Лекции по теории игр для экономистов. «Теория систем и системный анализ. Пример решения матричной игры в чистых стратегиях

А именно, о том, что вы видите в заголовке. По существу, это «пространственный аналог» задачи нахождения касательной и нормали к графику функции одной переменной, и поэтому никаких трудностей возникнуть не должно.

Начнём с базовых вопросов: ЧТО ТАКОЕ касательная плоскость и ЧТО ТАКОЕ нормаль? Многие осознают эти понятия на уровне интуиции. Самая простая модель, приходящая на ум – это шар, на котором лежит тонкая плоская картонка. Картонка расположена максимально близко к сфере и касается её в единственной точке. Кроме того, в точке касания она закреплена торчащей строго вверх иголкой.

В теории существует довольно остроумное определение касательной плоскости. Представьте произвольную поверхность и принадлежащую ей точку . Очевидно, что через точку проходит много пространственных линий , которые принадлежат данной поверхности. У кого какие ассоциации? =) …лично я представил осьминога. Предположим, что у каждой такой линии существует пространственная касательная в точке .

Определение 1 : касательная плоскость к поверхности в точке – это плоскость , содержащая касательные ко всем кривым, которые принадлежат данной поверхности и проходят через точку .

Определение 2 : нормаль к поверхности в точке – это прямая , проходящая через данную точку перпендикулярно касательной плоскости.

Просто и изящно. Кстати, чтобы вы не померли со скуки от простоты материала, чуть позже я поделюсь с вами одним изящным секретом, который позволяет РАЗ И НАВСЕГДА забыть о зубрёжке различных определений.

С рабочими формулами и алгоритмом решения познакомимся прямо на конкретном примере. В подавляющем большинстве задач требуется составить и уравнение касательной плоскости, и уравнения нормали:

Пример 1

Решение :если поверхность задана уравнением (т.е. неявно) , то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке можно найти по следующей формуле:

Особое внимание обращаю на необычные частные производные – их не следует путать с частными производными неявно заданной функции (хотя поверхность задана неявно) . При нахождении этих производных нужно руководствоваться правилами дифференцирования функции трёх переменных , то есть, при дифференцировании по какой-либо переменной, две другие буквы считаются константами:

Не отходя от кассы, найдём частную производную в точке:

Аналогично:

Это был самый неприятный момент решения, в котором ошибка если не допускается, то постоянно мерещится. Тем не менее, здесь существует эффективный приём проверки, о котором я рассказывал на уроке Производная по направлению и градиент .

Все «ингредиенты» найдены и теперь дело за аккуратной подстановкой с дальнейшими упрощениями:

– общее уравнение искомой касательной плоскости.

Настоятельно рекомендую проконтролировать и этот этап решения. Сначала нужно убедиться, что координаты точки касания действительно удовлетворяют найденному уравнению:

– верное равенство.

Теперь «снимаем» коэффициенты общего уравнения плоскости и проверяем их на предмет совпадения либо пропорциональности с соответствующими значениями . В данном случае пропорциональны. Как вы помните из курса аналитической геометрии , – это вектор нормали касательной плоскости, и он же – направляющий вектор нормальной прямой. Составим канонические уравнения нормали по точке и направляющему вектору :

В принципе, знаменатели можно сократить на «двойку», но особой надобности в этом нет

Ответ :

Уравнения не возбраняется обозначить какими-нибудь буквами, однако, опять же – зачем? Здесь и так предельно понятно, что к чему.

Следующие два примера для самостоятельного решения. Небольшая «математическая скороговорка»:

Пример 2

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

И задание, интересное с технической точки зрения:

Пример 3

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке

В точке .

Тут есть все шансы не только запутаться, но и столкнуться с трудностями при записи канонических уравнений прямой . А уравнения нормали, как вы, наверное, поняли, принято записывать именно в таком виде. Хотя, по причине забывчивости либо незнания некоторых нюансов более чем приемлема и параметрическая форма.

Примерные образцы чистового оформления решений в конце урока.

В любой ли точке поверхности существует касательная плоскость? В общем случае, конечно же, нет. Классический пример – это коническая поверхность и точка – касательные в этой точке непосредственно образуют коническую поверхность, и, разумеется, не лежат в одной плоскости. В неладах легко убедиться и аналитически: .

Другим источником проблем является факт несуществования какой-либо частной производной в точке. Однако это ещё не значит, что в данной точке нет единой касательной плоскости.

Но то была, скорее, научно-популярная, нежели практически значимая информация, и мы возвращаемся к делам насущным:

Как составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке,
если поверхность задана явной функцией ?

Перепишем её в неявном виде :

И по тем же принципам найдём частные производные:

Таким образом, формула касательной плоскости трансформируется в следующее уравнение:

И соответственно, канонические уравнения нормали:

Как нетрудно догадаться, – это уже «настоящие» частные производные функции двух переменных в точке , которые мы привыкли обозначать буквой «зет» и находили 100500 раз.

Заметьте, что в данной статье достаточно запомнить самую первую формулу, из которой в случае необходимости легко вывести всё остальное (понятно, обладая базовым уровнем подготовки) . Именно такой подход следует использовать в ходе изучения точных наук, т.е. из минимума информации надо стремиться «вытаскивать» максимум выводов и следствий. «Соображаловка» и уже имеющиеся знания в помощь! Этот принцип полезен ещё и тем, что с большой вероятностью спасёт в критической ситуации, когда вы знаете очень мало.

Отработаем «модифицированные» формулы парой примеров:

Пример 4

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Небольшая тут накладка получилась с обозначениями – теперь буква обозначает точку плоскости , но что поделать – такая уж популярная буква….

Решение : уравнение искомой касательной плоскости составим по формуле:

Вычислим значение функции в точке :

Вычислим частные производные 1-го порядка в данной точке:

Таким образом:

аккуратно, не спешим:

Запишем канонические уравнения нормали в точке :

Ответ :

И заключительный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Заключительный – потому, что фактически все технические моменты я разъяснил и добавить особо нечего. Даже сами функции, предлагаемые в данном задании, унылы и однообразны – почти гарантированно на практике вам попадётся «многочлен», и в этом смысле Пример №2 с экспонентой смотрится «белой вороной». Кстати, гораздо вероятнее встретить поверхность, заданную уравнением и это ещё одна причина, по которой функция вошла в статью «вторым номером».

И напоследок обещанный секрет: так как же избежать зубрёжки определений? (я, конечно, не имею в виду ситуацию, когда студент что-то лихорадочно зубрит перед экзаменом)

Определение любого понятия/явления/объекта, прежде всего, даёт ответ на следующий вопрос: ЧТО ЭТО ТАКОЕ? (кто/такая/ такой/такие) . Осознанно отвечая на данный вопрос, вы должны постараться отразить существенные признаки, однозначно идентифицирующие то или иное понятие/явление/объект. Да, поначалу это получается несколько косноязычно, неточно и избыточно (препод поправит =)), но со временем развивается вполне достойная научная речь.

Потренируйтесь на самых отвлечённых объектах, например, ответьте на вопрос: кто такой Чебурашка? Не так-то всё просто;-) Это «сказочный персонаж с большими ушами, глазами и коричневой шерстью»? Далеко и очень далеко от определения – мало ли существует персонажей с такими характеристиками…. А вот это уже гораздо ближе к определению: «Чебурашка – это персонаж, придуманный писателем Эдуардом Успенским в 1966 г, который …(перечисление основных отличительных признаков)» . Обратите внимание, как грамотно начата

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики - и все будет работать великолепно.

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат - точку (0; 0; 0) - то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) - вот и все!

Вычисление координат векторов

А что, если в задаче нет векторов - есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек - начала и конца вектора - можно вычислить координаты самого вектора.

Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:

Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец - в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC - все та же точка A, зато конец - точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!

Вычисление направляющих векторов для прямых

Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.

Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую...

Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой:

Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что угол между двумя прямыми - это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:

Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведены прямые AC и BD 1 . Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA 1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) - это и есть направляющий вектор.

Теперь разберемся с прямой BD 1 . На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D 1 = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Ответ: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

Задача. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, проведены прямые AB 1 и AC 1 . Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA 1 , ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

Для начала разберемся с прямой AB 1 . Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B 1 = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Теперь найдем направляющий вектор для AC 1 . Все то же самое - единственное отличие в том, что у точки C 1 иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем:

Ответ: AB 1 = (1; 0; 1);

Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца. К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки.

Вычисление нормальных векторов для плоскостей

Нормальные векторы - это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости - это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Другими словами, нормаль - это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение - правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом - хоть прямой, хоть вектором.

Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).

Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором - той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно - и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:

Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение A 1 BC 1 . Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно.

Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A 1 , B и C 1 , то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C 1 = (1; 1; 1) получим уравнения:
A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).

Задача. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение AA 1 C 1 C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно.

В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A 1 и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A 1 = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).

Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 - без ущерба для общности решения и правильности ответа.

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами - точками A = (x a ; y a ; z a) и B = (x b ; y b ; z b). Тогда координаты середины отрезка - обозначим ее точкой H - можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка - это среднее арифметическое координат его концов.

Задача. Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K - середина ребра A 1 B 1 . Найдите координаты этой точки.

Поскольку точка K - середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A 1 = (0; 0; 1) и B 1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Задача. Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .

Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A 1 L = C 1 L, т.е. точка L - это середина отрезка A 1 C 1 . Но A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Ответ : L = (0,5; 0,5; 1)

Вектор нормали к поверхности в точке совпадает с нормалью к касательной плоскости в этой точке.

Вектор нормали к поверхности в данной точке - это единичный вектор , приложенный к данной точке и параллельный направлению нормали. Для каждой точки гладкой поверхности можно задать два нормальных вектора, отличающихся направлением. Если на поверхности можно задать непрерывное поле нормальных векторов, то говорят, что это поле задает ориентацию поверхности (то есть выделяет одну из сторон). Если этого сделать нельзя, поверхность называется неориентируемой .

Аналогично определяется вектор нормали к кривой в данной точке. Очевидно, что к кривой к данной точке можно приложить бесконечно много не параллельных векторов нормали (аналогично тому, как к поверхности можно приложить бесконечно много не параллельных касательных векторов). Среди них выбирают два, ортогональных друг к другу: вектор главной нормали, и вектор бинормали .

См. также

Литература

• Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974 (djvu)

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Битва при Треббии (1799)
• Граммонит

Смотреть что такое "Нормаль" в других словарях:

НОРМАЛЬ - (фр.). Перпендикуляр к касательной, проведенной к кривой, в данной точке, нормаль которой отыскивается. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. НОРМАЛЬ перпендикулярная линия к касательной, проведенной к… … Словарь иностранных слов русского языка

нормаль - и, ж. normale f. <лат. normalis. 1. мат. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящий через точку касания. БАС 1. Нормальная линия, или нормаль. В аналитической геометрии так называется прямая линия, перпендикулярная к… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

нормаль - перпендикуляр. Ant. параллель Словарь русских синонимов. нормаль сущ., кол во синонимов: 3 бинормаль (1) … Словарь синонимов

НОРМАЛЬ - (от лат. normalis прямой) к кривой линии (поверхности) в данной ее точке прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная к касательной прямой (касательной плоскости) в этой точке …

НОРМАЛЬ - устаревшее название стандарта … Большой Энциклопедический словарь

НОРМАЛЬ - НОРМАЛЬ, нормали, жен. 1. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящий через точку касания (мат.). 2. Деталь установленного заводом образца (тех.). Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 … Толковый словарь Ушакова

нормаль - нормальный вертикальный стандартный реальный — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы нормальныйвертикальныйстандартныйреальный EN normal … Справочник технического переводчика

нормаль - и; ж. [от лат. normalis прямолинейный] 1. Матем. Перпендикуляр к касательной прямой или плоскости, проходящей через точку касания. 2. Техн. Деталь установленного образца. * * * нормаль I (от лат. normalis прямой) к кривой линии (поверхности) в… … Энциклопедический словарь

НОРМАЛЬ - (франц. normal нормаль, норма, от лат. normalis прямой) 1) Н. в стандарт и з а ц и и устаревшее назв. стандарта. 2) Н. в математике Н. к кривой (поверхности) в данной точке наз. прямую, проходящую через эту точку и перпендикулярную к касат.… … Большой энциклопедический политехнический словарь

нормаль - normalė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normal vok. Normale, f rus. нормаль, f pranc. normale, f … Fizikos terminų žodynas

Книги

• Геометрия алгебраических уравнений, разрешимых в радикалах: С приложениями в численных методах и вычислительной геометрии , Кутищев Г.П.. В этой книге, на теоретическом уровне несколько выше школьного, очень подробно рассмотрены алгебраические уравнения, допускающие решение в элементарных операциях, или решение в радикалах. Эти…

В самом общем случае нормаль к поверхности представляет ее локальную кривизну, и, следовательно, направление зеркального отражения (рис. 3.5). Применительно к нашим знаниям можно сказать, что нормалью называется вектор, определяющий ориентацию грани (рис. 3.6).

Рис. 3.5 Рис. 3.6

Во многих алгоритмах удаления невидимых линий и поверхностей используются только ребра и вершины, поэтому, для того чтобы объединить их с моделью освещения, необходимо знать приближенное значение нормали на ребрах и в вершинах. Пусть заданы уравнения плоскостей полигональных граней, тогда нормаль к их общей вершине равна среднему значению нормалей ко всем многоугольникам, сходящимся к этой вершине. Например, на рис. 3.7 направление приближенной нормали в точке V 1 есть:

n v1 = (a 0 + a 1 + a 4 )i + (b 0 + b 1 + b 4 )j + (c 0 + c 1 + c 4 )k , (3.15)

где a 0 , a 1 , a 4 , b 0 , b 1 , b 4 , c 0 , c 1 , c 4 - коэффициенты уравнений плоскостей трех многоугольниковP 0 , P 1 , P 4 , окружающихV 1 . Отметим, что если требуется найти только направление нормали, то делить результат на количество граней необязательно.

Если же уравнения плоскостей не заданы, то нормаль к вершине можно определить, усредняя векторные произведения всех ребер, пересекающихся в вершине. Еще раз, рассматривая вершину V 1 на рис. 3.7, найдем направление приближенной нормали:

n v1 = V 1 V 2  V 1 V 4 +V 1 V 5  V 1 V 2 + V 1 V 4  V 1 V 5 (3.16)

Рис. 3.7 - Аппроксимация нормали к полигональной поверхности

Следует обратить внимание на то, что необходимы только внешние нормали. Кроме того, если полученный вектор не нормируется, то его величина зависит от количества и площади конкретных многоугольников, а также от количества и длины конкретных ребер. Сильнее проявляется влияние многоугольников с большей площадью и более длинными ребрами.

Когда нормаль к поверхности используется для определения ин­тенсивности и для изображения объекта или сцены выполняется перспективное преобразование, то нормаль следует вычислять до перспективного деления. В противном случае направление нор­мали будет искажено, а это приведет к тому, что интенсивность, задаваемая моделью освещения, будет определена неправильно.

Если известно аналитическое описание плоскости (поверхности), то нормаль вычисляется непосредственно. Зная уравнение плоскости каждой грани многогранника, можно найти направление внешней нормали.

Если уравнение плоскости имеет вид:

то вектор нормали к этой плоскости записывается следующим образом:

, (3.18)

где
- единичные векторы осейx,y,z соответственно.

Величина d вычисляется с помощью произвольной точки, принадлежащей плоскости, например, для точки (
)

Пример. Рассмотрим 4-х сторонний плоский многоугольник, описываемый 4-мя вершинами V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) и V4(1,1,1) (см. рис. 3.7).

Уравнение плоскости имеет вид:

x + y + z - 1 = 0.

Получим нормаль к этой плоскости, используя векторное произведение пары векторов, являющихся смежными ребрами к одной из вершин, например, V1:

Во многих алгоритмах удаления невидимых линий и поверхностей используются только ребра или вершины, поэтому, для того, чтобы объединить их с моделью освещения, необходимо знать приближенное значение нормали на ребрах и в вершинах.

Пусть заданы уравнения плоскостей граней многогранника, тогда нормаль к их общей вершине равна среднему значению нормалей ко всем граням, сходящимся в этой вершине.

Нормаль плоскости n (вектор нормали к плоскости) – это всякий направленный перпендикуляр к ней (ортогональный вектор). Последующие выкладки по определении нормали зависят от метода задания плоскости.

Инструкция

1. Если задано всеобщее уравнение плоскости – AX+BY+CZ+D=0 либо его форма A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, то дозволено сразу записать результат – n(А, В, С). Дело в том, что это уравнение было получено, как задача определения уравнения плоскости по нормали и точке.

2. Для приобретения всеобщего результата, вам потребуется векторное произведение векторов из-за того, что последнее неизменно перпендикулярно начальным векторам. Выходит, векторным произведением векторов, является определенный вектор, модуль которого равен произведению модуля первого (а) на модуль второго (b) и на синус угла между ними. При этом данный вектор (обозначьте его через n) ортогонален a и b – это основное. Тройка этих векторов правая, то есть из конца n кратчайший поворот от a к b совершается вопреки часовой стрелки. – одно из общепризнанных обозначений векторного произведения. Для вычисления векторного произведения в координатной форме, применяется вектор-определитель (см. рис.1)

3. Для того дабы не путаться со знаком «-», перепишите итог в виде: n={nx, ny, nz}=i(aybz-azby)+j(azbx-axbz)+k(axby-aybx), и в координатах: {nx, ny, nz}={(aybz-azby), (azbx-axbz), (axby-aybx)}.Больше того, чтобы не путаться с численными примерами выпишете все полученные значения по отдельности: nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx.

4. Вернитесь к решению поставленной задачи. Плоскость дозволено задать разными методами. Пускай нормаль к плоскости определяется двумя неколлинеарными векторами, причем сразу численно. Пускай даны векторы a(2, 4, 5) и b(3, 2, 6). Нормаль к плоскости совпадает с их векторным произведением и, как только что было выяснено будет равна n(nx, ny, nz),nx=aybz-azby, ny=azbx-axbz, nz=axby-aybx. В данном случае ax=2, ay=4, az=5, bx=3, by=2, bz=6. Таким образом, nx=24-10=14, ny=12-15=-3, nz=4-8=-4. Нормаль обнаружена – n(14, -3, -4). При этом она является нормалью к целому семейству плоскостей.

Под математическим термином нормаль прячется больше привычное на слух представление перпендикуляра. То есть задача нахождения нормали подразумевает поиск уравнения прямой, перпендикулярной к заданной косой либо поверхности, проходящей через определенную точку. В зависимости от того, на плоскости либо в пространстве требуется обнаружить нормаль , данная задача решается по-различному. Разглядим оба варианта задачи.

Вам понадобится

• умение находить производные функции, знание находить частные производные функции нескольких переменных

Инструкция

1. Нормаль к косой, заданной на плоскости в виде уравнения у = f(x).Находим значение функции, которая определяет уравнение данной косой в точке, в которой ищется уравнение нормали: а = f(x0). Находим производную к данной функции: f"(x). Ищем значение производной в этой же точке: B = f"(x0). Вычисляем значение дальнейшего выражения: C = a – B*x0. Составляем уравнение нормали, которое будет иметь вид: у = B*x + C.

2. Нормаль к поверхности либо косой, заданной в пространстве в виде уравнения f = f(x,y,z).Находим частные производные к данной нам функции: f’x(x,y,z), f’y(x,y,z), f’z(x,y,z). Ищем значение этих производных в точке М(x0,y0,z0) – точка, в которой нужно обнаружить уравнение нормали к поверхности либо пространственной косой: A = f’x(x0,y0,z0), B = f’y(x0,y0,z0), C = f’z(x0,y0,z0). Составляем уравнение нормали, которое будет иметь вид: (x – x0)/A = (y – y0)/B = (z – z0)/C

3. Пример:Обнаружим уравнение нормали к функции у = х – х^2 в точке х = 1.Значение функции в данной точке а = 1 – 1 = 0.Производная к функции у’ = 1 – 2х, в данной точке В = у"(1) = -1.Вычисляем С = 0 – (-1)*1 = 1.Желанное уравнение нормали имеет вид: у = -х + 1

Видео по теме

Полезный совет
Частные производные всякий функции нетрудно обнаружить, представив, что все переменные, помимо той которая является исследуемой – константы.

Задача поиска вектора нормали прямой на плоскости и плоскости в пространстве слишком примитивна. Реально она завершается записью всеобщих уравнений прямой либо плоскости. От того что кривая на плоскости каждого лишь частный случай поверхности в пространстве, то именно о нормалях к поверхности и пойдет речь.

Инструкция

1. 1-й метод Данный метод самый примитивный, но для его понимания требуется умение представления скалярного поля. Однако, и неискушенный в этом вопросе читатель сумеет применять результирующие формулы данного вопроса.

2. Знаменито, что скалярное поле f задается как f=f(x, y, z), а любая поверхность при этом – это поверхность яруса f(x, y, z)=C (C=const). Помимо того, нормаль поверхности яруса совпадает с градиентом скалярного поля в заданной точке.

3. Градиентом скалярно поля (функции 3 переменных) именуется вектор g=gradf=iдf/дx+jдf/дy+kдf/дz={дf/дx, дf/дy, дf/дz}. Потому что длина нормали значения не имеет, остается лишь записать результат. Нормаль к поверхностиf(x, y, z)-C=0 в точкеM0(x0, y0, z0) n=gradf=iдf/дx+jдf/дy+kдf/дz={дf/дx, дf/дy, дf/дz}.

4. 2-й метод Пускай поверхность задана уравнением F(x, y, z)=0. Дабы дозволено было в будущем провести аналогии с первым методом, следует рассматривать, что производная непрерывной равна нулю, и F задается как f(x, y, z)-C=0 (C=const). Если провести сечение этой поверхности произвольной плоскостью, то возникшую пространственную кривую дозволено считать годографом какой-нибудь вектор-функции r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t). Тогда производная вектора r’(t)= ix’(t)+jy’(t)+kz’(t) направлена по касательной в некоторой точке M0(x0, y0, z0) поверхности (см. рис.1).

5. Чтобы не появилось путаницы, нынешние координаты касательной прямой следует обозначить, скажем, курсивом (x, y, z). Канонические уравнение касательной прямой, с учетом, что r’(t0) – направляющий вектор, записывается как (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy(t0)/dt)= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt).

6. Подставив координаты вектор-функции в уравнение поверхности f(x, y, z)-C=0 и продифференцировав по t вы получите (дf/дx)(дx/дt)+(дf/дy) (дy/дt)+(дf/дz)(дz/дt)=0. Равенство представляет собой скалярное произведение некоторого вектора n(дf/дx, дf/дy, дf/дz) и r’(x’(t), y’(t), z’(t)). Потому что оно равно нулю, то n(дf/дx, дf/дy, дf/дz) и есть желанный вектор нормали . Видимо, что итоги обоих методов одинаковы.

7. Пример (имеет теоретическое значение). Обнаружить вектор нормали к поверхности заданной типичным уравнением функции 2-х переменных z=z(x, y). Решение. Перепишите это уравнение в форме z-z(x, y)=F(x, y, z)=0. Следуя любому из предложных методов, получается, что n(-дz/дx, -дz/дy, 1) – желанный вектор нормали .