Условная вероятность. Теория вероятностей. Решение задач (2020) Короли в тузы

Индивидуальные задания по математике

Задача 1

В урне 6 белых шаров, 11 – черных. Одновременно наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут:

Решение

1) Вероятность того, что один из вытащенных шаров будет белым равна количеству шансов вытащить белый шар из всей суммы шаров, находящихся в урне. Этих шансов ровно столько сколько белых шаров в урне, а сумма всех шансов равна сумме белых и черных шаров.

Вероятность того, что второй из вытащенных шаров также будет белым равна

Так как один из белых шаров уже вытащен.

Таким образом, вероятность того, что оба вытащенных из урны шара будут белыми равна произведению этих вероятностей, так как эти возможности независимы:

или два черных шара:

3) Вероятность того, что оба вытащенных шара будут разных цветов это – вероятность того, что первый шар будет белым, а второй черными или того, что первый шар будет черным, а второй – белым. Она равна сумме соответствующих вероятностей.

Ответ: 1)

Задача 2

В первой урне 6 белых шаров, 11 – черных, во второй – 5 белых и 2 – черных. Из каждой из урн наугад вынимают по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут:

1) белыми, 2) одного цвета, 3) разных цветов.

Решение

1) Вероятность того, что оба шара будут белыми равна произведению вероятности того, что шар вытащенный из первой урны будет белым на вероятность того, что шар вытащенный из второй урны также окажется белым:

2) Вероятность того, что оба вытащенных шара будут одного цвета это – вероятность того, что оба шара будут либо белыми, либо черными. Она равна сумме вероятностей - вытащить два белых шара или два черных шара:

3) Вероятность того, что шар, вытащенный из первой урны будет белым, а шар, вытащенный из второй урны – черным, или наоборот – первый шар будет черным, а второй – белым, равна сумме соответствующих вероятностей:

Ответ: 1)

Задача 3

Среди 24 лотерейных билетов – 11 выигрышных. Найти вероятность того, что по крайней мере один из 2-х купленных билетов будет выигрышным.

Решение

Вероятность того, что хотя бы один из 24-х купленных билетов окажется выигрышным, равна разности между единицей и вероятностью того, что ни один из купленных билетов не будет выигрышным. А вероятность того, что ни один из купленных билетов не будет выигрышным равна произведению вероятности того, что первый из билетов не будет выигрышным на вероятность того, что и второй билет не будет выигрышным:

Отсюда, вероятность того, что хотя бы один из 24-х купленных билетов окажется выигрышным:

Ответ:

Задача 4

В ящике 6 деталей первого сорта, 5 – второго и 2 – третьего. Наугад берутся две детали. Какова вероятность того, что они обе будут одного сорта?

Решение

Искомая вероятность это – вероятность того, что обе детали будут или 1-го или 2-го или 3-го сорта и равна сумме соответствующих вероятностей:

Вероятность, что обе взятые детали окажутся первого сорта:

Вероятность, что обе взятые детали окажутся второго сорта:

Вероятность, что обе взятые детали окажутся третьего сорта:

Отсюда вероятность вытащить 2 детали одного сорта равна:

Ответ:

Задача 5

В течение часа 0 ≤ t ≤ 1 (t – время в часах) на остановку прибывает один и только один автобус.

Решение

Автобус может прибыть в любой момент t, где 0 ≤ t ≤ 1 (где t – время в часах) или, что то же самое, 0 ≤ t ≤ 60 (где t – время в минутах).

Пассажир прибывает в момент t = 0 и ожидает не более 28 минут.

Возможности прибытия автобуса на станцию в течение этого времени или в течение остальных 32 минут равновероятны, поэтому вероятность того, что пассажиру, прибывшему на эту остановку в момент времени t = 0, придётся ожидать автобус не более 28 минут равна

Ответ:

Задача 8

Вероятность попадания первым стрелком в мишень равна 0,2 , вторым – 0,2 и третьим – 0,2. Все три стрелка одновременно произвели выстрел. Найти вероятность того, что:

1) только один стрелок попадёт в мишень;

2) два стрелка попадут в мишень;

3) хотя бы один попадет в мишень.

Решение

1) Вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень равна вероятности попадания в мишень первым стрелком и промаха вторым и третьим или попадания в мишень вторым стрелком и промаха первым и третьим или попадания в мишень третьим стрелком и промаха первым и вторым, а значит равна сумме соответствующих вероятностей.

Вероятность того, что первый стрелок попадёт в мишень, а второй и третий – промахнутся равна произведению этих вероятностей:

Аналогичные вероятности попадания вторым стрелком в мишень и промаха первым и третьим, а также попадания третьим и промаха первым и вторым:

Отсюда, искомая вероятность:

2) Вероятность того, что два стрелка попадут в мишень равна вероятности попадания в мишень первым и вторым стрелком и промаха третьим или попадания в мишень первым и третьим стрелком и промаха вторым или попадания в мишень вторым и третьим стрелком и промаха первым, а значит равна сумме соответствующих вероятностей.

Вероятность того, что первый и второй стрелки попадут в мишень, а третий – промахнётся равна произведению этих вероятностей:

Аналогичные вероятности попадания первым и третьим стрелком в мишень и промаха вторым, а также попадания вторым и третьим и промаха первым.

Если вы играете в покер продолжительное время, то могли заметить, что иногда за столами происходят раздачи, которые кажутся далекими от реальности и не поддаются математическим законам. В этом материале мы расскажем вам о покерных вероятностях различного характера.

Теория вероятности играет в покере огромное значение. Покер – это игра, которая основана на шансах, вероятностях и . Игнорирование и незнание покерной математики в конце концов приведет любого незадачливого игрока к финансовому краху. На коротком промежутке времени удача может играть важную роль, но чем дольше вы будете играть, тем важнее становятся покерные математические вероятности.

В большинстве случаев вы можете определить свои шансы, используя элементарную арифметику, а также благодаря специальным и . Понимание покерных вероятностей позволит вам выигрывать чаще игроков, которые слепо надеются на удачу.

Префлоп вероятности

Игроки не играют в покер «в вакууме», каждый игрок должен отталкиваться от диапазона своего оппонента и рассчитывать свои шансы на победы исключительно против конкретного соперника. В таблице ниже мы приведем вам вероятности на победу против различных диапазонов рук.

Вероятности определенных префлоп ситуаций

Постфлоп вероятности

Теперь давайте рассмотрим вероятность различных событий при розыгрыше различных .

Новички часто переоценивают ценность стартовых рук, например, . Как вы можете заметить, мастевые карты не попадают во флеш достаточно часто. Также и карманные пары попадают в сет лишь в 12% случаев, поэтому разыгрывать маленькие карманные карты не всегда выгодно.

Вероятности покерных комбинаций

В этой части материала мы расскажем вам о математических вероятностях на составление различных .

Как вы можете видеть, роял-флеш - это самая редкая и самая сильная покерная комбинация. Вероятность собрать роял-флеш в покере равна 1 к 649 740. Шанс поймать эту комбинацию с флопа, имея карманные бродвейные карты, равна 0,0008%. Если на доске лежит потенциальный роял-флеш, то вероятность, что он соберется на терне равна 2%, а до ривера - 4%.

Вероятности кулеров

Кулер – это ситуация за покерным столом, когда игрок проигрывает раздачу не из-за собственных ошибок, а из-за неудачного стечения обстоятельств и более сильной руки оппонента. Это классический , который используют в своем лексиконе профессиональные покеристы.

Короли в тузы

С тузами вам нечего бояться до флопа, но если вы получили карманных королей, то всегда можно опасаться тузов у соперников. Но будут ли такие кулера происходить достаточно часто. Если вы играете хедз-ап, то ваш оппонент получит карманных тузов лишь один раз из 220 рук. Но за фулл-ринг столом против 8 оппонентов шансы на то, что кто-то получит тузов против ваших карманных королей намного выше. Вероятность этого события составляет 1 к 25.

Дамы в короли (тузы)

Дамы являются намного более уязвимой рукой, чем короли. Чаще всего вы будете впереди с ними префлопе, но не отбрасывайте вероятность того, что кто-то из ваших оппонентов получил королей или тузов. За полным столом вероятность этого события составляет 1 к 12. Рейз, ре-рейз и олл-ин перед вами свидетельствуют о том, что кто-то из ваших оппонентов получил монстра и вам лучше сбросить своих дам.

Важные вероятности для высоких карманных пар

Вероятность получить сет в сет

Теперь поговорим о ситуациях постфлоп кулеров. Как вы уже знаете, вероятность получить сет с карманной парой на флопе равна 12% или 1 к 8. Но событие, которого боится множество покеристов, это получить сет на флопе против сета сильнее. Если два игрока имеют карманную пару, то ситуация, при которой оба игрока попадут в сет на флопе, будет происходить один раз на сто флопов.

Вероятность получить каре в каре

Перейдем от сета к еще более сильной комбинации. Вероятность собрать каре, когда у вас карманная карта и сет с флопа равна 1 к 123.

Если вероятность получить сет в сет не слишком велика, то вероятность ситуации, когда в одной раздаче два игрока соберут каре равна 1 к 39 000 в хедз-апе и 1 к 313 000 раздач за полным столом. У большинства игроков в покер это событие произойдет лишь один раз за всю карьеру.

Уверенное знание покерных шансов и вероятностей поможет вам выгодно перестраивать и тактику вовремя игры, а само понимание математических принципов даст вам эмоциональную стабильность, чтобы играть в свою лучшую игру.

Пример 1. В первой урне: три красных, один белый шара. Во второй урне: один красный, три белых шара. Наугад бросают монету: если герб – выбирают из первой урны, в противном случае– из второй.
Решение:
а) вероятность того, что достали красный шар
A – достали красный шар
P 1 – выпал герб, P 2 - иначе

b) Выбран красный шар. Найти вероятность того, что он взят из первой урны, из второй урны.
B 1 – из первой урны, B 2 – из второй урны
,

Пример 2. В ящике 4 шара. Могут быть: только белые, только черные или белые и черные. (Состав неизвестен).
Решение:
A – вероятность появления белого шара
а) Все белые:
(вероятность того, что попался один из трех вариантов, где есть белые)
(вероятность появления белого шара, где все белые)

б) Вытащили, где все черные



в) вытащили вариант, где все белые или/и черные

- хотя бы один из них белый

P а +P б +P в =

Пример 3 . В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение:
5 белых, 4 черных шара
P(A 1) – вынули белый шар

P(A 2) – вероятность того, что второй шар тоже белый

P(A) – подряд выбрали белые шары

Пример 3а . В пачке 2 фальшивых и 8 настоящих денежных купюр. Из пачки вытянули 2 купюры подряд. Найти вероятность что обе они фальшивые.
Решение:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

Пример 4. Имеется 10 урн. В 9 урнах по 2 черных и 2 белых шара. В 1 урне 5 белых и 1 черный. Из урны, взятой наугад, вынули шар.
Решение:
P(A) - ? белый шар взят из урны, где 5 белых
B – вероятность того, что вынули из урны, где 5 белых
, - вынули из других
C 1 – вероятность появления белого шара в 9 ур.

С 2 – вероятность появления белого шара, где их 5

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Пример 5. 20 цилиндрических валиков и 15 конусообразных. Сборщик берет 1 валик, а затем еще один.
Решение:
а) оба валика цилиндрические
P(Ц 1)=; P(Ц 2)=
Ц 1 – первый цилиндр, Ц 2 – второй цилиндр
P(A)=P(Ц 1)P(Ц 2) =
б) Хотя бы один цилиндр
K 1 – первый конусообр.
K 2 - второй конусообр.
P(B)=P(Ц 1)P(K 2)+P(Ц 2)P(K 1)+P(Ц 1)P(Ц 2)
;

с) первый цилиндр, а второй нет
P(C)=P(Ц 1)P(K 2)

д) Ни один цилиндр.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

е) Ровно 1 цилиндр
P(E)=P(Ц 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Пример 6. В ящике 10 стандартных деталей и 5 бракованных.
Наугад извлекают три детали
а) Из них одна бракованная
P n (K)=C n k ·p k ·q n-k ,
P – вероятность бракованных изделий

q – вероятность стандартных деталей

n=3, три детали


б) две из трех деталей бракованных P(2)
в) хотя бы одна стандартная
P(0)-нет бракованных

P=P(0)+ P(1)+ P(2) - вероятность того, что хотя бы одна деталь окажется стандартной

Пример 7 . В 1-й урне по 3 белых и черных шара, а во 2-й - 3 белых и 4 черных. Из 1-й урны во 2-ю не глядя перекладывают 2 шара, а затем из 2-й вытягивают 2 шара. Какова вероятность, что они разных цветов?
Решение:
При перекладывании шаров из первой урны возможны следующие варианты:
а) вынули за подряд 2 белых шара
P ББ 1 =
На втором шаге всегда будет на один шар меньше, поскольку на первом шаге уже вынули один шар.
б) вынули один белый и один черный шар
Ситуация, когда первым вынули белый шар, а потом черный
P БЧ =
Ситуация, когда первым вынули черный шар, а потом белый
P ЧБ =
Итого: P БЧ 1 =
в) вынули за подряд 2 черных шара
P ЧЧ 1 =
Поскольку из первой урны переложили во вторую урну 2 шара, то общей количество шаров во второй урне будет 9 (7 + 2). Соответственно, будем искать все возможные варианты:
а) из второй урны вынули сначала белый, потом черный шар

P БЧ 2 P ББ 1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны за подряд вынули 2 белых шара. Именно поэтому количество белых шаров в этом случае равно 5 (3+2).
P БЧ 2 P БЧ 1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны вынули белый и черный шары. Именно поэтому количество белых шаров в этом случае равно 4 (3+1), а черных шаров равно пяти (4+1).
P БЧ 2 P ЧЧ 1 - означает вероятность того, что вынули сначала белый, потом черный шар при условии, что из первой урны вынули за подряд оба черных шара. Именно поэтому количество черных шаров в этом случае равно 6 (4+2).

Вероятность того, что извлеченные 2 шара окажутся разных цветов, равна:

Ответ: P = 0.54

Пример 7а . Из 1-ой урны, содержащей 5 белых и 3 черных шара наугад переложили 2 шара во 2-ую урну, содержащую 2 белых и 6 черных шаров. Затем из 2-ой урны наугад извлекли 1 шар.
1) Какова вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым?
2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым. Вычислите вероятность того, что из 1-ой урны во 2-ую были переложены шары разного цвета.
Решение.
1) Событие А - извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым. Рассмотрим следующие варианты наступления этого события.
а) Из первой урны во вторую положили два белых шара: P1(бб) = 5/8*4/7 = 20/56.
Всего во второй урне 4 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
б) Из первой урны во вторую положили белый и черный шары: P1(бч) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Всего во второй урне 3 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
в) Из первой урны во вторую положили два черных шара: P1(чч) = 3/8*2/7 = 6/56.
Всего во второй урне 2 белых шара. Тогда вероятность извлечения белого шара из второй урны равна P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Тогда вероятность того, что извлеченный из 2-ой урны шар оказался белым равна:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Шар извлеченный из 2-ой урны оказался белым, т.е. полная вероятность равна P(A)=13/32.
Вероятность того, что во вторую урну были переложены шары разного цвета (черный и белый) и был выбран белый: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2(3)/ P(A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Пример 7б . В первой урне 8 белых и 3 черных шара, во второй 5 белых и 3 черных. Из первой наудачу выбирают один шар, а из второй два шара. После этого из выбранных трех шаров наудачу берут один шар. Этот последний шар оказался черным. Найти вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар.
Решение.
Рассмотрим все варианты события А – из трех шаров, вынутый шар оказался черным. Каким образом могло произойти, что среди трех шаров оказался черный?
а) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два белых шара.
P1 = (3/11)(5/8*4/7) = 15/154
б) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули два черных шара.
P2 = (3/11)(3/8*2/7) = 9/308
в) Из первой урны вынули черный шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
г) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули два черных шара.
P4 = (8/11)(3/8*2/7) = 6/77
д) Из первой урны вынули белый шар, из второй урны вынули один белый и один черный шара.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Полная вероятность равна: P = P1+P2+ P3+P4+P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Вероятность того, что из белой урны был выбран белый шар, равна:
Pб(1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Тогда вероятность того, что из первой урны был выбран белый шар при условии, что из трех шаров был выбран черный, равна:
Pч = Pб(1)/P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Пример 7в . В первой урне 12 белых и 16 черных шаров, во второй 8 белых и 10 черных. Одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару, перемешивают и возвращают по одному в каждую урну. Затем из каждой урны вытаскивают по шару. Они оказались одного цвета. Определить вероятность того, что в 1-ой урне осталось столько же белых шаров, сколько было в начале.

Решение.
Событие А - одновременно из 1-ой и 2-ой урны вытаскивают по шару.
Вероятность вытащить белый шар из первой урны: P1(Б) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Вероятность вытащить черный шар из первой урны: P1(Ч) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Вероятность вытащить белый шар из второй урны: P2(Б) = 8/18 = 4/9
Вероятность вытащить черный шар из второй урны: P2(Ч) = 10/18 = 5/9

Событие А произошло. Событие В - из каждой урны вытаскивают по шару. После перемешивания, вероятность возвращения шара в урну белого или черного шара равна ½.
Рассмотрим варианты события В - они оказались одного цвета.

Для первой урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Для второй урны
1) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ББ/А=Б) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) в первую урну положили белый шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) в первую урну положили белый шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) в первую урну положили черный шар, и вытащили белый, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен белый шар, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) в первую урну положили черный шар, и вытащили черный, при условии, что ранее был вытащен черный шар, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Шары оказались одного цвета:
а) белые
P1(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 9/98 + 13/98 + 33/392 + 6/49 = 169/392
P2(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 2/21+1/7+1/12+8/63 = 113/252
б) черный
P1(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) = 6/49 + 15/98 + 51/392 + 8/49 = 223/392
P2(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) =5/42+1/7+11/84+10/63 = 139/252

P = P1(Б)* P2(Б) + P1(Ч)* P2(Ч) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Пример 7г . В первом ящике 5 белых и 4 синих шарика, во втором 3 и 1, а в третьем - 4 и 5 соответственно. Наугад выбран ящик и из него вытащенный шарик, оказался синий. Какова вероятность того, что этот шарик со второго ящика?

Решение.
A - событие извлечения синего шарика. Рассмотрим все варианты исхода такого события.
H1 - вытащенный шарик из первого ящика,
H2 - вытащенный шарик из второго ящика,
H3 - вытащенный шарик из третьего ящика.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Согласно условию задачи условные вероятности события А равны:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1/3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Вероятность того, что этот шарик со второго ящика равна:
P2 = P(H2)*P(A|H2) / P(A) = 1/3*1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2

Пример 8 . В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 красных шаров (это ящик состава H1), в шести других ящиках с 20 шарами в каждом - по 4 красных шара (это ящик состава H2). Найти вероятность того, что наугад взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков.
Решение: Задача на применение формулы полной вероятности.

Пример 9 . В урне находятся 2 белых, 3 черных и 4 красных шаров. Наудачу вынимают три шара. Какова вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета?
Решение. Всего возможны три варианта исхода событий:
а) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два белых.
P б (2) = P 2б
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 шара из 9:

Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 белых.

Количество вариантов выбора из 2 белых шаров:

Количество вариантов выбора из 7 других шаров третий шар:

б) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два черных (т.е. или 2 черных или 3 черных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 черных.

Количество вариантов выбора из 3 черных шаров:

Количество вариантов выбора из 6 других шаров одного шара:


P 2ч = 0.214
Найдем вероятность того, что все выбранные шары черные.

P ч (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

в) среди трех вытащенных шаров оказалось хотя бы два красных (т.е. или 2 красных или 3 красных).
Найдем вероятность того, что среди выбранных 3 шаров 2 красных.

Количество вариантов выбора из 4 черных шаров:

Количество вариантов выбора из 5 белых шаров остальные 1 белых:


Найдем вероятность того, что все выбранные шары красные.

P к (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Тогда вероятность, что хотя бы два шара будут одного цвета равна: P = P б (2) + P ч (2) + P к (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

Пример 10 . В первой урне содержится 10 шаров, из них 7 белых; во второй урне 20 шаров, из них 5 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.
Решение. Вероятность того, что из первой урны извлекли белый шар, равна P(б)1 = 7/10. Соответственно, вероятность извлечения черного шара равна P(ч)1 = 3/10.
Вероятность того, что из второй урны извлекли белый шар, равна P(б)2 = 5/20 = 1/4. Соответственно, вероятность извлечения черного шара равна P(ч)2 = 15/20 = 3/4.
Событие А - из двух шаров взят белый шар
Рассмотрим варианты исхода события А.

1. из первой урны вытащили белый шар, из второй урны вытащили белый шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P1 = 7/10*1/4 = 7/40
2. из первой урны вытащили белый шар, из второй урны вытащили черный шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P2 = 7/10*3/4 = 21/40
3. из первой урны вытащили черный шар, из второй урны вытащили белый шар. Затем из этих двух шаров вытащили белый шар. P3 = 3/10*1/4 = 3/40

Пример 11 . В ящике n теннисных мячей. Из них игранных m . Для первой игры наудачу взяли два мяча и после игры их положили обратно. Для второй игры также наудачу взяли два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?
Решение. Рассмотрим событие А – игра во второй раз проводилась новыми мячами. Посмотрим какие события могут привести к этому.
Обозначим через g = n-m, количество новых мячей до вытаскивания.
а) для первой игры вытащили два новых мяча.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
б) для первой игры вытащили один новый мяч и один уже игранный.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
в) для первой игры вытащили два игранных мяча.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Рассмотрим события второй игры.
а) Вытащили два новых мяча, при условии P1: поскольку ранее для первой игры уже вытащили новые мячи, то для второй игры их количество уменьшилось на 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*g(g-1)/(n(n-1))
б) Вытащили два новых мяча, при условии P2: поскольку ранее для первой игры уже вытащили один новый мяч, то для второй игры их количество уменьшилось на 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1))
в) Вытащили два новых мяча, при условии P3: поскольку ранее для первой игры не использовали новых мячей, то для второй игры их количество не изменилось g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1))

Полная вероятность P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)
Ответ: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Пример 12 . В первом, втором и третьем ящиках находится по 2 белых и 3 черных шара, в четвертом и пятом по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик, если извлеченный шар - белый?
Решение .
Вероятность выбора каждого ящика равна P(H) = 1/5.
Рассмотрим условные вероятности события А - извлечения белого шара.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Полная вероятность извлечения белого шара:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
Условная вероятность, что выбран четвертый ящик
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Условная вероятность, что выбран пятый ящик
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Итого, условная вероятность, что выбран четвертый или пятый ящик равна
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

Пример 13 . В урне было 7 белых и 4 красных шара. Затем в урну положили ещё один шар белого или красного или черного цвета и после перемешивания вынули один шар. Он оказался красным. Какова вероятность, что был положен а) красный шар? б) черный шар?
Решение.
а) красный шар
Событие A - вытащили красный шар. Событие H - положили красный шар. Вероятность, того в урну был положен красный шар P(H=K) = 1 / 3
Тогда P(A|H=K)= 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
б) черный шар
Событие A - вытащили красный шар. Событие H - положили черный шар.
Вероятность, того в урну был положен черный шар P(H=Ч) = 1 / 3
Тогда P(A|H=Ч)= 1 / 3 * 4 / 12 = 1 / 9 = 0.111

Пример 14 . Имеются две урны с шарами. В одной 10 красных и 5 синих шаров, во второй 5 красных и 7 синих шаров. Какова вероятность того, что из первой урны наудачу будет вынут красный шар, а из второй синий?
Решение. Пусть событие A1 - из первой урны вынут красный шар; A2 - из второй урны вынут синий шар:
,
События A1 и A2 независимые. Вероятность совместного появления событий A1 и A2 равна

Пример 15 . Имеется колода карт (36 штук). Вынимаются наудачу две карты подряд. Какова вероятность того, что обе вынутые карты будут красной масти?
Решение. Пусть событие A 1 - первая вынутая карта красной масти. Событие A 2 - вторая вынутая карта красной масти. B - обе вынутые карты красной масти. Так как должны произойти и событие A 1 , и событие A 2 , то B = A 1 · A 2 . События A 1 и A 2 зависимые, следовательно, P(B) :
,
Отсюда

Пример 16 . В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8, 6 шаров. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?
Решение. Пусть индекс 1 означает белый цвет, индекс 2 - черный цвет; 3 - красный цвет. Пусть событие A i - из первой урны извлекли шар i-го цвета; событие B j - из второй урны извлекли шар j -го цвета; событие A - оба шара одного цвета.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3 . События A i и B j независимые, а A i · B i и A j · B j несовместные при i ≠ j . Следовательно,
P(A)=P(A 1)·P(B 1)+P(A 2)·P(B 2)+P(A 3)·P(B 3) =

Пример 17 . Из урны с 3-мя белыми и 2-мя черными шары вытаскиваются по одному до появления черного. Найдите вероятность того, что из урны будет вытащено 3 шара? 5 шаров?
Решение .
1) вероятность того, что из урны будет вытащено 3 шара (т.е. третий шар будет черным, а первые два - белыми).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) вероятность того, что из урны будет вытащено 5 шаров
такая ситуация не возможна, т.к. всего 3 белых шара.
P = 0

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теория вероятностей

В группе 12 юношей и 8 девушек. По журналу наудачу отобрано 5 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов ровно 3 девушек.

Количество отобранных студентов по журналу.

Вероятность выбрать наудачу девушку из всей группы.

Вероятность не выбрать наудачу девушку из всей группы (вероятность выбрать юношу).

k = 3 - количество отобранных девушек.

Вероятность того, что среди отобранных 5 студентов ровно 3 девушки.

В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу взяли 3 детали. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей хотя бы одна нестандартная.

Количество деталей в партии.

Количество стандартных деталей в партии.

Вероятность взять наудачу одну не стандартную деталь из партии.

Вероятность не взять наудачу одну не стандартную деталь из партии (вероятность взять наудачу одну стандартную деталь из партии).

Вероятность не взять наудачу две не стандартные детали из партии (вероятность взять наудачу две стандартные детали из партии).

Вероятность не взять наудачу три не стандартные детали из партии (вероятность взять наудачу три стандартные детали из партии).

Вероятность того, что среди отобранных деталей хотя бы одна нестандартная.

Станок состоит из 3 независимо работающих деталей. Вероятность отказа деталей соответственно равна 0,1; 0,2; 0,15. Найти вероятность поломки станка, если для этого достаточно отказа хотя бы одной детали.

Вероятность того, что откажет 1-я деталь.

Вероятность того, что откажет 2-я деталь.

Вероятность того, что откажет 3-я деталь.

Вероятность того, что 1-я деталь не откажет.

Вероятность того, что 2-я деталь не откажет.

Вероятность того, что 3-я деталь не откажет.

Вероятность поломки станка, если для этого достаточно отказа хотя бы одной детали.

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,5, а для второго- 0,6. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадёт только один из стрелков.

Вероятность того, что первый стрелок попадёт по мишени.

Вероятность того, что второй стрелок попадёт по мишени.

Вероятность того, что первый стрелок не попадёт по мишени.

Вероятность того, что второй стрелок не попадёт по мишени.

Вероятность того, что при одном залпе в мишень попадёт только один из стрелков.

В ящике 6 приборов, из которых 4 работающих. Наудачу взяли 3 штуки. Найти вероятность того, что все взятые приборы окажутся работающими.

Количество взятых наудачу приборов.

Вероятность взять из ящика работающий прибор.

Вероятность не взять из ящика работающий прибор.

Воспользуемся формулой Бернулли:

k = 3 - количество работающих приборов, из взятых наудачу.

Вероятность того, все взятые приборы окажутся работающими.

В первой урне 4 белых и 1 чёрный, во второй урне 2 белых и 5 чёрных шаров. Из первой во вторую переложили 2 шара, затем из второй урны извлекли один шар. Найти вероятность того, что выбранный из второй урны шар - чёрный.

Определимся с возможными исходами событий, при перекладывании 2-х шаров из 1-й урны во 2-ю.

Н1 - гипотеза о том что из первой урны вытащили 2 белых шара.

Н2 - гипотеза о том что из первой урны вытащили 1 белый и 1 чёрный шар.

Вероятность достать из 1-й урны чёрный шар.

Вероятность достать из 1-й урны белый шар.

Вероятность гипотезы Н1.

Вероятность гипотезы Н2.

Теперь рассмотрим вероятность события когда случилась каждая из гипотез.

Вероятность вытащить из 2-й урны чёрный шар, если случилась гипотеза Н1.

Вероятность вытащить из 2-й урны чёрный шар, если случилась гипотеза Н2.

Вероятность того, что выбранный из второй урны шар - чёрный.

Вероятность того, что деталь изготовленная на заводе №1 отличного качества.

Вероятность того, что деталь изготовленная на заводе №2 отличного качества.

Вероятность того, что деталь изготовленная на заводе №3 отличного качества.

Вероятность вытащить из ящика, деталь изготовленную на заводе №1.

Вероятность вытащить из ящика, деталь изготовленную на заводе №2.

Вероятность вытащить из ящика, деталь изготовленную на заводе №3.

По формуле полной вероятности:

Вероятность того, что извлечённая наудачу деталь окажется отличного качества.

Имеется три партии изделий по 25 изделий в каждой. Число стандартных изделий соответственно равно 20, 21, 22. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечено изделие, оказавшееся стандартным. Найти вероятность того, что оно было извлечено из 1 партии.

Вероятность того, что выбранная наудачу деталь из 1-й партии стандартная.

Вероятность того, что выбранная наудачу деталь из 2-й партии стандартная.

Вероятность того, что выбранная наудачу деталь из 3-й партии стандартная.

Вероятность наудачу выбрать одну из трёх партий.

По формуле Бейеса:

Вероятность того, что наудачу извлеченное изделие было извлечено из 1 партии.

Два автомата производят детали. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Первый автомат производит 80% деталей отличного качества, а второй - 90%. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена 1 автоматом.

теория вероятность нахождение выбор попадание

Вероятность того, что деталь, произведённая 1-м автоматом отличного качества.

Вероятность того, что деталь, произведённая 2-м автоматом отличного качества.

Так как производительность второго автомата вдвое больше, чем первого, то из 3-х условно изготовленных деталей две детали 2-го автомата и одна 1-го автомата.

Вероятность наудачу выбрать деталь, изготовленную 1-м автоматом.

Вероятность наудачу выбрать деталь, изготовленную 2-м автоматом.

По формуле Бейеса:

Вероятность того, наудачу взятая деталь отличного качества, оказалась деталь, произведенная 1-м автоматом.

Монету бросают 9 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а.) менее 4 раз; б.) не менее 4 раз.

Вероятность того, что выпадет «герб».

Вероятность того, что «герб» не выпадет.

Воспользуемся формулой Бернулли:

Количество бросков монет.

Вероятность выпадения монеты «гербом» менее 4 раз.

k = 0, 1, 2, 3 - количество раз выпадения «герба».

Вероятность выпадения монеты «гербом» 0 раз из 9.

Вероятность выпадения монеты «гербом» 1 раз из 9.

Вероятность выпадения монеты «гербом» 2 раза из 9.

Вероятность выпадения монеты «гербом» 3 раза из 9.

Вероятность выпадения монеты «гербом» не менее 4 раз.

k = 4, 5, 6, 7, 8, 9 - количество раз выпадения «герба».

Вероятность выпадения монеты «гербом» 4 раза из 9.

Вероятность выпадения монеты «гербом» 5 раз из 9.

Вероятность выпадения монеты «гербом» 6 раз из 9.

Вероятность выпадения монеты «гербом» 7 раз из 9.

Вероятность выпадения монеты «гербом» 8 раз из 9.

Вероятность выпадения монеты «гербом» 9 раз из 9.

Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорождённых окажется 50 мальчиков.

Вероятность рождения мальчика.

Вероятность не рождения мальчика (вероятность рождения девочки).

Количество новорождённых.

Количество рожденных мальчиков.

Воспользуемся локальной теоремой Муавра-Лапласа, т.к.

Табулированная чётная функция Гаусса,

По таблице находим значение

Вероятность того, что среди 100 новорождённых окажется 50 мальчиков.

Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а.) не менее 75 раз и не более 90 раз; б.) не менее 90 раз.

Вероятность появления события.

Вероятность не появления события.

Общее количество испытаний.

Количество испытаний.

Количество испытаний.

По таблице находим значение

Вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз.

Количество испытаний.

Количество испытаний.

Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа т.к.

Табулированная нечётная функция Лапласа,

По таблице находим значение

Вероятность того, что событие появится не менее 90 раз.

Дискретная случайная величина задана законом распределения:

а.) построить многоугольник распределения и найти функцию распределения F(x);

б.) Найти М(Х), Д(Х), .

Математическое ожидание.

Дисперсия.

Средне квадратическое отклонение.

Задана плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины Х.

а.) найти А и функцию распределения F(x);

б.) найти М(х), Д(х),

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Применение классического определения вероятности для нахождения среди определенного количества деталей заданных комбинаций. Определение вероятности обращения пассажира в первую кассу. Использование локальной теоремы Муавра-Лапласа для оценки отклонения.

контрольная работа , добавлен 23.11.2014


Анализ решений заданий по теории вероятности: определить вероятность того, что на верхних гранях двоих костей сумма очков не превосходит 12, определить среди лотерейных билетов вероятное количество выигрышных и количество бракованного товара в партии.

контрольная работа , добавлен 27.12.2010


Порядок определения степени вероятности нахождения значения из десяти возможных. Методика вычисления стандартных деталей среди проверенных с вероятностью 0.95. Оценка вероятности подъема в цене акций предприятия, а также получения прибыли на бирже.

контрольная работа , добавлен 16.10.2011


Основные понятия комбинаторики. Определение теории вероятности. Понятие математического ожидания и дисперсии. Основные элементы математической статистики. Условная вероятность как вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

реферат , добавлен 25.11.2013


Применение классического определения вероятности в решении экономических задач. Определение вероятности попадания на сборку бракованных и небракованных деталей. Вычисление вероятности и выборочного значения статистики при помощи формулы Бернулли.

контрольная работа , добавлен 18.09.2010


Теория вероятности как наука убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Математические доказательства теории. Аксиоматика теории вероятности: определения, вероятность пространства, условная вероятность.

лекция , добавлен 02.04.2008


Характеристика полной группы событий как совокупность всех возможных результатов опыта. Способы определения вероятности событий в задачах разного направления. Нахождение вероятности количества нестандартных деталей. Построение функции распределения.

задача , добавлен 19.03.2011


Анализ случайных явлений, статистическая обработка результатов численных экспериментов. Способы вычисления наступления предполагаемого события. Решение задач, связанных с теорией вероятности. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

контрольная работа , добавлен 21.09.2013


Поиск искомой вероятности через противоположное событие. Интегральная формула Муавра–Лапласа. Нахождение вероятности попадания в заданный интервал распределенной случайной величины по ее математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению.

контрольная работа , добавлен 17.03.2011


Вычисление математического ожидания, дисперсии и коэффициента корреляции. Определение функции распределения и его плотности. Нахождение вероятности попадания в определенный интервал. Особенности построения гистограммы частот. Применение критерия Пирсона.

Пример 6. В ящике лежит 11 деталей, 3 из них нестандартные. Из ящика дважды берут по одной детали, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что во второй раз из ящика будет извлечена стандартная деталь - событие В, если в первый раз была извлечена нестандартная деталь - событие А.

После первого извлечения в ящике из 10 деталей осталось 8 стандартных, и, следовательно, искомая вероятность

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пример 7. Имеются три одинаковые с виду урны: в первой 5 белых и 10 черных шаров; во второй 9 белых и 6 черных шаров; в третьей только черные шары. Из наугад выбранной урны достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный.

Событие A – достали черный шар. Событие A

H 1 – шар достали из первой урны;

H 2 – шар достали из второй урны;

H 3 – шар достали из третьей урны.

Так как урны с виду одинаковы, то:

A для каждой гипотезы.

Черный шар достали из первой урны:

Аналогично:

1/3*2/3+1/3*2/5+1/3*1=31/45

Пример 8. Имеются две урны: в первой 5 белых и 10 черных шаров; во второй урне 9 белых и 6 черных шаров. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны достают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет черным.

Событие A – из второй урны достали черный шар. Событие A может произойти с одним из несовместных событий (гипотез):

H 1 – из первой урны во вторую переложили белый шар;

H 2 – из первой урны во вторую переложили черный шар.

Вероятности гипотез:

Найдем условные вероятности события A . Если из первой урны во вторую переложили белый шар, то во второй урне стало 10 белых и 6 черных шаров. Значит, вероятность достать из нее черный шар равна:

Аналогично:

По формуле полной вероятности:

Пример 9. Имеются три урны: в первой 5 белых и 10 черных шаров; во второй 9 белых и 6 черных шаров; в третьей урне 15 черных шаров (белых шаров нет). Из наугад выбранной урны достали один шар. Этот шар оказался черным. Найти вероятность того, что шар достали из второй урны.

Событие A – из наугад выбранной урны достали один шар.

Событие A может произойти с одним из несовместных событий (гипотез):

H 1 – шар достали из первой урны;

H 2 – шар достали из второй урны;

H 3 – шар достали из третьей урны.

Априорные вероятности гипотез равны:

В задаче 4 найдены условные вероятности события A и его полная вероятность:

Найдем по формуле Байеса апостериорную вероятность гипотезы H 2 .

Черный шар достали из второй урны:

Сравним и:

Таким образом, если известно, что достали черный шар, то вероятность того, что его достали из второй урны уменьшается (это соответствует условию – во второй урне меньше всего черных шаров).

Формула Бернулли

Пример 10. В семье шесть детей. Вероятность рождения девочки равна 0,49. Найти вероятность того, что среди этих детей одна девочка.

Событие A – родилась девочка.

P = P (A ) = 0,49;

q = 1 – p = 1 – 0,49 = 0,51.

Формула Бернулли:

Всего шесть детей, значит n =6.

Надо найти вероятность того, что среди них точно одна девочка, значит m = 1.

Пример 11. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что не более 5 раз выпадет герб.

Событие A – при подбрасывании монеты выпадает герб.

Монета подбрасывается 6 раз, значит n = 6.

Событие B – герб выпадет не более 5 раз.

Противоположное событие:

– герб выпадет более 5 раз, то есть 6 раз.