Знаков действий и знака равенства не было ни в арифметике, ни в алгебре, отрицательные и нулевые корни уравнений не рассматривались.

В Вавилоне умели решать следующие типовые уравнения:

2)3), 4),, где- данные положительные рациональные числа.

Уравнения первого, второго и пятого типов решались с помощью числовых таблиц – таблиц обратных чисел, умножения, квадратных и кубичных корней. Для решения квадратных уравнений третьего и четвертого типов применялись алгоритмы.

Пример 1 . “Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870”. Имеется в виду уравнение Получилось уравнение четвертого типа.

Оно решается по верной числовой формуле

Обоснования способа решения, как и везде в подобных случаях, нет, но, вероятно, как и у нас, левая часть уравнения дополнялась до полного квадрата. Следовательно, вавилоняне должны были знать тождество

В Вавилоне умели решать такие типовые системы уравнений:

1)2).

Пример2 . «Длина, ширина. Длину и ширину я сложил и получил 12. Затем длину и ширину перемножил, 27 получилось у меня».

Это система уравнений

Она решается по верным числовым формулам

Наиболее вероятное обоснование этого решения таково: вводилось новая переменная формулойоткуда

Но для подобного решения вавилоняне должны были знать тождество

В Вавилоне умели решать и многие нетиповые уравнения и системы уравнений.

Остановимся на других знаниях вавилонян по алгебре.

Они были знакомы с арифметической и геометрической прогрессиями, в частности, умели находить сумму членов арифметической и геометрической прогрессий (для геометрической прогрессии – только для некоторых частных случаев). Они знали формулу суммы квадратов первых чисел натурального ряда. Вавилоняне умели извлекать квадратные корни по приближенной формуле

где 𝒶 и b положительны, b мало сравнительно с 𝒶. Самой этой формулы

где и положительны, мало сравнительно с 𝒶. Самой этой формулы в явном виде мы в вавилонских текстах не найдем. Но в таблице квадратных корней приводится, например, в качестве значения число. Оно получено, вероятно, следующим образом:

(точное значение есть 1,4142…).

Обоснование записанной выше приближенной формулы получить современными средствами нетрудно:

Так как член в правой части последнего равенства по условию мал, то им можно пренебречь.

Геометрия. Вавилоняне умели правильно вычислять площадь прямоугольника, треугольника и трапеции, объем прямой призмы и прямого кругового цилиндра. Длина окружности находилась по формуле , а площадь круга – по формуле; в обоих случаях получаем плохое приближение для

Объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды и объем усеченного конуса находили по неверным формулам

В Вавилоне были хорошо знакомы с подобием треугольников и с правильными многоугольниками. Была известна теорема Пифагора.

Вавилоняне умели решать уравнение + в натуральных числах, что связано с теоремой Пифагора. Позднее прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами получили название пифагоровых. Решение уравнения выполнялось с помощью формул

где 𝒶 и b - любые натуральные числа,𝒶 > b . Например, при получаем треугольник со сторонами

В Вавилоне умели решать то же уравнение и в рациональных числах. Этот результат относится не столько к геометрии, сколько к теории чисел.

Подведем итоги. Вавилонская математика далеко превосходила египетскую, несмотря на то, что Вавилон и Египет находились рядом и существовали почти в одно и то же время. Но почему? Видимо, дело в том, что Египет был этнически однороден, а в Вавилоне было несколько народностей, каждая из которых внесла свой вклад в единую культуру Вавилонского царства. Далее, Вавилон находился на перекрестке важнейших древних торговых путей Ближнего и Среднего Востока и, следовательно, был хорошо знаком с культурой и наукой соседних народов, а Египет с его пустыней Сахарой торговые караваны старались обойти стороной.

Математика, как наука, обязана своим появлением Древнему Востоку. Нет точных дат ее зарождения, но достоверно известно, что практически каждое отдельно взятое восточное государство имело свою и методы расчета. В данной статье мы обсудим такое явление, как вавилонские числа, рассмотрим археологические артефакты, подтверждающие их существование, и оценим их влияние на дальнейшее развитие науки.

Вступление

Вавилонское царство начало свое существование во II тысячелетии, а пало в 539 году до нашей эры. За этот период данный восточный регион сделал серьезный шаг вперед во многих сферах жизни, уделив особое внимание архитектуре и астрономии. Но для того, чтобы постройки были устойчивыми и долговечными, чтобы наблюдения за небесными светилами можно было записать и проанализировать, требовалась математика. Поэтому на заре зарождения новой цивилизации в Месопотамии появились и числа.

Так как государство строилось на обломках некогда существовавших здесь Шумера и Аккада, также весьма могущественных держав, изобретения и научные достижения предшественников помогли вавилонянам стать развитой и прогрессирующей расой.

Система счисления Вавилонского царства

При первом взгляде на вавилонские числа сразу возникает ассоциация с римскими, так как принцип их записи практически идентичен, и при этом куда более простой. В системе используется всего два знака: прямой клинок, обозначающий единицы, и лежачий клинок, который оценивают в десяток.

Для записи цифр от 1 до 9 используется только первый символ, а для всех последующих показателей применяется та или иная комбинация двух клиньев. Важно отметить, что была шестидесятеричной и делилась на соответствующие разряды, и это неслучайно. Шестеричным делением Вавилон обязан шумерам, а наличием десятка - аккадцам. В дальнейшем вавилонские числа продублированы арабскими, римскими и греческими и стали основой времяисчисления. С тех пор мы делим час на 60 минут, а каждую минуту на 60 секунд.

Трудности в вавилонской математике

Как мы видим на таблице, в Древнем Вавилоне оканчивался на 59, так как система была шестидесятеричной. Но ведь столь развитая цивилизация не могла ограничиваться лишь таким объемом цифр? Совершенно верно. Вавилонская нумерация чисел предполагала огромные показатели, которые сегодня мы называем трех-, четырех- и пятизначными.

Как пример возьмем отрезок от 60 до 120. Для цифры 60 применялся тот же клинок, что и для единицы, только большего размера. После него оставляли большой пробел и далее записывали остальную часть числа. Это со временем стало порождать путаницу, с которой порой не могли разобраться даже сами древние пользователи. Можно только гадать, как ломали мозг эксперты, которые расшифровывали подобные артефакты. Кроме того, вавилоняне не имели нуля, а это значительно упростило бы запись сложных чисел.

От путаницы к порядку

Чтобы узнать вавилонские числа в ряде других систем исчисления, достаточно запомнить два знака. Чтобы правильно прочитать их и определить значение, необходимо ознакомиться с принципом позиционности. Для нас в этом нет ничего сложного, так как в современном мире существует единая позиционная система. Суть ее заключается в том, что место той или иной цифры влияет на значимость числа. Согласитесь, если мы меняем местами 1 и 7 в числе 17, то результат становится совсем иным. Но для древних народов это не было столь очевидным, так как ранее позиция цифры в числе не имела значения. Вавилоняне первыми в истории человечества поняли, что нет необходимости создавать множество знаков, записывая их хаотично. Достаточно будет двух, значение которых будет зависеть от позиции.

Вавилонские «тетрадки»

В государствах между Тигром и Евфратом не только правители, но и простые люди были весьма образованными, но для полной гармонии им не хватало одного элемента - бумаги. В Египте вместо нее использовали папирус, на котором рисовали древние иероглифы и значки, а вавилонская запись чисел и букв-картинок велась на глиняных табличках.

Такая техника называется клинописью, и суть ее заключается в том, что пока глина мягкая, заточенным деревянным клинком на ней выводятся необходимые символы, которые впоследствии застывают. Таблички были различной величины, толщины и качества. В зависимости от этих показателей на них записывали законы и указы, научные труды, или же рассказы простых людей, их наблюдения и случаи из жизни.

История и наука

В наши дни прослеживается четкое разделение профессий на технические, подразумевающие знание математики, физики и прочих и гуманитарные, где главную роль играют языки, литература, история и философия. Когда существовали и развивались древние цивилизации, все эти отрасли не просто тесно переплетались между собой, но и формировали единое целое, что позволяло людям получать новые знания. Выше мы уже затрагивали такую тему, как история математики, и хотелось бы раскрыть еще пару моментов.

Именно потому, что Восточному Древнему миру выпала честь быть колыбелью мировой цивилизации, он был вынужден просчитать буквально все. Достаточно рано там появилась экономика, которая строилась на таких элементах, как числовой ряд и операции с цифрами. Велись подсчеты зерна и круп, измерялись площади полей, просчитывались массы и параметры построек. Активно развивалась также астрономия. Для дальнейшего продвижения работ в этой области были разработаны первые формулы, по которым высчитывались расстояния до видимых звезд и планет. Некоторые из них ученые до сих пор используют в неизменном формате.

Сегодня мы говорим, что математика - основа физики, химии и астрономии, но на самом деле она возникла на фундаменте данных уже существующих наук, так как была необходимостью.

Untitled Document

ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

Задание 14.

Представьте себе монету достоинством 50 к. и футбольный мяч. Мысленно прикиньте, во сколько раз диаметр мяча больше диаметра монеты. (Для проверки ответа см. таблицу 13 .)

Ответ

Задание 15.

а) Толщина волоса равна 0,1 мм. Выразите эту толщину в см, м, мкм, нм.

б) Длина одной из бактерий равна 0,5 мкм. Сколько таких бактерий уложилось бы вплотную на длине 0,1 мм, 1 мм, 1 см?

Решение и ответ

Задание 16.

В Древнем Вавилоне за единицу длины принимали расстояние, которое проходил взрослый человек за время выхода диска Солнца из-за горизонта. Эта единица называлась стадием. Могла ли такая единица длины быть точной? Ответ объясните.

Ответ

Задание 18.

На рисунке 2 показано, как можно измерить диаметр шара. Определите его. Пользуясь указанным методом, определите диаметр мяча, которым вы играете.

Рис.2

Ответ

Задание 19.

На рисунке 3 показаны части брусков и линеек. Левые концы брусков совпадают с нулевыми отметками линеек, что на рисунке не показано, а правые концы относительно числовых отметок шкалы расположены так, как показано на рисунке. Определите на глаз длину каждого бруска, если цена деления линеек 1 см.

Рис.3

Ответ

Задание 20.

С какой точностью вы можете измерить длины небольших предметов линейками, изображенными на рисунке 4, а, б. в. г?

Рис.4

Ответ

Задание 21.

Чтобы определить диаметр проволоки, ученик намотал вплотную на карандаш 30 витков, которые заняли часть карандаша длиной 3 см (рис. 5). Определите диаметр проволоки.

Рис.5

Ответ

Задание 22.

Определите длину окружности головки винта или гвоздя один раз способом, изображенным на рисунке 6, другой раз - измеряя диаметр и умножая его на число

Результаты измерения сравните и запишите в тетради.

Рис.6

Ответ

Задание 23.

Возьмите несколько одинаковых монет, сложите их так, как показано на рисунке 7, и измерьте линейкой, имеющей цену деления 1 мм, толщину получившейся стопки. Определите толщину одной монеты. В каком случае толщина одной монеты будет измерена более точно: с малым или большим числом монет?

Рис.7

Ответ

Задание 24.

Как с помощью измерительной линейки определить средние диаметры мелких однородных предметов, например зерен пшена, чечевицы, булавочных головок, зерен мака и т. п.?

Задание 25.

а) При строительстве дома уложили железобетонную плиту длиной 5,8 м и шириной 1,7 м. Определите площадь, которую заняла эта плита,

Б) В любом цирке мира диаметр арены равен 13 м. Какую площадь в цирке занимает арена?

Решение и ответ

Задание 26.

Какой длины будет полоса, состоящая из кусочков площадью 1 см 2 , вырезанных из листа площадью 1 м 2 ?

Решение и ответ

Задание 27.

Измерив диаметр круга, изображенного на рисунке 8, вычислите его площадь. Определите площадь круга, подсчитав в нем квадратики. Сравните полученные вами численные результаты.