Trong một thí nghiệm ngẫu nhiên, một đồng xu đối xứng được tung hai lần. Toán học và chúng ta Trong một thí nghiệm ngẫu nhiên, một đồng xu đối xứng được tung lên

Xây dựng vấn đề: Trong một thí nghiệm ngẫu nhiên, một đồng xu đối xứng được tung hai lần. Tìm xác suất để mặt ngửa (sấp) không xuất hiện dù chỉ một lần (sẽ xuất hiện chính xác/ít nhất 1, 2 lần).

Bài toán nằm trong đề thi Thống nhất Toán cấp độ cơ bản lớp 11 dưới số 10 (Định nghĩa cổ điển về xác suất).

Hãy xem cách giải quyết những vấn đề như vậy bằng cách sử dụng các ví dụ.

Ví dụ nhiệm vụ 1:

Trong một thí nghiệm ngẫu nhiên, một đồng xu đối xứng được tung hai lần. Tìm xác suất để mặt ngửa không xuất hiện dù chỉ một lần.

OO HOẶC RO RR

Tổng cộng có 4 tổ hợp như vậy, chúng tôi chỉ quan tâm đến những tổ hợp không có một con đại bàng nào. Chỉ có một sự kết hợp như vậy (PP).

P = 1/4 = 0,25

Đáp án: 0,25

Ví dụ nhiệm vụ 2:

Trong một thí nghiệm ngẫu nhiên, một đồng xu đối xứng được tung hai lần. Tìm xác suất để có được mặt ngửa đúng hai lần.

Hãy xem xét tất cả các kết hợp có thể xảy ra nếu một đồng xu được tung hai lần. Để thuận tiện, chúng tôi sẽ biểu thị phần đầu bằng chữ O và phần đuôi bằng chữ P:

OO HOẶC RO RR

Tổng cộng có 4 sự kết hợp như vậy, chúng tôi chỉ quan tâm đến những kết hợp có đầu xuất hiện đúng 2 lần. Chỉ có một sự kết hợp như vậy (OO).

P = 1/4 = 0,25

Đáp án: 0,25

Ví dụ nhiệm vụ 3:

Trong một thí nghiệm ngẫu nhiên, một đồng xu đối xứng được tung hai lần. Tìm xác suất để mặt ngửa xuất hiện đúng một lần.

Hãy xem xét tất cả các kết hợp có thể xảy ra nếu một đồng xu được tung hai lần. Để thuận tiện, chúng tôi sẽ biểu thị phần đầu bằng chữ O và phần đuôi bằng chữ P:

OO HOẶC RO RR

Tổng cộng có 4 sự kết hợp như vậy, chúng tôi chỉ quan tâm đến những kết hợp mà mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần. Chỉ có hai sự kết hợp như vậy (OR và RO).

Đáp án: 0,5

Ví dụ nhiệm vụ 4:

Trong một thí nghiệm ngẫu nhiên, một đồng xu đối xứng được tung hai lần. Tìm xác suất để mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần.

Hãy xem xét tất cả các kết hợp có thể xảy ra nếu một đồng xu được tung hai lần. Để thuận tiện, chúng tôi sẽ biểu thị phần đầu bằng chữ O và phần đuôi bằng chữ P:

OO HOẶC RO RR

Tổng cộng có 4 sự kết hợp như vậy, chúng tôi chỉ quan tâm đến những kết hợp có đầu xuất hiện ít nhất một lần. Chỉ có ba sự kết hợp như vậy (OO, OP và RO).

P = 3/4 = 0,75

Mô tả bài thuyết trình theo từng slide:

1 slide

Mô tả trang trình bày:

Giải các bài toán trong lý thuyết xác suất. Giáo viên toán trường trung học MBU Nivnyanskaya, Nechaeva Tamara Ivanovna

2 cầu trượt

Mô tả trang trình bày:

Mục tiêu bài học: xét các dạng bài toán khác nhau trong lý thuyết xác suất và phương pháp giải chúng. Mục tiêu của bài học: dạy học sinh nhận biết các loại bài toán trong lý thuyết xác suất và rèn luyện tư duy logic cho học sinh.

3 cầu trượt

Mô tả trang trình bày:

Bài 1. Trong một thí nghiệm ngẫu nhiên, một đồng xu đối xứng được tung 2 lần. Tìm xác suất để bạn có được số mặt ngửa và mặt sấp bằng nhau.

4 cầu trượt

Mô tả trang trình bày:

Bài 2. Một đồng xu được tung bốn lần. Tìm xác suất để bạn không bao giờ được mặt ngửa.

5 cầu trượt

Mô tả trang trình bày:

Bài 3. Trong một thí nghiệm ngẫu nhiên, một đồng xu đối xứng được tung hai lần. Tìm xác suất để mặt ngửa xuất hiện đúng một lần. Lời giải: Để tìm xác suất của một sự kiện xác định, cần xét tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử, sau đó chọn ra các kết quả thuận lợi từ chúng (kết quả thuận lợi là kết quả thỏa mãn yêu cầu của bài toán). Trong trường hợp của chúng ta, những kết quả thuận lợi sẽ là những kết quả trong đó, khi tung đồng xu đối xứng hai lần, mặt ngửa chỉ xuất hiện một lần. Xác suất của một sự kiện được tính bằng tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi trên tổng số kết quả. Do đó, xác suất khi ném một đồng xu đối xứng hai lần, mặt đầu sẽ chỉ xuất hiện một lần là: P = 2/4 = 0,5 = 50% Đáp án: xác suất mà kết quả của thí nghiệm trên là mặt đầu sẽ chỉ xuất hiện một lần là 50%. Số thí nghiệm Lần ném đầu tiên Lần ném thứ 2 Số lần ngửa 1 Ngửa Ngửa 2 2 Ngửa Đuôi 0 3 Ngửa Đuôi 1 4 Ngửa Ngửa 1

6 cầu trượt

Mô tả trang trình bày:

Bài 4. Xúc xắc được tung một lần. Xác suất để số điểm lăn được lớn hơn 4 là bao nhiêu. Giải pháp: Thí nghiệm ngẫu nhiên - ném xúc xắc. Sự kiện cơ bản là số ở phía bị bỏ. Đáp án: 1/3 Tổng số mặt: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Sự kiện cơ bản: N=6 N(A)=2

7 cầu trượt

Mô tả trang trình bày:

Bài 5. Một vận động viên biath bắn vào mục tiêu năm lần. Xác suất bắn trúng mục tiêu trong một lần bắn là 0,8. Tìm xác suất để vận động viên hai môn phối hợp bắn trúng mục tiêu trong ba lần đầu tiên và bắn trượt hai lần cuối cùng. Làm tròn kết quả đến hàng trăm. Giải: Xác suất trúng đích = 0,8 Xác suất trúng đích = 1 - 0,8 = 0,2 A = (đánh, trúng, trúng, trượt, trượt) Theo công thức nhân xác suất P(A) = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 P (A) = 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02 Đáp án: 0,02

8 trượt

Mô tả trang trình bày:

Bài 6. Trong một phép thử ngẫu nhiên, người ta tung hai con xúc xắc. Tìm xác suất để tổng số điểm được rút ra là 6. Làm tròn câu trả lời đến hàng trăm gần nhất Giải: Kết quả cơ bản trong thí nghiệm này là một cặp số có thứ tự. Số đầu tiên sẽ xuất hiện trên xúc xắc đầu tiên, số thứ hai sẽ xuất hiện trên xúc xắc thứ hai. Thật thuận tiện khi biểu diễn nhiều kết quả cơ bản trong một bảng. Các hàng tương ứng với số điểm trên xúc xắc thứ nhất, các cột trên xúc xắc thứ hai. Tổng số sự kiện cơ bản là n = 36. Viết vào mỗi ô tổng số điểm rút ra và tô màu các ô có tổng bằng 6. Có 5 ô như vậy, nghĩa là sự kiện A = ( tổng số điểm rút được là 6) được ưu tiên bởi 5 kết quả cơ bản. Do đó, m = 5. Do đó, P(A) = 5/36 = 0,14. Trả lời: 0,14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12

Trang trình bày 9

Mô tả trang trình bày:

Công thức xác suất Định lý Gieo một đồng xu n lần. Khi đó, xác suất xuất hiện chính xác k lần có thể được tính bằng công thức: Trong đó Cnk là số tổ hợp của n phần tử trong k, được tính bằng công thức:

10 slide

Mô tả trang trình bày:

Bài 7. Một đồng xu được tung bốn lần. Tìm xác suất để có được mặt ngửa đúng ba lần. Giải Theo điều kiện của bài toán, có tổng cộng n = 4 lần ném. Số lượng đại bàng cần thiết: k =3. Chúng ta thay n và k vào công thức: Với cùng thành công, chúng ta có thể đếm được số mặt ngửa: k = 4 − 3 = 1. Câu trả lời sẽ giống nhau. Đáp án: 0,25

11 slide

Mô tả trang trình bày:

Bài 8. Một đồng xu được tung ba lần. Tìm xác suất để bạn không bao giờ được mặt ngửa. Lời giải Ta viết lại các số n và k. Vì đồng xu được tung 3 lần nên n = 3. Và vì không có mặt ngửa nên k = 0. Việc thay các số n và k vào công thức vẫn là: Để tôi nhắc bạn rằng 0! = 1 theo định nghĩa. Do đó C30 = 1. Đáp án: 0,125

12 trượt

Mô tả trang trình bày:

Bài 9. Trong một thí nghiệm ngẫu nhiên, một đồng xu đối xứng được tung 4 lần. Tìm xác suất để mặt ngửa xuất hiện nhiều lần hơn mặt sấp. Giải: Để có nhiều mặt ngửa hơn mặt sấp thì chúng phải xuất hiện 3 lần (khi đó sẽ có 1 mặt sấp) hoặc 4 lần (khi đó sẽ không có mặt sấp nào cả). Hãy tìm xác suất của mỗi sự kiện này. Gọi p1 là xác suất ra mặt ngửa 3 lần. Khi đó n = 4, k = 3. Ta có: Bây giờ hãy tìm p2 - xác suất để mặt ngửa cả 4 lần. Trong trường hợp này, n = 4, k = 4. Chúng ta có: Để có câu trả lời, cần phải cộng các xác suất p1 và p2. Hãy nhớ rằng: bạn chỉ có thể thêm xác suất cho các sự kiện loại trừ lẫn nhau. Ta có: p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Đáp án: 0,3125

Trang trình bày 13

Mô tả trang trình bày:

Bài 10. Trước khi bắt đầu một trận đấu bóng chuyền, đội trưởng bốc thăm công bằng để xác định đội nào sẽ bắt đầu trận đấu với bóng. Đội “Stator” lần lượt thi đấu với các đội “Rotor”, “Motor” và “Starter”. Tìm xác suất để Stator chỉ bắt đầu trò chơi đầu tiên và trò chơi cuối cùng. Giải pháp. Bạn cần tìm xác suất để xảy ra ba sự kiện: “Stator” bắt đầu ván đầu tiên, không bắt đầu ván thứ hai và bắt đầu ván thứ ba. Xác suất của tích của các sự kiện độc lập bằng tích của xác suất của các sự kiện này. Xác suất của mỗi trường hợp đó là 0,5, từ đó chúng ta tìm được: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Trả lời: 0,125.

Trong các bài tập lý thuyết xác suất được trình bày trong Kỳ thi Thống nhất số 4, ngoài ra còn có các bài toán tung đồng xu và ném xúc xắc. Chúng ta sẽ xem xét chúng ngày hôm nay.

Vấn đề tung đồng xu

Nhiệm vụ 1. Một đồng xu đối xứng được tung hai lần. Tìm xác suất để mặt ngửa xuất hiện đúng một lần.

Trong những bài toán như vậy, sẽ thuận tiện hơn khi viết ra tất cả các kết quả có thể xảy ra, viết chúng bằng các chữ cái P (sấp) và O (ngửa). Vì vậy, kết quả của OP có nghĩa là ở lần ném đầu tiên nó ra mặt ngửa và ở lần ném thứ hai nó ra mặt sấp. Trong bài toán đang xét, có 4 kết quả có thể xảy ra: RR, RO, OR, OO. Sự kiện “sắp xuất hiện đúng một lần” được ưa chuộng bởi 2 kết quả: RO và OP. Xác suất cần thiết là bằng .

Trả lời: 0,5.

Nhiệm vụ 2. Một đồng xu đối xứng được tung ba lần. Tìm xác suất để nó rơi đúng hai lần.

Tổng cộng có 8 kết quả có thể xảy ra: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Sự kiện “đầu sẽ xuất hiện đúng hai lần” được ưa chuộng bởi 3 kết quả: ROO, ORO, OOR. Xác suất cần thiết là bằng .

Đáp án: 0,375.

Nhiệm vụ 3. Trước khi bắt đầu một trận đấu bóng đá, trọng tài tung đồng xu để xác định đội nào sẽ bắt đầu với quả bóng. Đội Emerald thi đấu ba trận với các đội khác nhau. Tìm xác suất để trong các trò chơi này “Emerald” sẽ thắng đúng một lần.

Nhiệm vụ này tương tự như nhiệm vụ trước. Giả sử mỗi lần hạ cánh có nghĩa là thắng lô với “Ngọc lục bảo” (giả định này không ảnh hưởng đến việc tính xác suất). Khi đó có 8 kết quả có thể xảy ra: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Sự kiện “sắp xuất hiện đúng một lần” được ưa chuộng bởi 3 kết quả: ROO, ORO, OOR. Xác suất cần thiết là bằng .

Đáp án: 0,375.

Vấn đề 4. Một đồng xu đối xứng được tung ba lần. Tìm xác suất để kết quả ROO xảy ra (lần đầu tiên là mặt ngửa, lần thứ hai và lần thứ ba mặt ngửa).

Như các nhiệm vụ trước, có 8 kết quả: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Xác suất xảy ra kết quả ROO là bằng .

Trả lời: 0,125.

Vấn đề về việc đổ xúc xắc

Nhiệm vụ 5. Xúc xắc được ném hai lần. Có bao nhiêu kết quả cơ bản của thí nghiệm ủng hộ biến cố “tổng số điểm là 8”?

Vấn đề 6. Hai con xúc xắc được ném cùng một lúc. Tìm xác suất để tổng số điểm là 4 điểm. Làm tròn kết quả đến hàng trăm.

Nói chung, nếu ném xúc xắc thì sẽ có những kết quả có thể xảy ra như nhau. Số kết quả như nhau sẽ đạt được nếu cùng một con súc sắc được tung ra nhiều lần liên tiếp.

Biến cố “tổng số là 4” có kết quả như sau: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1. Số của chúng là 3. Xác suất yêu cầu là .

Để tính giá trị gần đúng của một phân số, thuận tiện nhất là sử dụng phép chia góc. Như vậy, xấp xỉ bằng 0,083..., làm tròn đến hàng trăm gần nhất ta có 0,08.

Đáp án: 0,08

Vấn đề 7. Ba con xúc xắc được ném cùng một lúc. Tìm xác suất để tổng số đó được 5 điểm. Làm tròn kết quả đến hàng trăm.

Kết quả sẽ được coi là ba con số: số điểm lăn trên xúc xắc thứ nhất, thứ hai và thứ ba. Có tất cả các kết quả có thể xảy ra như nhau. Các kết quả sau đây có lợi cho sự kiện “tổng 5”: 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1. Số của chúng là 6. Xác suất cần tìm là . Để tính giá trị gần đúng của một phân số, thuận tiện nhất là sử dụng phép chia góc. Khoảng chúng ta nhận được 0,027..., làm tròn đến phần trăm, chúng ta có 0,03. Nguồn “Chuẩn bị cho kỳ thi Thống nhất. Toán học. Lý thuyết xác suất”. Được chỉnh sửa bởi F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova