Монета и игральная кость в теории вероятности

Многие важные и нужные факты первоначально были получены с помощью очень простых опытов. Большую роль в развитии теории вероятностей как науки сыграли обычные монеты и игральные кубики.

Симметричная монета

Математическая монета , используемая в теории вероятностей, лишена многих качеств настоящей монеты. У математической монеты нет цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платежным средством.

Монета сточки зрения теории вероятностей имеет только две стороны, одна из которых называется «орел», а другая – «решка». Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх. Никакие другие свойства математической монете не присущи.

Название «орел» для обратной стороны (реверса) монеты происходит оттого, что на реверсе российских монет изображен герб Российского государства – двуглавый орел. Впервые орел на монетах появился при великом князе Иване III.

А название «решка» для лицевой стороны (аверса) монеты возникло потому, что рисунок на аверсе российских монет в XVIII–XIX вв. напоминал решетку, на фоне которой был написан номинал монеты (ее достоинство).

Математическая монета считается симметричной . Это означает, чтоброшенная на стол монета имеет равные шансы выпасть «орлом» или «решкой» . При этом подразумевается, что никакой другой исход бросания монеты невозможен, - она не может потеряться, закатившись в угол, и, тем более, не может «встать на ребро».

Настоящая металлическая монета служит лишь иллюстрацией для математической монеты. Настоящая монета может быть немного вогнутой, может иметь другие дефекты, которые влияют на результаты бросания. Тем не менее, чтобы проверить на практике опыты с бросанием математической монеты, мы бросали, бросаем и будем бросать обычную монету (без явных дефектов).

Монета часто помогала людям в сложной ситуации сделать выбор, положившись на судьбу. В пьесе А.Н. Островского «Бесприданница» есть эпизод, когда купцы Кнуров и Вожеватов с помощью игры в орлянку решают, кому достанется Лариса:

ВОЖЕВАТОВ. Да вот, лучше всего.(Вынимает из кармана монету и кладет под руку.) Орел или решетка?

КНУРОВ (в раздумье) . Если скажу: орел, так проиграю; орел, конечно, вы. (Решительно.) Решетка.

ВОЖЕВАТОВ (поднимая руку) . Ваше. Значит, мне одному в Париж ехать. Я не в убытке; расходов меньше.

И до сих пор монета часто используется как средство решения споров. В начале футбольного матча арбитр бросает монету, чтобы решить, какая из команд получит право начать игру.

Игральные кости в теории вероятностей

Игральный кубик или игральная кость также служит прекрасным средством для получения случайных событий. Игральная кость имеет удивительную историю. Игра в кости – одна из древнейших. Она была известна в глубокой древности в Индии, Китае, Лидии, Египте, Греции и Риме.

Игральные кости в виде кубиков находили в Египте (XX в. до н. э.) и в Китае (VI в. до н. э.) при раскопках древних захоронений. Точки на гранях древнеегипетских костей часто изображались в виде птичьего глаза.

Правильные (симметричные) кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения каждой грани. Для этого все грани должны иметь одинаковую площадь, быть плоскими и одинаково гладкими. Вершины и ребра кубиков должны иметь правильную форму. Если они скруглены, то все скругления должны быть одинаковыми. Отверстия, маркирующие очки на гранях, должны быть просверлены на одинаковую глубину. Сумма очков на противоположных гранях правильной кости равна 7.

Математическая игральная кость , которая обсуждается в теории вероятностей, - это математический образ правильной кости. Выпадения всех граней равновозможны. Подобно математической монете, математическая кость не имеет ни цвета, ни размера, ни веса, ни иных материальных качеств.

Игры в кости у разных народов мира

Об играх с костями животных (игры в «лодыжки», «костыги», «козули») у славян и на языческой Руси свидетельствуют многочисленные археологические находки на обширной территории. Отсюда и русское название игрального кубика – кость.

В острогах заключенные играли парой костяных кубиков с очками на гранях, называя их «быками». Выражение «быков гонять» до сих пор означает игру в кости.

Ранние упоминания о костях в древнеиндийской поэзии отражают популярность игры в кости в Древней Индии. «Гимн игрока» - первый литературный текст, упоминающий кости, - изображает их как враждебную человеку магическую стихию:

Ведь кости усеяны колючками и крючками,

Они порабощают, они мучают, испепеляют,

Одаряют, как ребенок, победителя они вновь лишают победы.

Неудачливый игрок пытается заклясть кости, заключает с ними мир:

Заключите с нами дружбу! Помилуйте нас!

В Древней Греции считалось, что игральные кости придумал Паламед во время Троянской войны. Но по версии Геродота, кости изобрели лидийцы, населявшие Малую Азию, чтобы отвлечься от голода, болезней или других напастей.

В Древнем Риме кости, вероятно пришедшие из Древней Греции, быстро приобрели популярность. В кости играли все, от рабов до императоров. Император Клавдий даже написал книгу по игре в кости. В III в. до н. э. в Риме игра в кости была запрещена и разрешалась лишь во время ежегодного празднования Сатурналий.

Запреты на игру в кости

Азартные игры в кости запрещали не только в Древнем Риме. В Древнем Китае за игру в кости можно было попасть на каторгу.

С появлением христианства кости время от времени запрещались в разных странах, поскольку, по мнению духовенства, игра эта была порождением дьявола. Человек, играющий в кости, якобы становился слугой дьявола, распространяя зло.

В другое время кости были разрешены, и игра в них даже поощрялась, при этом каждому сочетанию очков приписывалось некоторое божественное значение. Считалось, что игра в кости позволяет благочестивому человеку выявить свои христианские добродетели. Очевидно, такие крайности в отношении азартных игр свидетельствуют о том, что изжить их церковь не могла, но иногда пыталась использовать страсть к игре в своих целях.

В 1188 г. Английский король Генрих II запретил играть в кости крестоносцам.

Многочисленные королевские указы в XIII-XIV вв. запрещают игру в кости во Франции. Надо полагать, запреты эти оказались безрезультатными, поскольку королевским указом от 1396 г. запрещаются уже не сами кости, а изготовление и применение поддельных костей.

Поддельные кости

Игра в кости в самых разных проявлениях намного древнее всех прочих игр. Поэтому и жулики (шулеры), нечестным способом выигрывающие в кости, появились намного раньше карточных шулеров. Археологи находят в раскопах Древнего Китая, Греции и Рима игральные кости, у которых нарушена симметрия.

Все рассуждения о равных вероятностях выпадения различных комбинаций справедливы, если кость имеет кубическую форму и ее центр тяжести совпадает с геометрическим центром. Изменение формы или смещение центра тяжести меняет свойства кости. Кости неправильной формы – самый обычный тип шулерских костей. Иногда в кости вплавляют свинцовые шарики, в них делают замаскированные пустоты, канала, по которым переливается ртуть.

Нарушить равновозможность выпадения граней можно, сделав некоторые грани чуть выпуклыми, а другие – чуть вогнутыми. Достаточно сделать одни из граней более гладкими, чем другие. Все эти способы предназначены для изменения вероятностей выпадения очков.

Есть еще способ плутовства – нарушение разметки костей. Если сумма очков на противоположных гранях не равна 7, то искусный мошенник, определенным образом бросая кости, может добиться, что сумма выброшенных им очков будет больше, чем у неискушенного игрока.

В теории вероятностей существует группа задач, для решения которых достаточно знать классическое определение вероятности и наглядно представлять предлагаемую ситуацию. Такими задачами является большинство задач с подбрасыванием монеты и задачи с бросанием игрального кубика. Напомним классическое определение вероятности.

Вероятность события А (объективная возможность наступления события в числовом выражении) равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов: Р(А)=m/n , где:

m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А;
n – общее число всех возможных элементарных исходов испытания.

Число возможных элементарных исходов испытания и число благоприятных исходов в рассматриваемых задачах удобно определять перебором всех возможных вариантов (комбинаций) и непосредственным подсчетом.

Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=4. Благоприятные исходы события А = {орел выпадает 1 раз} соответствуют варианту №2 и №3 эксперимента, таких вариантов два m=2.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=2/4=0,5

Задача 2 . В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел не выпадет ни разу.

Решение . Поскольку монету бросают дважды, то, как и в задаче 1, число возможных элементарных исходов n=4. Благоприятные исходы события А = {орел не выпадет ни разу} соответствуют варианту №4 эксперимента (см. таблицу в задаче 1). Такой вариант один, значит m=1.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=1/4=0,25

Задача 3 . В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.

Решение . Возможные варианты трех бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:

Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=8. Благоприятные исходы события А = {орел выпадает 2 раза} соответствуют вариантам №5, 6 и 7 эксперимента. Таких вариантов три, значит m=3.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=3/8=0,375

Задача 4 . В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 3 раза.

Решение . Возможные варианты четырех бросаний монеты (все возможные комбинации орлов и решек) представим в виде таблицы:

№ варианта	1-й бросок	2-й бросок	3-й бросок	4-й бросок	№ варианта	1-й бросок	2-й бросок	3-й бросок	4-й бросок
1	Орел	Орел	Орел	Орел	9	Решка	Орел	Решка	Орел
2	Орел	Решка	Решка	Решка	10	Орел	Решка	Орел	Решка
3	Решка	Орел	Решка	Решка	11	Орел	Решка	Решка	Орел
4	Решка	Решка	Орел	Решка	12	Орел	Орел	Орел	Решка
5	Решка	Решка	Решка	Орел	13	Решка	Орел	Орел	Орел
6	Орел	Орел	Решка	Решка	14	Орел	Решка	Орел	Орел
7	Решка	Орел	Орел	Решка	15	Орел	Орел	Решка	Орел
8	Решка	Решка	Орел	Орел	16	Решка	Решка	Решка	Решка

Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=16. Благоприятные исходы события А = {орел выпадет 3 раза} соответствуют вариантам №12, 13, 14 и 15 эксперимента, значит m=4.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=4/16=0,25

Определение вероятности в задачах про игральную кость

Задача 5 . Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет более 3 очков.

Решение . При бросании игрального кубика (правильной кости) может выпасть любая из шести его граней, т.е. произойти любое из элементарных событий - выпадение от 1 до 6 точек (очков). Значит число возможных элементарных исходов n=6.
Событие А = {выпало более 3 очков} означает, что выпало 4, 5 или 6 точек (очков). Значит число благоприятных исходов m=3.
Вероятность события Р(А)=m/n=3/6=0,5

Задача 6 . Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика выпало число очков, не большее 4. Результат округлите до тысячных.

Решение . При бросании игрального кубика может выпасть любая из шести его граней, т.е. произойти любое из элементарных событий - выпадение от 1 до 6 точек (очков). Значит число возможных элементарных исходов n=6.
Событие А = {выпало не более 4 очков} означает, что выпало 4, 3, 2 или 1 точка (очко). Значит число благоприятных исходов m=4.
Вероятность события Р(А)=m/n=4/6=0,6666…≈0,667

Задача 7 . Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, меньшее 4.

Решение . Так как игральную кость (игральный кубик) бросают дважды, то будем рассуждать следующим образом: если на первом кубике выпало одно очко, то на втором может выпасть 1, 2, 3, 4, 5, 6. Получаем пары (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) и так с каждой гранью. Все случаи представим в виде таблицы из 6-ти строк и 6-ти столбцов:

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Благоприятные исходы события А = {оба раза выпало число, меньшее 4} (они выделены жирным) подсчитаем и получим m=9.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=9/36=0,25

Задача 8 . Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5. Ответ округлите до тысячных.

Решение . Все возможные исходы двух бросаний игральной кости представим в таблице:

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Благоприятные исходы события А = {наибольшее из двух выпавших чисел равно 5} (они выделены жирным) подсчитаем и получим m=8.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222

Задача 9 . Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4.

Решение . Все возможные исходы двух бросаний игральной кости представим в таблице:

1; 1	2; 1	3; 1	4; 1	5; 1	6; 1
1; 2	2; 2	3; 2	4; 2	5; 2	6; 2
1; 3	2; 3	3; 3	4; 3	5; 3	6; 3
1; 4	2; 4	3; 4	4; 4	5; 4	6; 4
1; 5	2; 5	3; 5	4; 5	5; 5	6; 5
1; 6	2; 6	3; 6	4; 6	5; 6	6; 6

Из таблицы видим, что число возможных элементарных исходов n=6*6=36.
Фраза «хотя бы раз выпало число, меньшее 4» означает «число меньшее 4 выпало один раз или два раза», тогда число благоприятных исходов события А = {хотя бы раз выпало число, меньшее 4} (они выделены жирным) m=27.
Находим вероятность события Р(А)=m/n=27/36=0,75

Математическая монета Математическая монета, используемая в теории вероятностей, лишена многих качеств настоящей монеты. У математической монеты нет цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платежным средством.

Монета с точки зрения теории вероятностей имеет только две стороны, одна из которых называется "орел", а другая - "решка". Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх. Никакие другие свойства математической монете не присущи. Название "орел" для обратной стороны (реверса) монеты происходит оттого, что на реверсе российских монет изображен герб Российского государства - двуглавый орел. Впервые орел на монетах появился при великом князе Иване III. А название "решка" для лицевой стороны (аверса) монеты возникло потому, что рисунок на аверсе российских монет в XVIII-XIX вв. напоминал решетку, на фоне которой был написан номинал монеты (ее достоинство). Математическая монета считается симметричной. Это означает, что брошенная на стол монета имеет равные шансы выпасть "орлом" или "решкой". При этом подразумевается, что никакой другой исход бросания монеты невозможен, - она не может потеряться, закатившись в угол, и, тем более, не может "встать на ребро".

Игральные кости в теории вероятностей Игральный кубик или игральная кость также служит прекрасным средством для получения случайных событий. Игральная кость имеет удивительную историю. Игра в кости - одна из древнейших. Она была известна в глубокой древности в Индии, Китае, Лидии, Египте, Греции и Риме. Игральные кости в виде кубиков находили в Египте (XX в. до н. э.) и в Китае (VI в. до н. э.) при раскопках древних захоронений. Точки на гранях древнеегипетских костей часто изображались в виде птичьего глаза.

Контрольная работа №4

В-1 Теория вероятности.

Контрольная работа №4

В-1 Теория вероятности.

1.Из урны, содержащей 15 белых, 10 красных и 5 синих шаров, наугад выбирают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется: а) красного цвета; б) белого цвета?

2.Бросаются монета и игральная кость. Какова вероятность того, что появится решка и 5 очков?

3. Вероятность попадания по мишени равна 0.7. Какова вероятность того, что, не попав по мишени при первом выстреле, стрелок попадет при втором?

Контрольная работа №4

В-1 Теория вероятности.

2.Бросаются монета и игральная кость. Какова вероятность того, что появится решка и 5 очков?

Контрольная работа №4

В-1 Теория вероятности.

2.Бросаются монета и игральная кость. Какова вероятность того, что появится решка и 5 очков?

Контрольная работа №4

В-2 Теория вероятности.

Контрольная работа №4

В-2 Теория вероятности.

1.Из урны, содержащей 15 белых, 10 красных и 5 синих шаров, наугад выбирают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется: а) красного цвета; б) синего цвета?

2.Бросаются монета и игральная кость. Какова вероятность того, что появится решка и 6 очков?

3. Вероятность попадания по мишени равна 0.8. Какова вероятность того, что, не попав по мишени при первом выстреле, стрелок попадет при втором?

Контрольная работа №4

В-2 Теория вероятности.

2.Бросаются монета и игральная кость. Какова вероятность того, что появится решка и 5 очков?

Контрольная работа №4

В-2 Теория вероятности.

2.Бросаются монета и игральная кость. Какова вероятность того, что появится решка и 5 очков?

Контрольная работа №4

Теория вероятности.

1.Из урны, содержащей 15 белых, 10 красных и 5 синих шаров, наугад выбирают один шар. Какова вероятность того, что шар окажется: а) красного цвета; б) зеленого цвета? D , E , F ?

3. Запишите разложение бинома