Problemy teorii prawdopodobieństwa. W losowym eksperymencie rzucono dwukrotnie symetryczną monetą. Wyznaczanie prawdopodobieństwa w zadaniach z kostkami.

W zadaniach z teorii prawdopodobieństwa, które są prezentowane na egzaminie Unified State Exam nr 4, występują ponadto problemy z rzucaniem monetą i kostką. Przyjrzymy się im dzisiaj.

Problemy z rzutem monetą

Zadanie 1. Rzucamy dwukrotnie symetryczną monetą. Znajdź prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie raz.

W takich problemach wygodnie jest zapisać wszystkie możliwe wyniki, zapisując je literami P (reszki) i O (reszki). Zatem wynik OP oznacza, że ​​przy pierwszym rzucie wypadła reszka, a przy drugim rzucie reszka. W rozważanym problemie możliwe są 4 wyniki: RR, RO, OR, OO. Wydarzeniu „reszka pojawi się dokładnie raz” sprzyjają 2 wyniki: RO i OP. Wymagane prawdopodobieństwo jest równe .

Odpowiedź: 0,5.

Zadanie 2. Symetryczna moneta została rzucona trzy razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że wyrzuci reszkę dokładnie dwa razy.

W sumie jest 8 możliwych wyników: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Zdarzeniu „reszki pojawią się dokładnie dwa razy” sprzyjają 3 wyniki: ROO, ORO, OOR. Wymagane prawdopodobieństwo jest równe .

Odpowiedź: 0,375.

Zadanie 3. Przed rozpoczęciem meczu piłkarskiego sędzia rzuca monetą, aby określić, która drużyna zacznie z piłką. Zespół Szmaragdów rozgrywa trzy mecze z różnymi zespołami. Znajdź prawdopodobieństwo, że w tych grach „Szmaragd” wygra los dokładnie raz.

To zadanie jest podobne do poprzedniego. Niech za każdym razem lądowanie resztek oznacza wygraną losu „Szmaragdem” (założenie to nie ma wpływu na obliczanie prawdopodobieństw). Wówczas możliwych jest 8 wyników: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Zdarzeniu „reszka pojawi się dokładnie raz” sprzyjają 3 wyniki: ROO, ORO, OOR. Wymagane prawdopodobieństwo jest równe .

Odpowiedź: 0,375.

Problem 4. Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Znajdź prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku ROO (za pierwszym razem wypadnie orzeł, za drugim i trzecim razem wypadnie orzeł).

Podobnie jak w poprzednich zadaniach, istnieje 8 wyników: RRR, RRO, ROR, ROO, ORR, ORO, OOR, OOO. Prawdopodobieństwo wystąpienia wyniku ROO jest równe .

Odpowiedź: 0,125.

Problemy z rzucaniem kostką

Zadanie 5. Kostką rzucamy dwukrotnie. Ile elementarnych wyników eksperymentu faworyzuje zdarzenie „suma punktów wynosi 8”?

Problem 6. Rzucamy jednocześnie dwiema kostkami. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma wyniesie 4 punkty. Zaokrąglij wynik do części setnych.

Ogólnie rzecz biorąc, podczas rzucania kostkami wyniki są równie możliwe. Tę samą liczbę wyników uzyskamy, jeśli rzucimy tą samą kostką kilka razy z rzędu.

Zdarzeniu „w sumie jest 4” sprzyjają następujące wyniki: 1 – 3, 2 – 2, 3 – 1. Ich liczba to 3. Wymagane prawdopodobieństwo wynosi .

Aby obliczyć przybliżoną wartość ułamka, wygodnie jest użyć dzielenia kąta. Zatem w przybliżeniu równe 0,083..., po zaokrągleniu do setnych, mamy 0,08.

Odpowiedź: 0,08

Problem 7. Rzucamy jednocześnie trzema kostkami. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma wyniesie 5 punktów. Zaokrąglij wynik do części setnych.

Za wynik uznane zostaną trzy liczby: punkty wyrzucone na pierwszej, drugiej i trzeciej kostce. Wszystkie wyniki są równie możliwe. Następujące wyniki są korzystne dla zdarzenia „łącznie 5”: 1–1–3, 1–3–1, 3–1–1, 1–2–2, 2–1–2, 2–2–1. Ich liczba wynosi 6. Wymagane prawdopodobieństwo wynosi . Aby obliczyć przybliżoną wartość ułamka, wygodnie jest użyć dzielenia kąta. W przybliżeniu otrzymujemy 0,027..., zaokrąglając do części setnych, mamy 0,03. Źródło „Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego. Matematyka. Teoria prawdopodobieństwa”. Pod redakcją F.F. Łysenko, S.Yu. Kułabuchowa

W teorii prawdopodobieństwa istnieje grupa problemów, dla których wystarczy znać klasyczną definicję prawdopodobieństwa i wizualnie przedstawić proponowaną sytuację. Do takich problemów zalicza się większość problemów związanych z rzutem monetą i rzuceniem kostką. Przypomnijmy klasyczną definicję prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A (obiektywna możliwość wystąpienia zdarzenia w ujęciu liczbowym) jest równa stosunkowi liczby wyników sprzyjających temu zdarzeniu do całkowitej liczby wszystkich równie możliwych, niezgodnych wyników elementarnych: P(A)=m/n, Gdzie:

• m jest liczbą elementarnych wyników testów korzystnych dla wystąpienia zdarzenia A;
• n to całkowita liczba wszystkich możliwych wyników testu elementarnego.

Wygodnie jest określić liczbę możliwych wyników testów elementarnych i liczbę korzystnych wyników w rozważanych problemach, wyliczając wszystkie możliwe opcje (kombinacje) i bezpośrednio licząc.

Z tabeli widzimy, że liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=4. Pozytywne wyniki zdarzenia A = (reszki pojawiają się 1 raz) odpowiadają opcjom nr 2 i nr 3 eksperymentu, są dwie takie opcje m = 2.
Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia P(A)=m/n=2/4=0,5

Problem 2 . W losowym eksperymencie rzucono dwukrotnie symetryczną monetą. Znajdź prawdopodobieństwo, że w ogóle nie wypadnie żadna reszka.

Rozwiązanie . Ponieważ monetą rzucamy dwukrotnie, to podobnie jak w zadaniu 1 liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=4. Pozytywne wyniki zdarzenia A = (reszka nie pojawi się ani razu) odpowiadają opcji nr 4 eksperymentu (patrz tabela w zadaniu 1). Opcja taka jest tylko jedna, co oznacza m=1.
Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia P(A)=m/n=1/4=0,25

Problem 3 . W losowym eksperymencie symetryczną monetą rzuca się trzy razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie 2 razy.

Rozwiązanie . Możliwe opcje trzech rzutów monetą (wszystkie możliwe kombinacje orłów i reszek) przedstawiamy w formie tabeli:

Z tabeli widzimy, że liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=8. Pozytywne wyniki zdarzenia A = (reszki pojawiają się 2 razy) odpowiadają opcjom nr 5, 6 i 7 eksperymentu.
Istnieją trzy takie opcje, co oznacza m=3.

Problem 4 Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia P(A)=m/n=3/8=0,375

Rozwiązanie . W losowym eksperymencie symetryczną monetą rzuca się cztery razy. Znajdź prawdopodobieństwo wyrzucenia orła dokładnie 3 razy.

Ogony
Z tabeli widzimy, że liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=16. Pozytywne wyniki zdarzenia A = (reszki pojawią się 3 razy) odpowiadają opcjom nr 12, 13, 14 i 15 eksperymentu, co oznacza m = 4.

Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia P(A)=m/n=4/16=0,25

Wyznaczanie prawdopodobieństwa w problemach z kostkami Problem 5

Rozwiązanie . Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając kostką (prawidłową) zdobędziesz więcej niż 3 punkty.
. Podczas rzucania kostką (zwykłą kostką) może wypaść dowolna z jej sześciu ścianek, tj. nastąpi którekolwiek ze zdarzeń elementarnych – utrata od 1 do 6 punktów (punktów). Oznacza to, że liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=6.
Zdarzenie A = (wyrzucono więcej niż 3 punkty) oznacza, że ​​wyrzucono 4, 5 lub 6 punktów (punktów). Oznacza to, że liczba korzystnych wyników wynosi m=3.

Problem 6 Prawdopodobieństwo zdarzenia P(A)=m/n=3/6=0,5

Rozwiązanie . Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając kostką uzyskasz liczbę punktów nie większą niż 4. Wynik zaokrąglij do części tysięcznej.
. Podczas rzucania kostką może wypaść dowolna z jej sześciu ścianek, tj. nastąpi którekolwiek ze zdarzeń elementarnych – utrata od 1 do 6 punktów (punktów). Oznacza to, że liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=6.
Zdarzenie A = (nie więcej niż 4 wyrzucone punkty) oznacza, że ​​wyrzucono 4, 3, 2 lub 1 punkt (punkt).

Problem 7 . Kostką rzucamy dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że wyrzucona liczba w obu przypadkach będzie mniejsza niż 4.

Rozwiązanie . Ponieważ kostką (kostkami) rzucamy dwukrotnie, rozumujemy w następujący sposób: jeśli na pierwszej kości zostanie wyrzucony jeden punkt, to na drugiej kości może wypaść 1, 2, 3, 4, 5, 6. Otrzymujemy pary (1;1), (1;2), (1;3), (1;4), (1;5), (1;6) i tak dalej z każdą ścianą. Przedstawmy wszystkie przypadki w formie tabeli składającej się z 6 wierszy i 6 kolumn:

Obliczamy korzystne skutki zdarzenia A = (w obu przypadkach liczba ta była mniejsza niż 4) (są one zaznaczone pogrubioną czcionką) i otrzymujemy m=9.
Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia P(A)=m/n=9/36=0,25

Problem 8 . Kostką rzucamy dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że większa z dwóch wylosowanych liczb wynosi 5. Zaokrąglij odpowiedź do najbliższego tysiąca.

Rozwiązanie . Wszystkie możliwe wyniki dwóch rzutów kostką przedstawiamy w tabeli:

Z tabeli widzimy, że liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=6*6=36.
Obliczamy korzystne skutki zdarzenia A = (największa z dwóch wylosowanych liczb to 5) (są zaznaczone pogrubioną czcionką) i otrzymujemy m=8.
Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia P(A)=m/n=8/36=0,2222…≈0,222

Problem 9 . Kostką rzucamy dwukrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wyrzucona zostanie liczba mniejsza niż 4.

Rozwiązanie . Wszystkie możliwe wyniki dwóch rzutów kostką przedstawiamy w tabeli:

Z tabeli widzimy, że liczba możliwych wyników elementarnych wynosi n=6*6=36.
Wyrażenie „przynajmniej raz wypadła liczba mniejsza niż 4” oznacza „raz lub dwa razy wypadła liczba mniejsza niż 4”, wówczas liczba korzystnych wyników zdarzenia A = (przynajmniej raz wypadła liczba mniejsza niż 4 ) (są wyróżnione pogrubioną czcionką) m=27.
Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia P(A)=m/n=27/36=0,75

Problemy z rzutem monetą są uważane za dość trudne. A przed ich rozwiązaniem wymagane jest małe wyjaśnienie. Pomyśl o tym, każdy problem w teorii prawdopodobieństwa ostatecznie sprowadza się do standardowego wzoru:

gdzie p jest pożądanym prawdopodobieństwem, k jest liczbą pasujących nam zdarzeń, n jest całkowitą liczbą możliwych zdarzeń.

Większość problemów B6 można rozwiązać za pomocą tego wzoru dosłownie w jednym wierszu - wystarczy przeczytać warunek. Ale w przypadku rzucania monetami ta formuła jest bezużyteczna, ponieważ z tekstu takich problemów wcale nie wynika, jakie są liczby k i n. W tym właśnie tkwi trudność.

Istnieją jednak co najmniej dwie zasadniczo różne metody rozwiązania:

1. Metoda wyliczania kombinacji jest algorytmem standardowym. Zapisywane są wszystkie kombinacje orłów i reszek, po czym wybierane są niezbędne;
2. Specjalny wzór na prawdopodobieństwo to standardowa definicja prawdopodobieństwa, specjalnie przepisana tak, aby wygodnie było pracować z monetami.

Aby rozwiązać zadanie B6 trzeba znać obie metody. Niestety, w szkołach uczy się tylko tego pierwszego. Nie powtarzajmy szkolnych błędów. Więc chodźmy!

Metoda wyszukiwania kombinacji

Metodę tę nazywa się także „rozwiązaniem na przyszłość”. Składa się z trzech kroków:

1. Zapisujemy wszystkie możliwe kombinacje orłów i reszek. Na przykład: OR, RO, OO, RR. Liczba takich kombinacji wynosi n;
2. Wśród uzyskanych kombinacji zauważamy te, które są wymagane przez warunki problemu. Liczymy zaznaczone kombinacje - otrzymujemy liczbę k;
3. Pozostaje znaleźć prawdopodobieństwo: p = k: n.

Niestety ta metoda działa tylko w przypadku niewielkiej liczby rzutów. Ponieważ z każdym nowym rzutem liczba kombinacji podwaja się. Na przykład za 2 monety będziesz musiał wypisać tylko 4 kombinacje. Dla 3 monet jest ich już 8, a dla 4 - 16, a prawdopodobieństwo błędu zbliża się do 100%. Spójrz na przykłady, a sam wszystko zrozumiesz:

Zadanie. W losowym eksperymencie rzucono dwukrotnie symetryczną monetą. Znajdź prawdopodobieństwo, że wypadnie taka sama liczba orłów i resztek.

Zatem rzucamy dwa razy monetą. Zapiszmy wszystkie możliwe kombinacje (O - orły, P - reszki):

Łącznie n = 4 opcje. Zapiszmy teraz opcje, które odpowiadają warunkom problemu:

Było k = 2 takich opcji. Znajdź prawdopodobieństwo:

Zadanie. Moneta jest rzucana czterokrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że nigdy nie wypadnie orzeł.

Ponownie zapisujemy wszystkie możliwe kombinacje orłów i reszek:

OOOO OOOP OOPO OOPP OOOP OOPO OOPP OOPP
POOO KUPA POPO POPP PPPO PPPO PPPO PPPP

W sumie było n = 16 opcji. Wygląda na to, że o niczym nie zapomniałem. Z tych opcji zadowala nas jedynie kombinacja „OOOO”, która w ogóle nie zawiera reszek. Dlatego k = 1. Pozostaje znaleźć prawdopodobieństwo:

Jak widać, w ostatnim zadaniu musiałem wypisać 16 opcji. Czy na pewno potrafisz je zapisać, nie popełniając ani jednego błędu? Osobiście nie jestem pewien. Przyjrzyjmy się więc drugiemu rozwiązaniu.

Specjalny wzór na prawdopodobieństwo

Zatem problemy z monetami mają swój własny wzór na prawdopodobieństwo. Jest to tak proste i ważne, że postanowiłem sformułować je w formie twierdzenia. Spójrz:

Twierdzenie. Rzućmy monetą n razy. Następnie prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie k razy, można obliczyć, korzystając ze wzoru:

Gdzie C n k jest liczbą kombinacji n elementów przez k, którą oblicza się ze wzoru:

Zatem, aby rozwiązać problem monety, potrzebne są dwie liczby: liczba rzutów i liczba orłów. Najczęściej liczby te podawane są bezpośrednio w tekście zadania. Co więcej, nie ma znaczenia, co dokładnie policzysz: reszki czy reszki. Odpowiedź będzie taka sama.

Na pierwszy rzut oka twierdzenie wydaje się zbyt kłopotliwe. Ale gdy trochę poćwiczysz, nie będziesz już chciał wracać do standardowego algorytmu opisanego powyżej.

Zadanie. Moneta jest rzucana czterokrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo wyrzucenia orła dokładnie trzy razy.

Zgodnie z warunkami zadania ogółem rzutów było n = 4. Wymagana liczba orłów: k = 3. Podstawiamy n i k do wzoru:

Zadanie. Moneta rzucana jest trzykrotnie. Znajdź prawdopodobieństwo, że nigdy nie wypadnie orzeł.

Ponownie zapisujemy liczby n i k. Ponieważ rzucono 3 razy monetą, n = 3. A ponieważ nie powinno być orłów, k = 0. Pozostaje podstawić liczby n i k do wzoru:

Przypominam, że 0! = 1 z definicji. Dlatego C 3 0 = 1.

Zadanie. W losowym eksperymencie symetryczną monetą rzuca się 4 razy. Znajdź prawdopodobieństwo, że więcej razy pojawi się orzeł niż reszka.

Aby było więcej orłów niż reszek, muszą one pojawić się albo 3 razy (wtedy będzie 1 reszka), albo 4 razy (wtedy nie będzie w ogóle reszki). Znajdźmy prawdopodobieństwo każdego z tych zdarzeń.

Niech p 1 będzie prawdopodobieństwem, że reszki wypadną 3 razy. Wtedy n = 4, k = 3. Mamy:

Teraz znajdźmy p 2 – prawdopodobieństwo, że reszki wypadną wszystkie 4 razy. W tym przypadku n = 4, k = 4. Mamy:

Aby uzyskać odpowiedź, wystarczy dodać prawdopodobieństwa p 1 i p 2 . Pamiętaj: prawdopodobieństwa możesz dodawać tylko w przypadku zdarzeń wzajemnie się wykluczających. Mamy:

p = p 1 + p 2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125

Opis prezentacji według poszczególnych slajdów:

1 slajd

Opis slajdu:

Rozwiązywanie problemów z teorii prawdopodobieństwa. Nauczyciel matematyki MBOU Nivnyanskaya szkoła średnia, Nechaeva Tamara Ivanovna

2 slajd

Opis slajdu:

Cele zajęć: rozważenie różnych typów problemów w teorii prawdopodobieństwa i metod ich rozwiązywania. Cele lekcji: nauczenie uczniów rozpoznawania różnych rodzajów problemów w teorii prawdopodobieństwa i doskonalenie logicznego myślenia uczniów.

3 slajd

Opis slajdu:

Zadanie 1. W losowym eksperymencie rzucono 2 razy symetryczną monetą. Znajdź prawdopodobieństwo, że wypadnie taka sama liczba orłów i resztek.

4 slajd

Opis slajdu:

Zadanie 2. Rzucamy czterokrotnie monetą. Znajdź prawdopodobieństwo, że nigdy nie wypadnie orzeł.

5 slajdów

Opis slajdu:

Zadanie 3. W losowym eksperymencie rzucono dwukrotnie symetryczną monetą. Znajdź prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie raz. Rozwiązanie: Aby znaleźć prawdopodobieństwo określonego zdarzenia, należy wziąć pod uwagę wszystkie możliwe wyniki eksperymentu, a następnie wybrać spośród nich korzystne wyniki (korzystne wyniki to takie, które spełniają wymagania zadania). W naszym przypadku korzystnymi wynikami będą te, w których przy dwóch rzutach symetryczną monetą reszka wypadnie tylko raz. Prawdopodobieństwo zdarzenia oblicza się jako stosunek liczby korzystnych wyników do całkowitej liczby wyników. Zatem prawdopodobieństwo, że przy dwukrotnym rzucie symetryczną monetą wypadnie reszka tylko raz, jest równe: P = 2/4 = 0,5 = 50% Odpowiedź: prawdopodobieństwo, że w wyniku powyższego eksperymentu orzeł wypadnie tylko raz wynosi 50%. Numer eksperymentu 1. rzut 2. rzut Liczba razy reszki 1 reszki reszki 2 2 reszki reszki 0 3 reszki reszki 1 4 reszki reszki 1

6 slajdów

Opis slajdu:

Zadanie 4. Kostką rzucamy raz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczba wyrzuconych punktów będzie większa niż 4. Rozwiązanie: Doświadczenie losowe – rzut kostką. Zdarzeniem elementarnym jest liczba znajdująca się po opuszczonej stronie. Odpowiedź: 1/3 Całkowita liczba ścian: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Zdarzenia elementarne: N=6 N(A)=2

7 slajdów

Opis slajdu:

Zadanie 5. Biathlonista strzela do tarczy pięć razy. Prawdopodobieństwo trafienia celu jednym strzałem wynosi 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo, że biathlonista trzy pierwsze razy trafi w tarczę, a ostatnie dwa razy spudłuje. Zaokrąglij wynik do części setnych. Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo trafienia = 0,8 Prawdopodobieństwo chybienia = 1 - 0,8 = 0,2 A = (trafienie, trafienie, trafienie, chybienie, chybienie) Zgodnie ze wzorem na mnożenie prawdopodobieństw P(A) = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 P(A) = 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02 Odpowiedź: 0,02

8 slajdów

Opis slajdu:

Zadanie 6. W losowym eksperymencie rzucamy dwiema kostkami. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych punktów wyniesie 6. Zaokrąglij odpowiedź do najbliższej setnej. Rozwiązanie: Podstawowym wynikiem w tym doświadczeniu jest uporządkowana para liczb. Pierwsza liczba pojawi się na pierwszej kostce, druga na drugiej. Wygodnie jest przedstawić wiele elementarnych wyników w tabeli. Rzędy odpowiadają liczbie punktów na pierwszej kostce, kolumny na drugiej kostce. W sumie jest n = 36 zdarzeń elementarnych. Zapiszmy w każdej komórce sumę wylosowanych punktów i pokoloruj komórki, gdzie suma wynosi 6. Takich komórek jest 5. Oznacza to, że zdarzenie A = (suma wylosowanych punktów wynosi 6) faworyzuje 5 podstawowych wyników. Zatem m = 5. Zatem P(A) = 5/36 = 0,14. Odpowiedź: 0,14. 2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12

Slajd 9

Opis slajdu:

Wzór na prawdopodobieństwo Twierdzenie Rzuć n razy monetą. Następnie prawdopodobieństwo, że orzeł pojawi się dokładnie k razy, można obliczyć ze wzoru: gdzie Cnk jest liczbą kombinacji n elementów w k, którą oblicza się ze wzoru:

10 slajdów

Opis slajdu:

Zadanie 7. Rzucamy czterokrotnie monetą. Znajdź prawdopodobieństwo wyrzucenia orła dokładnie trzy razy. Rozwiązanie Zgodnie z warunkami zadania, łącznie wykonano n = 4 rzuty. Wymagana liczba orłów: k =3. Podstawiamy n i k do wzoru: Z takim samym sukcesem możemy policzyć liczbę orłów: k = 4 − 3 = 1. Odpowiedź będzie taka sama. Odpowiedź: 0,25

11 slajdów

Opis slajdu:

Zadanie 8. Rzucamy trzy razy monetą. Znajdź prawdopodobieństwo, że nigdy nie wypadnie orzeł. Rozwiązanie Zapisujemy ponownie liczby n i k. Ponieważ rzucono 3 razy monetą, n = 3. A ponieważ nie powinno być orłów, k = 0. Pozostaje podstawić liczby n i k do wzoru: Przypomnę, że 0! = 1 z definicji. Zatem C30 = 1. Odpowiedź: 0,125

12 slajdów

Opis slajdu:

Zadanie 9. W losowym eksperymencie rzucono 4 razy symetryczną monetą. Znajdź prawdopodobieństwo, że więcej razy pojawi się orzeł niż reszka. Rozwiązanie: Aby było więcej orłów niż reszek, muszą one pojawić się albo 3 razy (wtedy będzie 1 reszka), albo 4 razy (wtedy nie będzie wcale reszki). Znajdźmy prawdopodobieństwo każdego z tych zdarzeń. Niech p1 będzie prawdopodobieństwem wyrzucenia orła 3 razy. Wtedy n = 4, k = 3. Mamy: Teraz znajdźmy p2 – prawdopodobieństwo, że reszki wylądują wszystkie 4 razy. W tym przypadku n = 4, k = 4. Mamy: Aby uzyskać odpowiedź, pozostaje dodać prawdopodobieństwa p1 i p2. Pamiętaj: prawdopodobieństwa możesz dodawać tylko w przypadku zdarzeń wzajemnie się wykluczających. Mamy: p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0625 = 0,3125 Odpowiedź: 0,3125

Slajd 13

Opis slajdu:

Zadanie 10. Przed rozpoczęciem meczu siatkówki kapitanowie drużyn losują, która drużyna rozpocznie grę z piłką. Zespół „Statora” na zmianę gra z zespołami „Rotor”, „Motor” i „Rozrusznik”. Znajdź prawdopodobieństwo, że Stator rozpocznie tylko pierwszą i ostatnią partię. Rozwiązanie. Musisz znaleźć prawdopodobieństwo zajścia trzech zdarzeń: „Stator” rozpoczyna pierwszą grę, nie rozpoczyna drugiej gry i rozpoczyna trzecią grę. Prawdopodobieństwo iloczynu niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Prawdopodobieństwo każdego z nich wynosi 0,5, z czego wynika: 0,5·0,5·0,5 = 0,125. Odpowiedź: 0,125.

Sformułowanie problemu: W losowym eksperymencie rzucono dwukrotnie symetryczną monetą. Znajdź prawdopodobieństwo, że reszka (reszka) nie pojawi się ani razu (pojawi się dokładnie/co najmniej 1, 2 razy).

Zadanie stanowi część jednolitego egzaminu państwowego z matematyki na poziomie podstawowym dla klasy 11 pod numerem 10 (klasyczna definicja prawdopodobieństwa).

Przyjrzyjmy się, jak takie problemy są rozwiązywane na przykładach.

Przykładowe zadanie 1:

W losowym eksperymencie rzucono dwukrotnie symetryczną monetą. Znajdź prawdopodobieństwo, że reszka nie wypadnie ani razu.

OO LUB RO RR

W sumie są 4 takie kombinacje. Nas interesują tylko te, które nie zawierają ani jednego orła. Istnieje tylko jedna taka kombinacja (PP).

P = 1/4 = 0,25

Odpowiedź: 0,25

Przykładowe zadanie 2:

W losowym eksperymencie rzucono dwukrotnie symetryczną monetą. Znajdź prawdopodobieństwo wyrzucenia orła dokładnie dwa razy.

Rozważmy wszystkie możliwe kombinacje, które mogą wystąpić, jeśli rzucimy monetą dwukrotnie. Dla wygody orły będziemy oznaczać literą O, a reszki literą P:

OO LUB RO RR

W sumie są 4 takie kombinacje. Nas interesują tylko te, w których reszki pojawiają się dokładnie 2 razy. Istnieje tylko jedna taka kombinacja (OO).

P = 1/4 = 0,25

Odpowiedź: 0,25

Przykładowe zadanie 3:

W losowym eksperymencie rzucono dwukrotnie symetryczną monetą. Znajdź prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie raz.

Rozważmy wszystkie możliwe kombinacje, które mogą wystąpić, jeśli rzucimy monetą dwukrotnie. Dla wygody orły będziemy oznaczać literą O, a reszki literą P:

OO LUB RO RR

W sumie są 4 takie kombinacje. Nas interesują tylko te, w których reszka wypadła dokładnie 1 raz. Istnieją tylko dwie takie kombinacje (OR i RO).

Odpowiedź: 0,5

Przykładowe zadanie 4:

W losowym eksperymencie rzucono dwukrotnie symetryczną monetą. Znajdź prawdopodobieństwo, że reszka pojawi się co najmniej raz.

Rozważmy wszystkie możliwe kombinacje, które mogą wystąpić, jeśli rzucimy monetą dwukrotnie. Dla wygody orły będziemy oznaczać literą O, a reszki literą P:

OO LUB RO RR

W sumie są 4 takie kombinacje. Nas interesują tylko te, w których reszka pojawia się choć raz. Istnieją tylko trzy takie kombinacje (OO, OP i RO).

P = 3/4 = 0,75