Игра кто 1 получит 100. Математические игры - математика и искусство

В данной игре может победить как начинающий, так и противник, всё зависит от того как они будут играть. Например, игрок 1(начинающий) двигает стрелку на 3 часа вперёд, затем игрок 2(противник) двигает стрелку на 3 часа вперёд, проделав точно такое же действие мы наблюдаем последовательность 3;3;3;3, т. Е. Если игроки сделают по 2 хода передвигая стрелку на 3 часа вперёд побеждает игрок 2. Рассмотрим способ победы первого игрока: игрок 1(начинающий) двигает стрелку на 4 часа вперёд, затем игрок 2(противник) тоже двигает стрелку на 4 часа вперёд, и игрок 1(начинающий) следом завершает игру победой двигая стрелку вновь на 4 часа вперёд, последовательность, 4;4;4.
Рассмотрев данную задачу мы заметили, что в ней имеется всего один способ выигрыша игрока 1(начинающего) и один способ выигрыша игрока 2(противника), стоит заметить что один из игроков выиграет в том случае, если все используемые цифры одинаковы, как мы не будем переставлять одновременно числа 3 и 4, число 12 мы никак не получим.

Похожие задачи:

Когда спортсмен из команды 4 А класса на последнем этапе принял эстафетную палочку от своего товарища, его соперник из команды 4 б класса был впереди на 15 м. Участник из команды 4 б бежит со скоростью 5 м/с, а его соперник - 6м/с. Через сколько секунд второй догонит первого? Сможет прошли победить команда 4 а, если длина заключительного этапа составляет 90 м?
По действиям с пояснениями

Задачи-головоломки известны с давних времен, они встречаются уже в египетских папирусах.

С I в. н. э. известна задача, получившая название задачи Иосифа Флавия , римского историка. Легенда рассказывает, что однажды отряд воинов, среди которых находились Флавий и его друг, был окружен. Из всех уставших, выбившихся из сил воинов, отчаявшихся спастись, нужно было выбрать двоих, которые предприняли бы попытку найти выход из окружения. Флавий предложил выбрать этих двоих путем пересчета так, чтобы каждый третий выбывал из построенных в круг воинов. Счет продолжался до тех пор, пока не осталось только два человека. Это были мудрый Флавий и его друг. На какие места в круге они встали, если в отряде был 41 воин? Древняя рукопись сообщает: на 16-е и 31-е.

Крестики-нолики

Игра «крестики-нолики» - одна из древнейших, ее знают все. В квадрате, разделенном на девять клеток, игроки по очереди ставят в свободную клетку свой знак: крестик или нолик, стараясь выстроить три крестика или три нолика подряд. Тот, кто первым сделает это, выигрывает. Если не делать ошибок, то игра оканчивается вничью, выиграть можно только в том случае, если противник ошибется. Самый правильный первый ход-занять угловую клетку. И если партнер не ответит на это своим знаком в центре, то он проиграл. Гораздо интереснее усложненный вариант «крестиков-ноликов» - игра «пять в ряд». На листке клетчатой бумаги двое играющих по очереди ставят крестики и нолики. Выигрывает игрок, который первым выставит пять своих знаков подряд по вертикали, горизонтали или диагонали. Размеры поля игры не ограничиваются.

Ним

Пусть имеется одна или несколько групп предметов. Играющие по очереди берут предметы из групп по правилам, которые заранее устанавливают: какое количество предметов разрешается брать за один раз и из скольких групп. Существует множество вариантов игры, и для большинства известна наилучшая стратегия, ведущая к выигрышу. Наличие самих предметов не обязательно, можно играть и с числами. Двое называют по очереди любое число от 1 до 10 и складывают названные числа. Выигрывает тот, кто первым доведет до 100 сумму чисел, названных обоими игроками. Оптимальная стратегия в этой игре состоит в том, чтобы после хода противника называть числа, дающие, в сумме с предыдущими, члены следующего ряда: 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 100.

Г оловоломки-шутки учат внимательно относиться к каждому слову условия задачи.

Вот одна из них: в кармане лежат две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что это за монеты? Задача основана на психологической особенности человеческого восприятия - запоминать главные факты из условия задачи. В данном случае - то, что монета в кармане не пятак. И начинаются безуспешные попытки решения. А правильный ответ: 10 коп. и 5 коп., так как в условии задачи сказано, что только одна монета не пятак.

Комбинаторные задачи

В старинной задаче «Волк, козел и капуста» крестьянину нужно перевезти через реку волка, козла и капусту. Лодка так мала, что в ней кроме крестьянина может поместиться или только волк, или только козел, или только капуста. Но если оставить волка с козлом, то волк его съест, а если оставить козла с капустой, то будет съедена капуста. Как быть крестьянину?

Головоломки типа этой задачи называются комбинаторными. В таких головоломках требуется путем взаимной перестановки элементов расположить их в соответствии с условием задачи в определенном порядке. В случае с крестьянином переправу нужно начать с перевозки козла. Затем крестьянин возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег и там оставляет, но везет обратно на первый берег козла. Здесь он оставляет его и перевозит к волку капусту. А затем, возвращаясь, перевозит козла.

К комбинаторным головоломкам относится и знаменитый венгерский кубик Рубика, и поли-мино, и игры типа «Игра 15», а также задачи «на маневрирование», головоломки с перестановкой шашек, «Ханойская башня» и др.

О Ханойской башне существует легенда, согласно которой где-то в глубине джунглей в буд-дийском храме находится пирамида, состоящая из 64 золотых дисков. День и ночь жрецы храма заняты разбором этой пирамиды. Они переносят золотые диски на новое место, строго соблюдая следующие правила: за один раз разрешается переносить только один диск и нельзя ни один диск класть на меньший диск. Предание гласит, что, как только жрецы закончат работу, грянет гром, храм рассыплется в пыль и наступит конец света.

Количество перемещений дисков, которые должны сделать жрецы, вычисляется по формуле 2^n - 1, где n-число дисков. Предположим, что жрецы работают так быстро, что за одну секунду переносят один диск. Тогда на всю работу им понадобится (2^64 - 1) с екунд , или около 580 млрд. лет. За это время храм, действительно, может рассыпаться в пыль.

Не менее интересное занятие, чем комбинаторные головоломки, - разгадывание арифметических ребусов , в которых нужно восстановить недостающие цифры. Для игр-головоломок со спичками совсем не обязательно иметь спички, их можно заменить прутиками или черточками на бумаге или земле. Задачи на разрезание относятся к геометрическим головоломкам. Их удобно решать, вычертив предполагаемые фигуры на листке клетчатой бумаги.

Самые древние геометрические головоломки - это головоломки на складывание геометрических фигур из отдельных кусочков. Ужесами названия этих головоломок: «Пифагор» ("Танграмм") , «Колумбово яйцо», «Архимедова игра» - говорят об их древности. Эти игры легко сделать самому, вырезав их из картона.

Топологические головоломки тоже одни из самых древних. К ним относятся всем известные лабиринты, проволочные, шнурковые и объемные сборно-разборные головоломки.

Удивительной для непосвященных кажется способность человека отгадывать задуманное другим число. Но если вы узнаете секреты математических фокусов, то сможете не только их показывать, но и придумывать новые.

Вы просите товарища задумать любое число, затем отнять от него 1, результат умножить на 2, из произведения вычесть задуманное число и сообщить вам результат. Прибавив к нему число 2, вы отгадаете задуманное. Секрет фокуса становится понятен, если записать предложенные действия в виде алгебраического выражения (х -1)*2 -х, где х-задуманное число. Раскрыв скобки и выполнив действия, мы получим, что это выражение равно х - 2.

Можно угадать результат арифметических действий над неизвестным числом, например, так. Ваш товарищ задумал число. Вы просите умножить его на 2, затем прибавить к произведению 12, сумму разделить пополам и вычесть из нее задуманное число. Какое бы число ни было задумано, результат всегда будет равен 6, так как (2х + 12)/2 - х = 6 при любом х.

На рис. 3 изображен «волшебный веер». С его помощью можно отгадать любое задуманное число от 1 до 31. Вы просите указать, на каких лепестках веера написано задуманное число, а затем в уме складываете числа, стоящие под столбцами на этих лепестках. Их сумма всегда будет равна задуманному числу. В наше время большую популярность получили логические задачи-головоломки .

/Савин А.П. Энц. словарь юного математика/

, 1117.18kb.

Задачи

1. (Баше де Мезириак, 1612 г.) Двое называют поочередно целые числа от 1 до 10 и выигрывает тот, кто первый доведет до 100 сумму чисел, названных обоими игроками. Кто выигрывает при правильной игре? Найдите оптимальную стратегию.
2. Имеется 19 спичек. Двое играющих по очереди берут из них 1, 2 или три спички. Проигравшим считается тот, кто возьмет последнюю спичку. Доказать, что берущий спичку первым всегда может выиграть.
3. Каждой вершине куба поставлено в соответствие некоторое неотрицательное действительное число, причем сумма всех этих чисел равна 1. Первый выбирает любую грань куба, второй выбирает другую грань и, наконец, первый выбирает третью грань куба. При этом выбирать грани, параллельные уже выбранным нельзя. Докажите, что первый игрок может играть так, чтобы число, соответствующее общей вершине трех выбранных граней, не превосходило 1/6.
4. Коля и Петя делят 2n +1 орехов (n >2), причем каждый хочет получить возможно больше. Предлагается три способа дележа (каждый проходит в три этапа).

2-й этап: Коля делит каждую часть снова на две, в каждой не меньше одного ореха.

(1-й и 2-й этапы общие для всех трех способов)

3-й этап: при первом способе Коля берет себе большую и меньшую части; при втором способе Коля берет обе средние части; при третьем способе Коля берет либо большую и меньшую части, либо обе средние части, но за право выбора отдает Пете один орех.

Определите, какой способ самый выгодный для Коли, и какой наименее выгоден для него.

1. Имеется набор G из n шаров. Два игрока A и B играют в следующую игру: в первом раунде A делит G на два непустых набора, а B выбирает один из них. Во втором раунде A делит выбранный набор еще на два, а B выбирает один из них и т. д. Игра заканчивается, когда в выбранном игроком B наборе только один шар, при этом игрок A выигрывает, если число раундов нечетно, и проигрывает, если это число четно. Определите, кто выигрывает при правильной игре и укажите выигрышную стратегию, если

1. Двое играют в такую игру. Один называет цифру, а другой выставляет ее по своему усмотрению вместо одной из звездочек в следующей разности: ****–****. Затем первый называет еще одну цифру и так далее 8 раз, пока все звездочки не заменятся на цифры. Тот, кто называет цифры, стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй – чтобы она стала как можно меньше. Докажите, что

Б) первый может называть цифры так, чтобы разность стала не меньше 4000независимо от того, куда расставляет эти цифры второй.

1. Даны две кучки спичек. Вначале в одной кучке m спичек, в другой – n спичек, m >n . Двое по очереди берут из кучки спички. За один ход игрок берет из одной кучки любое (отличное от нуля) число спичек, кратное числу спичек в другой кучке. Выигрывает игрок, взявший последнюю спичку в одной из кучек.

Б) при каких  верно следующее утверждение: если m >n , то игрок, делающий первый ход, может обеспечить себе выигрыш?

*** Фикция ***

1. На окружности дано 25 точек. Двое по очереди проводят хорды с концами в этих точках так, чтобы хорды не пересекались. Проигрывает тот, кто не может провести хорду. Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его партнер?
2. На окружности дано 20 точек. Двое по очереди проводят хорды с концами в этих точках так, чтобы хорды не пересекались. Проигрывает тот, кто не может провести хорду. Кто выигрывает при правильной игре – начинающий или его партнер?

1. Двое играют на шахматной доске в следующую игру: первый ставит на доску короля и делает ход по обычным шахматным правилам, то есть передвигает короля на соседнюю клетку по вертикали, или по горизонтали, или по диагонали. После этого игроки поочередно делают ходы королем, причем не разрешается ставить короля на клетки, где он уже побывал. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает в этой игре?
2. Двое играющих по очереди красят клетки квадрата 88. За один ход игрок красит своим цветом одну клетку. Перекрашивать клетки нельзя. Первый стремится закрасить своим цветом квадрат 22. Может ли второй игрок помешать первому независимо от его игры?

1. Дана полоска клетчатой бумаги длиной в 100 клеток. Двое играющих по очереди красят клетки в черный цвет, причем первый всегда красит 4 подряд идущие клетки, а второй – три подряд идущие. Уже покрашенную клетку вторично раскрашивать нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре с обеих сторон?

1. Написано 20 чисел: 1, 2,…, 20. Двое играющих по очереди ставят перед этими числами знаки «+» или «–» (знак можно ставить перед любым свободным числом). Первый стремится к тому, чтобы полученная после расстановки всех 20 знаков сумма была как можно меньше по модулю. Какую наибольшую по модулю сумму может обеспечить себе второй?
2. Написан многочлен x 10 +*x 9 +x 8 +…+*x 2 +*x +1. Двое играют в такую игру. Сначала первый заменяет любую из звездочек некоторым числом, затем второй заменяет числом любую из оставшихся звездочек, затем снова первый заменяет одну из звездочек числом и т. д. (всего 9 ходов). Если у полученного многочлена не будет действительных корней, то выигрывает первый игрок, а если будет хотя бы один корень – выигрывает второй. Может ли второй игрок выиграть при любой игре первого?
3. Имеется куб и две краски: красная и зеленая. Двое играют в такую игру. Начинающий выбирает три ребра куба и красит их в красный цвет. Его партнер выбирает три ребра из тех, что еще не покрашены, и красит их в зеленый цвет. После этого три ребра в красный цвет красит начинающий, а затем 3 ребра в зеленый цвет – его партнер. Запрещается перекрашивать ребро в другой цвет или красить дважды одинаковой краской. Выигрывает тот, кто сумеет покрасить своей краской все ребра какой-нибудь грани. Верно ли, что начинающий при правильной игре обязательно выигрывает?
4. Два игрока по очереди выписывают на доске натуральные числа, не превосходящие p . Правилами игры запрещается писать на доске делители уже написанных чисел. Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход.

Б) Выясните, кто из игроков имеет выигрышную стратегию для p =1000.

*** Непрерывные задачи ***

Литература

1. Кун Г.У. Позиционные игры и проблема информации. // Позиционные игры. М.: Наука. 1967. С. 13–40.
2. Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука. 1970.
3. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М.: Высшая школа. 1998.
4. Орлов А. Ставь на минус! // Квант. 1977. № 3. С. 41 – 45.

Ответы к стр. 8

23. Вычисли и сделай проверку, поменяв слагаемые местами.

106 + 294 + 530 = 930 472 + 280 + 198 = 950

106 530 472 198
+ 294 + 106 + 280 + 472
530 294 198 280
930 930 950 950

620 + 137 + 209 = 966

620 209
+ 137 + 620
209 137
966 966

24. 1) Выпиши названия всех прямых углов.

DKE, KEM.

2) Измерь длину каждого звена ломаной в миллиметрах и вычисли длину этой ломаной.
Вырази длину этой ломаной в сантиметрах и миллиметрах.

AB = 28 мм, BC = 20 мм, CD = 23 мм, DK = 26 мм, KM = 16 мм, EM = 16 мм, MP =15 мм.
28 + 20 + 23 + 26 + 16 + 16 + 15 = 144 мм
144 мм = 14 см 4 мм

25. Чтобы заполнить бочку вместимостью 96 л, нужно принести 12 вёдер воды. Сколько литров воды входит в 1 ведро? в 2 ведра? в 5 вёдер?

1) 96 : 12 = 8 (л) - входит в 1 ведро;
2) 8 2 = 16 (л) - входит в 2 ведра;
3) 8 5 = 40 (л) - входит в 5 вёдер;

26. В саду 16 яблонь. Под каждое дерево нужно вылить по 10 вёдер воды. Сколько вёдер воды нужно для полива всех этих яблонь?

10 16 = 160 (в.)
О т в е т: всего потребуется 160 вёдер воды.

27. Вычисли значения выражений.

45 + 27 : 3 - 12 = 42 100 - 10 9 - 8 = 2
90 - 36 : 3 2 = 66 17 + 15 3 0 = 17
84 : 4 3 + 2 = 65 5 5 + 75 : 5 = 40

17 3 + 2 10 = 71
80 - 5 2 : 10 = 79
72 : 6 + 6 5 = 42

2) Измени порядок действий с помощью скобок и вычисли значения полученных выражений.

(45 + 27 ) : 3 - 12 = 12 (100 - 10) 9 - 8 = 802
(90 - 36) : 3 2 = 36 (17 + 15) 3 0 = 0
84 : 4 (3 + 2) = 105 5 (5 + 75) : 5 = 80

17 (3 + 2) 10 = 850
(80 - 5) 2 : 10 = 15
72 : (6 + 6) 5 = 30

28. Игра "Кто первым получит 100?"

Двое играющих по очереди называют любое число от 1 до 10 и прибавляют его к сумме названных ранее чисел.
Например, Маша называет 8, а Коля - 3 (сумма 11); Маша называет 5 (сумма стала 16), Коля называет 9 (сумма стала 25) и т. д.
Выигрывает тот, кто первым получит 100.
С о в е т: Чтобы первым получить 100, надо первому получить 89, 79, 69, ... . Подумай почему.

Для победы в этой игре нужно, чтобы предпоследним ходом игрок-противник набрал число не менее 90. Так получается, если игрок-победитель получил предыдущее число 89. В этом случае игрок-противник не может получить число 100 - для этого ему нужно назвать число 11, а оно больше разрешённого. Но назвав любое разрешённое число, игрок-противник получает число, из которого игрок-победитель может сделать число 100. Отсюда можно сделать вывод, что для победы необходимо, чтобы перед ходом игрока-противника разность между числом 100 и получившимся числом была кратна 11 (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Таким образом, игроку-победителю при первом ходе нужно назвать число 1. Как следствие, в условие задачи допущена ошибка - надо получить числа 89, 78, 67, 56, 45, 34, 23, 12, 1.