Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

«2. Что называется сторонами угла, обозначенного как EFG? 3. Что называется вершиной угла, обозначенного как EFG? 4. Какая геометрическая фигура называется плоским углом? 5. Сколько плоских...»

Занятие 1. УГОЛ.

ПЛОСКИЙ УГОЛ

Контрольные вопросы и задания

1. Какая геометрическая фигура называется углом?

2. Что называется сторонами угла, обозначенного как EFG?

3. Что называется вершиной угла, обозначенного как EFG?

4. Какая геометрическая фигура называется плоским углом?

5. Сколько плоских углов определяют два различных луча с общей вершиной?

6. Какая фигура называется развёрнутым углом?

7. Какой вид имеет плоский развёрнутый угол?

8. Как определяется угол между двумя отрезками AB и AC с общим концом?

9. Как обозначается угол треугольника MNK при вершине M?

Задачи и упражнения

1. На рис. 1 нарисуйте угол. Отметьте по одной точке на его сторонах. Обозначьте эти точки и вершину угла буквами.

Запишите обозначение этого угла.

2. На рис. 2 нарисуйте и обозначьте угол.

Укажите, какие плоские углы соответРис. 1 ствуют этому углу.

Рис. 2 Рис. 3

3. На рис. 3 нарисуйте два отрезка с общим концом. Обозначьте концы отрезков буквами. Запишите обозначение этого угла.

4. На рис. 4 нарисуйте четыре различных луча с началом в точке O.

Сколько углов вы можете указать на рисунке?

Рис. 4 Рис. 5 5.* На рис. 5 нарисуйте три различных луча с началом в точке O. Сколько плоских углов вы можете указать на рисунке?

1.1. Сколько неразвёрнутых углов можно указать, выбирая стороны из четырёх лучей, проведённых из одной точки О, если никакие два из этих лучей не лежат на одной прямой?

1) 4 2) 6 3) 8 4) 10

1.2. На рис. 6 изображены две пересекающиеся прямые. Сколько всего плоских углов можно указать, выбирая стороны углов из лучей этих прямых?

Рис. 6 1) 6 2) 8 3) 10 4) 12 Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. На рис. 7 изображены два луча AB и AC и пять точек. Какие из указанных точек не содержит плоский угол BAC, внутри которого находится точка M?

1) N 2) K 3) L 4) P

2.2. На луче KN отметили точки A и B, на луче KM отметили точки C и D. Какие из приведённых записей являются обозначениями угла MKN?

1) AKB; 2) BKC; 3) AKD; 4) CKD.

Занятие 2. РАВЕНСТВО УГЛОВ Контрольные вопросы и задания

1. Какой значок используют для обозначения угла?

2. Точки M, N лежат на одной стороне угла с вершиной O, точки E, F на другой его стороне. Запишите четыре обозначения этого угла, используя указанные точки.

3. Сколько плоских углов определяют два различных луча с общей вершиной?

4.** Какая фигура называется плоским развёрнутым углом?

5. В каком случае два угла, образованные лучами с общей вершиной, называются равными?

6. В каком случае два плоских угла называются равными?

Задачи и упражнения

1. На рис. 1 изображены равные углы AOB, BOC, COD. Как переместить копию угла BOD, чтобы она совместилась с углом AOС?

–  –  –

3. При выбранной единице измерения углов плоский угол AOB составлен из 5 эталонных углов, плоский угол BOC составлен из 6 эталонных углов. Чему равна мера угла AOC, составленного из углов AOB и BOC, в выбранных единицах измерения углов?

4. Плоский угол составлен из 73 плоских углов, равных 1°. Чему равна градусная мера этого угла?

5. Что называют величиной угла (в градусах)?

6. Чему равна величина развёрнутого угла?

7. Что можно сказать о градусных мерах равных углов?

8. Что можно сказать об углах, имеющих равные градусные меры?

9. Сколько углов величины 154° можно отложить от заданного луча?

Задачи и упражнения

1. Нарисуйте на клетчатой бумаге (рис. 2) прямоугольник PQRS и измерьте с помощью транспортира его углы. Запишите результаты измерения.

2. Измерьте углы треугольника ABC, изображённого на рис. 3. Запишите результаты измерений.

–  –  –

Проверь себя. Тесты Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.

1.1. Пусть за единицу измерения углов выбран Рис. 3 плоский угол, градусная мера которого равна 12°.

Чему равна градусная мера угла, который в новых единицах имеет меру 8?

1) 84° 2) 96° 3) 108° 4) 112°

1.2. На плоскости задан луч AB. Сколько из вершины A можно провести лучей, образующих с лучом AB угол в 90°?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 Рис. 4

2.1. Предположим, что при измерении плоских углов, которые можно разместить в полуплоскости, используется эталонный угол величиной 15°. Какие из указанных значений могут быть мерой таких углов в новых единицах измерения?

1) 8 2) 10 3) 12 4) 14

2.2. При измерении некоторого заданного угла эталонным углом величиной 15° получили, что в новых единицах измерения мера угла больше 8 и меньше 9. Какие из указанных значений не могут быть величиной заданного угла?

1) 120° 2) 125° 3) 130° 4) 135° Занятие 4. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ НА ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ Контрольные вопросы и задания

1. Какие значения может принимать градусная мера плоского угла, который размещается в некоторой полуплоскости?

2. Как на компасе выглядят направления:

а) на «норд-вест»? б) на «норд-ост»?

в) на «зюйд-ост»? г) на «зюйд-вест»?

3. Плоский угол составлен из 18 плоских углов, равных 1°. Чему равна градусная мера этого угла?

4. Какую величину имеет угол, равный углу в 15°?

5. Пусть задан луч MN. Сколько можно провести лучей MF таких, что FMN = 99°?

–  –  –

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. При измерении некоторого заданного угла эталонным углом величиной 11° получили, что в новых единицах измерения мера угла больше 12 и меньше 13. Какие из указанных значений не могут быть величиной заданного угла?

1) 130° 2) 135° 3) 140° 4) 145°

2.2. Измеряя угол, ученик установил, что его величина больше 38° и меньше 43°. Какие из указанных значений разумно принять за приближённое значение величины этого угла?

1) 37° 2) 40° 3) 43° 4) 46°

Занятие 5. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ НА ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ

Контрольные вопросы и задания

1. Как определяется градусная мера плоского угла, который можно разместить в некоторой полуплоскости?

2. Какую величину имеет угол, составленный из двух углов величиной 69° и 73°?

3. Какую величину имеет угол, составленный из двух углов в 15° каждый?

4. Какую величину имеет угол, составленный из шести углов в 24° каждый?

5. Пусть задан луч MN. Сколько можно провести лучей MF таких, что FMN = 90°?

6.* Как можно назвать угол, который составлен из 18 плоских углов, равных 10°?

Задачи и упражнения

1. Нарисуйте на рис. 2 четырёхугольник, похожий на четырёхугольник MNKL, который изображён на рис. 1. При помощи транспортира измерьте углы нового четырёхугольника, запишите результаты измерений и вычислите сумму градусных мер всех углов.

–  –  –

Проверь себя. Тесты Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.

1.1. Пусть за единицу измерения углов выбран плоский угол, градусная мера которого равна 6°. Какую меру в новых единицах имеет развёрнутый угол?

1) 20 2) 25 3) 30 4) 35

1.2. Пусть за единицу измерения углов выбран плоский угол, градусная мера которого равна 5°. Какую меру в новых единицах имеет угол в 105°?

1) 18 2) 21 3) 24 4) 27 Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. В каких из указанных случаев градусная мера угла больше 90°?

1) угол составлен из 4 эталонных углов по 25°

2) угол составлен из 6 эталонных углов по 12°

3) угол составлен из 8 эталонных углов по 15°

4) угол составлен из 12 эталонных углов по 6°

2.2. В каких из указанных случаев градусная мера угла меньше 180°?

1) угол составлен из 5 эталонных углов по 30°

2) угол составлен из 7 эталонных углов по 20°

3) угол составлен из 13 эталонных углов по 15°

4) угол составлен из 19 эталонных углов по 9° Занятие 6. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ГРАДУСНОЙ МЕРЫ Контрольные вопросы и задания

1. В каких случаях говорят, что плоский угол ABC равен сумме плоских углов ABD и DBC?

2. Чему равна градусная мера суммы двух углов величиной 15° и 60°?

3. Чему равна градусная мера суммы двух углов величиной 63° и 79°?

4. Чему равна градусная мера суммы трёх углов величиной 25°, 35° и 45°?

5. Чему равна градусная мера суммы пяти равных углов величиной в 32° каждый?

6. При каком условии сумму двух плоских углов величиной ° и ° можно разместить в одной полуплоскости?

7. Чему равна градусная мера половины развёрнутого угла?

8. В каком случае луч OF называется биссектрисой плоского угла MON?

Задачи и упражнения

1. Найдите, чему равна градусная мера суммы углов величины 36° и 78°.

2. Плоский угол ВАС составлен из трёх углов величиной 27°, 49°, 35°.

Чему равна величина угла ВАС?

3. Плоский угол ВАС составлен из пяти углов величиной 11°, 13°, 17°, 22°, 26°. Чему равна величина угла ВАС?

4. Плоский угол ВАС составлен из пяти равных углов, величина каждого из которых равна 31°. Чему равна величина угла ВАС?

5. Два равных угла в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?

6. Три равных угла в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?

7.* Пять одинаковых углов в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?

8.** Пятнадцать одинаковых углов в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?

–  –  –

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. Известно, что AOB = 30°, BOC = 45°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOC?

1) 15° 2) 45° 3) 75° 4) 90°

2.2. Известно, что AOB = 90°, BOC = 60°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOC?

1) 30° 2) 60° 3) 90° 4) 150° Занятие 7. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНОГО СВОЙСТВА

ГРАДУСНОЙ МЕРЫ

1. Чему равна величина плоского угла ABC, который составлен из плоских углов ABD и DBC?

2. Плоский угол величиной 76° составлен из двух углов, и величина одного из этих углов равна 47°. Чему равна градусная мера другого из этих двух углов?

3. Плоский угол величиной 123° составлен из двух углов, и величина одного из этих углов равна 58°. Чему равна градусная мера другого из этих двух углов?

4. Плоский угол величиной 136° составлен из двух равных плоских углов. Чему равна градусная мера каждого из этих двух углов?

5. Плоский угол величиной 141° составлен из трёх равных плоских углов. Чему равна градусная мера каждого из этих трёх углов?

6. Сколько биссектрис можно провести у заданного плоского угла?

Задачи и упражнения

1. Внутри плоского угла MNK величины 126° из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 64°. Чему равна величина угла PNK?

2. Вне плоского угла MNK величины 39° из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 77°. Чему равна величина угла PNK?

3. Внутри плоского угла MNK величины 108° из вершины N проведён луч NP так, что угол MNP в два раза больше угла PNK. Чему равна величина угла MNP?

4. Внутри плоского угла MNK величины 48° из вершины N проведён луч NP так, что угол MNP в пять раз больше угла PNK. Чему равна величина угла PNK?

5. Дан угольник, углы которого равны 45°, 45° и 90°. Углы какой величины можно изобразить с помощью этого угольника?

6. Дан угольник, углы которого равны 15°, 75° и 90°. Углы какой величины можно изобразить с помощью такого угольника?

Проверь себя. Тесты Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.

1.1. На плоскости задан луч AB. В разных полуплоскостях относительно прямой AB провели лучи AC и AD так, что BAC = 130°, BAD = 145°. Чему равна величина угла CAD?

1) 85° 2) 95°; 3) 105° 4) 115°.

1.2. На плоскости проведены различные лучи AB, AC, AD, AE так, что величины углов BAC, CAD, DAE равны 105°. Чему равна величина угла BAE?

1) 25° 2) 35° 3) 45° 4) 55° Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. Известно, что AOB = 15°, BOC = 30°, COD = 60°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOD?

1) 15° 2) 45° 3) 75° 4) 105°

2.2. В полуплоскости проведён некоторый луч AB с вершиной на границе полуплоскости, и в этой полуплоскости нужно изобразить угол CAB величиной от 0° до 180°. Сколько может быть таких углов в зависимости от положения луча AB и заданной величины угла?

1) ни одного 2) 1 3) 2; 4) 3 Занятие 8. ПРЯМОЙ УГОЛ. КВАДРАТ. ПРЯМОУГОЛЬНИК Контрольные вопросы и задания

1. Как определяется прямой угол?

2. Чему равна градусная мера прямого угла?

3. Чему равны углы, образующиеся между пересекающимися линиями клетчатой бумаги?

4. Какое свойство углов квадрата вы знаете?

5. Какое свойство сторон квадрата вы знаете?

6. Какое свойство углов прямоугольника вы знаете?

7. Какое свойство сторон прямоугольника вы знаете?

Задачи и упражнения

1. Внутри плоского прямого угла MNK из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 37°. Чему равна величина угла PNK?

2. Вне плоского прямого угла MNK из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 62°. Чему равна величина угла PNK?

3.** Вне плоского прямого угла MNK из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 115°. Найдите все значения, какие может иметь величина угла PNK.

–  –  –

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. Известно, что AOB = 140°, BOC = 90°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOC?

1) 40° 2) 50° 3) 130° 4) 140°

2.2. Луч делит прямой угол на два угла. Измеряя больший из получившихся углов, ученик установил, что величина этого угла больше 77° и меньше 81°. Какие из указанных значений разумно принять за приближённое значение другого из полученных углов?

1) 9° 2) 10° 3) 11° 4) 12° Занятие 9. ВИДЫ УГЛОВ. ТУПОЙ И ОСТРЫЙ УГОЛ Контрольные вопросы и задания

1. Какой угол называется развёрнутым?

2. Какой угол называется прямым?

3. Какой угол называется острым?

4. Какой угол называется тупым?

5. Как можно назвать угол величиной 79°?

6. Как можно назвать угол величиной 91°?

Задачи и упражнения

1. Нарисуйте на рис. 1 треугольник, у которого все углы острые.

–  –  –

4.** Нарисуйте на рис. 4 четырёхугольник с тремя острыми углами.

5. Часы показывают указанное время. Отметьте случаи, когда часовая и минутная стрелки образуют острые углы.

а) 2 ч 5 мин б) 4 ч 10 мин в) 12 ч 30 мин г) 12 ч 14 мин д) 3 ч 48 мин 6.** Найдите, какой угол образуют минутная и часовая стрелки, когда часы показывают:

а) 12 ч 12 мин б) 2 ч 24 мин в) 1 ч 36 мин г) 3 ч 48 мин

–  –  –

Занятие 10. СМЕЖНЫЕ УГЛЫ Контрольные вопросы и задания

1. Из точки M, лежащей на отрезке AB, проведён луч MC. Какой угол будет смежным к углу BMC?

2. В каком случае углы AMB и BMC будут смежными?

3. Что вы можете сказать о вершинах двух смежных углов?

4. Что вы можете сказать о сторонах двух смежных углов?

5. Каким свойством обладают величины смежных углов AOB и BOC?

6. Известно, что MNK = 73°. Какую величину имеет смежный с ним угол?

7. Что вы можете сказать об угле, смежном острому углу?

8. Что вы можете сказать об угле, смежном тупому углу?

9. В каком случае угол равен смежному с ним углу?

Задачи и упражнения

1. Даны два смежных угла. Величина одного из них на 28° больше другого. Чему равны эти углы?

2. Некоторый угол на 72° больше смежного с ним угла. Чему равен каждый из этих углов?

3. Даны два смежных угла. Величина одного из них в четыре раза больше другого. Чему равны эти углы?

4. Даны два смежных угла. Величина одного из углов в пять раз больше величины другого. Чему равна величина каждого из этих углов?

5. Даны два смежных угла. Величина одного из них на 36° меньше величины другого. Чему равна величина каждого из этих углов?

6. Сумма градусных мер двух углов, смежных с данным углом, равна 70°. Чему равна величина данного угла?

7. Величины двух смежных углов относятся как 7: 9. Чему равны эти углы?

–  –  –

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. Известно, что величина угла AOB больше 112°. Какие из приведённых значений не могут быть величиной угла, смежного к углу AOB?

1) 55° 2) 60° 3) 65° 4) 70°

2.2. Известно, что углы AOB и BOC являются смежными, и AOB 4 · BOC. Какие значения может иметь величина угла BOC?

1) 30° 2) 35° 3) 40° 4) 45°

–  –  –

2. Что вы можете сказать о вершинах двух вертикальных углов?

3. Что вы можете сказать о сторонах двух вертикальных углов?

4. Каким свойством обладают величины вертикальных углов AOB и COD?

5. Известно, что MNK =123°. Какую величину имеет вертикальный с ним угол?

6. Что вы можете сказать об угле, вертикальном по отношению к острому углу?

7. Что вы можете сказать об угле, вертикальном по отношению к тупому углу?

Задачи и упражнения

1. Один из двух углов, полученных при пересечении двух прямых, в три раза больше другого. Найдите и запишите величины всех углов с вершиной в точке пересечения прямых.

2. Три угла из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, в сумме составляют 240°. Чему равен четвёртый угол?

3.* Сумма двух углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 100°. Чему равны два других угла?

4.* Сумма двух углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 320°. Чему равны два других угла?

5.** Сумма трёх углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 280°. Чему равны два других угла?

6.** Сумма двух углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 180°. Чему равны два других угла?

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из двух различных лучей, исходящих из одной точки. В данном случае, эти лучи называются сторонами угла. Точка, являющаяся началом лучей, называется вершиной угла. На рисунке вы можете увидеть угол с вершиной в точке О , и сторонами k и m .

На сторонах угла отмечены точки А и С. Этот угол можно обозначить как угол AOC. В середине обязательно должно стоять название точки, в которой находится вершина угла. Также существуют и другие обозначения, угол О или угол km. В геометрии вместо слова угол часто пишут специальный значок.

Развернутый и неразвернутый угол

Если у угла обе стороны лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым углом. То есть одна сторона угла является продолжением другой стороны угла. На рисунке нижк представлен развернутый угол О.

Следует отметить, что любой угол, разделяет плоскость на две части. Если угол не является развернутым, то одна из частей называется внутренней областью угла, а другая внешней областью этого угла. На рисунке ниже представлен неразвернутый угол и отмечены внешняя и внутренняя области этого угла.

В случае с развернутым углом любую из двух частей, на которые он делит плоскость, можно считать внешней областью угла. Можно говорить о положении точки относительно угла. Точка может лежать вне угла (во внешней области), может находится на одной из его сторон, либо может лежать внутри угла (во внутренней области).

На рисунке ниже, точка А лежит вне угла О, точка B лежит на одной из сторон угла, а точка С лежит внутри угла.

Измерение углов

Для измерения углов существует прибор называемый транспортиром. Единицей измерения угла является градус . Следует отметить, что каждый угол имеет определенную градусную меру, которая больше нуля.

В зависимости от градусной меры углы делятся на несколько групп.