Решения получаемые с помощью теории игр. Математическая теория игр. Примеры записи и решения игр из жизни. Игры с природой

Мы постоянно что-то измеряем — время, длину, скорость, массу. И для каждой величины есть своя единица измерения, а зачастую несколько. Метры и километры, килограммы и тонны, секунды и часы — все это нам знакомо. А как же измерить информацию? Для информации тоже придумали единицу измерения и назвали ее бит .

Бит — это минимальная единица измерения информации.

В одном бите содержится очень мало информации. Он может принимать только одно из двух значений (1 или 0, да или нет, истина или ложь). Измерять информацию в битах очень неудобно — числа получаются огромные. Ведь не измеряют же массу автомобиля в граммах.

Например, если представить объем флешки в 4Гб в битах мы получим 34 359 738 368 бит. Представьте, пришли вы в компьютерный магазин и просите продавца дать вам флешку объемом 34 359 738 368 бит. Вряд ли он вас поймет

Поэтому в информатике и в жизни используются производные от бита единицы измерения информации. Но у них у всех есть замечательное свойство — они являются степенями двойки с шагом 10.

Итак, возьмем число 2 и возведем его в нулевую степень. Получим 1 (любое число в нулевой степени равно 1). Это будет байт.

В одном байте 8 бит.

Теперь возведем 2 в 10-ю степень — получим 1024. Это килобайт (Кбайт).

В одном килобайте 1024 байт.

Если возвести 2 в 20 степень — получим мегабайт (Мбайт).

1Мбайт = 1024 Кбайт.

Название	Символ	Степень
байт	Б	2 0
килобайт	кБ	2 10
мегабайт	МБ	2 20
гигабайт	ГБ	2 30
терабайт	ТБ	2 40
петабайт	ПБ	2 50
эксабайт	ЭБ	2 60
зеттабайт	ЗБ	2 70
йоттабайт	ЙБ	2 80

Понимание данной темы позволит успешно и к

Наука информатика - обширная область знаний и новейших технологий, связанных с информационной деятельностью человека. Информатика не просто важная научная и учебная дисциплина, но и отрасль национальной экономики, которая требует опережающего, приоритетного развития. Создание и реализация новых информационных технологий в сферах промышленности, науки, образования, культуры приобрело чрезвычайно большое значение во всем мире.

Цели урока: изучить понятия информация, её свойства, единицы измерения информации, объем информации, наука информатика; развивать умения высказывать свое мнение, аргументировать свою точку зрения; воспитывать внимательность, аккуратность при работе на ПК; развивать навыки работы с компьютерной презентацией.

Тип урока: урок формирования новых знаний.

Материально-техническое оснащение: компьютер с установленным пакетом Microsoft Office; презентация «9 класс. Урок №1. Информация. Информатика»; карточки с домашним заданием.

Структура урока

1. Организационный момент (2 мин).

2. Мотивация учебной деятельности. Постановка задач и целей урока (2мин.).

3. Изучение нового материала (38 мин).

4. Подведение итогов урока (2 мин).

5. Домашнее задание (1мин).

Ход урока

1. Организационный момент.

Приветственное слово учителя. Знакомство с учащимися. Ознакомление учащихся с требованиями учителя при изучении информатики и правилами работы с презентацией.

2. Мотивация учебной деятельности.

информатика в школе - наука о способах обработки информации с помощью компьютеров

Вы приступаете к изучению новой науки информатики - обширной области знаний и новейших технологий, связанных с информационной деятельностью человека. Информатика не только важная научная и учебная дисциплина, но и отрасль национальной экономики, которая требует опережающего, приоритетного развития. Создание и внедрение новых информационных технологий в сферах промышленности, науки, образования, культуры приобрело гигантское значение во всем мире.

Сегодня на уроке мы должны с вами выяснить, что же это за наука информатика, и что является объектом её изучения.

3. Изучение нового материала с использованием компьютерной презентации «9класс. Урок №1. Информация. Информатика».

1) Мозговой штурм

Наверняка, вы уже кое-что слышали об информатике, молодой, стремительно развивающейся науке.

Задание: закончите предложение 1-3 слова. « Информатика это наука, которая изучает …» (или с каким словом у вас ассоциируется слово «информатика»)?

(Учащиеся высказывают свое мнение).

Учитель: «В конце урока мы выясним, кто был из вас прав».

2) Рассказ учителя (с элементами беседы с учащимися) с использованием презентации «9 класс. Урок №1. Информация. Информатика». (При отсутствии учебников, учащиеся записывают конспект урока, с помощью учителя).

Слайд 2 . Вы уже изучаете физику и химию, и вам известно, что окружающий мир состоит из энергии и вещества. Мир существует благодаря взаимным превращениям вещества в энергию и наоборот, энергии в вещество. Например: пища, которую вы употребляете ежедневно, преобразовывается в энергию необходимую для нормальной жизнедеятельности вашего организма.

Однако в мире существует еще один важнейший компонент, который нельзя отнести ни к энергии, ни к веществу. Это информация. Информация очень важна для полноценного развития живых организмов. Например: информацию о температуре внешней среды простейшие одноклеточные организмы используют для выбора благоприятных условий для своего существования; человек использует информацию из программы телепередач, чтобы выбрать интересующую его передачу и т. д.

Любое действие человека есть ответ на ту или иную информацию. Так. Что же такое «информация»?

@Информация ( от лат. Informatio) - это сведения об окружающем мире и протекающих в нем процессах.

Слайд 3. Кто же или что может «выступать» в качестве источника информации, а кто или что является потребителем информации?

@ Источники информации:

Технологические процессы;

Научные эксперименты;

Механизмы;

Природные объекты.

@ Потребители (получатели) информации:

Люди;

Растения;

Животные;

Механизмы.

Слайд 4. Выясним, в каких формах можно воспринимать информацию, т.е. на какие виды ее можно разделить. (Учитель и ученики приводят примеры, на все виды информации).

@ Виды информации:

? по способу восприятия (визуальная, аудиальная, обонятельная, вкусовая, тактильная);

? по способу обработки (числовая, текстовая, графическая, звуковая);

? по способу представления (образно-знаковая, сигнальная)

? по области применения (научно-техническая, художественно-эстетическая, учебная);

? как результат интеллектуальной деятельности человека (личная, общественная, общечеловеческая);

? относительно системы, обрабатывающей информацию (входная, внутренняя, исходная);

? по области распространения (массовая, с ограниченным доступом, конфиденциальная, открытая).

Слайд 5. Любое вещество можно охарактеризовать его свойствами, например, твёрдое, легкоплавкое, бурого цвета и т.д. Информация также обладает свойствами, правда, они не столь наглядны, как свойства веществ.

Как вы думаете, почему одни люди сразу реагируют на определённую информацию, в то время как других эта информация оставляет равнодушными? Например, расписание уроков вашего класса, абсолютно не интересует второклассника, но интересует вас, ваших родителей. Дело в том, что информация обладает таким свойством, как ценность. (Далее, аналогично приведённому выше примеру, учитель и ученики приводят примеры на каждое свойство информации.)

@Свойства информации:

Ценность;

Полнота;

Объективность;

Актуальность;

Достоверность;

Доступность (понятность).

Итак, мы рассмотрели свойства информации. Теперь зададимся вопросом, можно ли определить количество информации, подобно тому, как определяют расстояние, массу, объём. Оказывается, что это возможно, и существуют единицы информации.

Слайд 6. Единицей информации в информатике является бит.

@ Бит - это наименьшая единица измерения информации.

Что такое бит, проще всего понять на примерах ситуаций, когда вам нужно ответить на вопрос типа «да - нет». Например, «Ты пойдешь сегодня в школу?». Ответ «Да» или «Нет» и будет равен одному биту.

Название «бит» выбрано не случайно. Событие, имеющее два исхода, может быть записано с помощью двух цифр: 0 и 1. Числа, которые записаны с помощью только двух цифр 0 и 1 называются двоичными, с помощью этих чисел представляется вся информация в вычислительных машинах, но о них мы поговорим на следующем уроке.

Бит - единица довольно мелкая, и её недостаточно для измерения современных объёмов информации. Поэтому используют более крупные единицы, основной из них является байт.

@ 8 бит = 1 байт

@ 1 килобайт(1Кб) = 1024 байт

@ 1 мегабайт(1Мб) = 1024 Кб

@ 1 гигабайт(1Гб) = 1024 Мб

А теперь рассмотрим, как определить информационный объём текста или информационного сообщения. Любой текст записывается на каком - либо языке, а язык основывается на алфавите.

@, где N - количество символов в алфавите;

i - информационный вес одного символа алфавита.

Например, в компьютерном алфавите 256 символов, N = 256 = , значит, информационный вес символа равен i = 8бит = 1 байт.

Слайд 7. Для вычисления информационного объёма текста (сообщения) пользуются формулой

@ I = K . i , где I - информационный объём;

К - количество символов в тексте (сообщении);

i - информационный вес одного символа алфавита.

Задача. Книга, подготовленная с помощью компьютера, содержит 150 страниц. На каждой странице - 40 строк, в каждой строке - 60 символов (включая пробелы между словами). Каков объём информации в книге?

Решение. Количество символов в компьютерном алфавите 256, значит, N = 256 = , информационный вес символа равен i = 8бит = 1 байт.

Одна страниц содержит 1 байт.40.60 = 2400байт информации. Объём всей информации в книге I = 2400.150 = 360000байт.

Слайд 8. Теперь давайте вернёмся к вопросу «Что изучает информатика?»

@ Информатика - это раздел науки изучающий свойства информации, а также закономерности её поиска, сбора, хранения, обработки, передачи.

Информатика как наука сравнительно молода, она сформировалась во второй половине ХХ века, но, не смотря на свой юный возраст, стала обязательной частью образования современного человека. Ещё недавно (1975г.) информатика являлась названием научной дисциплины, привлекавшей внимание узкого круга специалистов, и по своему значению была близка к термину « документоведение», т.е. общие методы работы с различными документами. Однако к концу 70-х годов всё изменилось. Настоящим взрывом в развитии информатики стало появление персонального компьютера - первого массового инструмента обработки информации. Это ускорило вторжение информатики в жизнь человек, изменило различные стороны его жизнедеятельности: досуг, образование, работу и т.д. Английский вариант названия информатика звучит как Computer Science - компьютерная наука.

1. Подведение итогов урока.

Сегодня на уроке: изучили...; рассмотрели…; научились…

2. Домашнее задание.

1) Алфавит племени Мальта состоит из 32 букв. Какое количество информации несёт одна буква этого алфавита?

2) Сообщение, записанное из 16-символьного алфавита, содержит 50 символов. Какой объём информации оно несёт?

3) Сколько символов содержит текст, записанный с помощью 16-символьного алфавита, если его объём составил 1/16 часть Мегабайта?

Для измерения длины есть такие единицы, как миллиметр, сантиметр, метр, километр. Известно, что масса измеряется в граммах, килограммах, центнерах и тоннах. Бег времени выражается в секундах, минутах, часах, днях, месяцах, годах, веках. Компьютер работает с информацией и для измерения ее объема также имеются соответствующие единицы измерения.

Мы уже знаем, что компьютер воспринимает всю информацию . Бит – это минимальная единица измерения информации, соответствующая одной двоичной цифре («0» или «1»).

Байт состоит из восьми бит. Используя один байт, можно закодировать один символ из 256 возможных (256 = 2 8). Таким образом, один байт равен одному символу, то есть 8 битам:

1 символ = 8 битам = 1 байту.

Изучение компьютерной грамотности предполагает рассмотрение и других, более крупных единиц измерения информации.

Таблица байтов:

1 байт = 8 бит

1 Кб (1 Килобайт ) = 2 10 байт = 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2 байт =
= 1024 байт (примерно 1 тысяча байт – 10 3 байт)

1 Мб (1 Мегабайт ) = 2 20 байт = 1024 килобайт (примерно 1 миллион байт – 10 6 байт)

1 Гб (1 Гигабайт ) = 2 30 байт = 1024 мегабайт (примерно 1 миллиард байт – 10 9 байт)

1 Тб (1 Терабайт ) = 2 40 байт = 1024 гигабайт (примерно 10 12 байт). Терабайт иногда называют тонна .

1 Пб (1 Петабайт ) = 2 50 байт = 1024 терабайт (примерно 10 15 байт).

1 Эксабайт = 2 60 байт = 1024 петабайт (примерно 10 18 байт).

1 Зеттабайт = 2 70 байт = 1024 эксабайт (примерно 10 21 байт).

1 Йоттабайт = 2 80 байт = 1024 зеттабайт (примерно 10 24 байт).

В приведенной выше таблице степени двойки (2 10 , 2 20 , 2 30 и т.д.) являются точными значениями килобайт, мегабайт, гигабайт. А вот степени числа 10 (точнее, 10 3 , 10 6 , 10 9 и т.п.) будут уже приблизительными значениями, округленными в сторону уменьшения. Таким образом, 2 10 = 1024 байта представляет точное значение килобайта, а 10 3 = 1000 байт является приблизительным значением килобайта.

Такое приближение (или округление) вполне допустимо и является общепринятым.

Ниже приводится таблица байтов с английскими сокращениями (в левой колонке):

1 Kb ~ 10 3 b = 10*10*10 b= 1000 b – килобайт

1 Mb ~ 10 6 b = 10*10*10*10*10*10 b = 1 000 000 b – мегабайт

1 Gb ~ 10 9 b – гигабайт

1 Tb ~ 10 12 b – терабайт

1 Pb ~ 10 15 b – петабайт

1 Eb ~ 10 18 b – эксабайт

1 Zb ~ 10 21 b – зеттабайт

1 Yb ~ 10 24 b – йоттабайт

Выше в правой колонке приведены так называемые «десятичные приставки», которые используются не только с байтами, но и в других областях человеческой деятельности. Например, приставка «кило» в слове «килобайт» означает тысячу байт, также как в случае с километром она соответствует тысяче метров, а в примере с килограммом она равна тысяче грамм.

Возникает вопрос: есть ли продолжение у таблицы байтов? В математике есть понятие бесконечности, которое обозначается как перевернутая восьмерка: ∞.

Понятно, что в таблице байтов можно и дальше добавлять нули, а точнее, степени к числу 10 таким образом: 10 27 , 10 30 , 10 33 и так до бесконечности. Но зачем это надо? В принципе, пока хватает терабайт и петабайт. В будущем, возможно, уже мало будет и йоттабайта.

Напоследок парочка примеров по устройствам, на которые можно записать терабайты и гигабайты информации.

Есть удобный «терабайтник» – внешний жесткий диск, который подключается через порт USB к компьютеру. На него можно записать терабайт информации. Особенно удобно для ноутбуков (где смена жесткого диска бывает проблематична) и для резервного копирования информации. Лучше заранее делать резервные копии информации, а не после того, как все пропало.

Флешки бывают 1 Гб, 2 Гб, 4 Гб, 8 Гб, 16 Гб, 32 Гб, 64 Гб и даже 1 терабайт.

Могут вмещать 650 Мб, 700 Мб, 800 Мб и 900 Мб.

DVD-диски рассчитаны на большее количество информации: 4.7 Гб, 8.5 Гб, 9.4 Гб и 17 Гб.

Мы уже знаем, что компьютер воспринимает всю информацию через нули и единички. Бит - это минимальная единица измерения информации, соответствующая одной двоичной цифре («0» или «1»).

Байт состоит из восьми бит. Используя один байт, можно закодировать один символ из 256 возможных (256 = 28). Таким образом, один байт равен одному символу, то есть 8 битам:

1 символ = 8 битам = 1 байту.

Таблица байтов: 1 байт = 8 бит

1 Кб (1 Килобайт) = 210 байт = 2*2*2*2*2*2*2*2*2*2 байт =

1024 байт (примерно 1 тысяча байт - 103 байт)

1 Мб (1 Мегабайт) = 220 байт = 1024 килобайт (примерно 1 миллион байт - 106байт)

1 Гб (1 Гигабайт) = 230 байт = 1024 мегабайт (примерно 1 миллиард байт - 109байт)

1 Тб (1 Терабайт) = 240 байт = 1024 гигабайт (примерно 1012 байт). Терабайт иногда называют тонна.

1 Пб (1 Петабайт) = 250 байт = 1024 терабайт (примерно 1015 байт).

1 Эксабайт = 260 байт = 1024 петабайт (примерно 1018 байт).

1 Зеттабайт = 270 байт = 1024 эксабайт (примерно 1021 байт).

1 Йоттабайт = 280 байт = 1024 зеттабайт (примерно 1024 байт).

В приведенной выше таблице степени двойки (2 10 , 2 20 , 2 30 и т.д.) являются точными значениями килобайт, мегабайт, гигабайт.

Напоследок парочка примеров по устройствам, на которые можно записать терабайты и гигабайты информации. Есть удобный «терабайтник» - внешний жесткий диск, который подключается через порт USB к компьютеру. На него можно записать терабайт информации. Особенно удобно для ноутбуков (где смена жесткого диска бывает проблематична) и для резервного копирования информации. Лучше заранее делать резервные копии информации, а не после того, как все пропало.

Упражнения по компьютерной грамотности:

1) Сколько байт (без кавычек) содержит фраза «Сегодня 7 июля 2011 г.»?

2) Сколько байт (килобайт) занимает одна страница текста, если в одной строке помещается 60 символов, а на странице - 40 строк? Каков объем одной книги, состоящей из 100 подобных страниц?

3) Терабайтник - это внешний жесткий диск, который подключается к компьютеру через разъем USB, и имеет емкость 1 террабайт. В инструкции по его применению написано, что на этот диск может поместиться 250 тыс. музыкальных файлов или 285 тыс. фотографий. Каковы по мнению производителей этого устройства размер одного музыкального файла и размер одной фотографии?

4) Сколько подобных музыкальных файлов может поместиться на одном CD-диске размером 700 мегабайт?

5) Сколько подобных фотографий может поместиться на флешке размером 4 гигабайта?

Решения:

1) «Сегодня » - с пробелом (но без кавычек) 8 байт «7 июля » - с двумя пробелами (без кавычек) 7 байт «2010 г.» - с пробелом и с точкой (без кавычек) 7 байт Итого: 8 + 7 + 7 = 22 байта «весит» фраза «Сегодня 7 июля 2010 г.»

2) В одной строке помещается 60 символов, значит, объём одной строки 60 байт. На странице 40 таких строк, в каждой из которых содержится по 60 байт, поэтому объём одной страницы текста 60 x 40 = 2400 байт = 2,4 Килобайта = 2,4 Кб

Объём одной книги 2400 x 100 = 240 000 байт = 240 Килобайт = 240 Кб

3) Размер одного музыкального файла, который по мнению производителей можно записать на «терабайтник»: 1 000 000 000 000: 250 000 = (сокращаем по три нуля в делимом и в делителе) 1000 000 000: 250 = 4 000 000 байт = 4 Мегабайта = 4 Мб

Размер одной фотографии, который по мнению производителей можно записать на «терабайтник»: 1 000 000 000 000: 285 000 = (сокращаем по три нуля в делимом и в делителе) 1 000 000 000: 285 = 3 508 771, 93 байта = (округляем) 3,5 Мегабайта = 3,5 Мб

4) На CD-диске размером 700 мегабайт может поместиться 700 Мб: 4 Мб = 175 музыкальных файлов, каждый из которых размером не более 4 Мб. Здесь мегабайты можно сразу делить на мегабайты, а вот при работе с разными объёмами байтов лучше сначала переводить все в байты, а потом выполнять с ними различные арифметические операции.

5) На флешке размером 4 гигабайта может поместиться 4 000 000 000: 3 508 771, 93 = (сокращаем по три нуля в делимом и в делителе) = 4 000 000: 3 508 = 1 139,99 фото = (округляем) 1 140 фото, каждое из которых размером не более 3,5 Мб.

Можно считать и приблизительно. Тогда: На флешке размером 4 гигабайта может поместиться 4 000 000 000: 3 500 000 = (сокращаем по пять нулей в делимом и в делителе) = 40 000: 35 = 1 142,86 фото = (округляем в сторону уменьшения) 1 140 фото, каждое из которых размером не более 3,5 Мб

Возникшая в сороковых годах XX века математическая теория игр чаще всего применяется именно в экономике. Но как с помощью концепции игр смоделировать поведение людей в обществе? Зачем экономисты изучают, в какой угол чаще бьют пенальти футболисты, и как выиграть в «Камень, ножницы, бумагу» в своей лекции рассказал старший преподаватель кафедры микроэкономического анализа ВШЭ Данил Федоровых.

Джон Нэш и блондинка в баре

Игра - это любая ситуация, в которой прибыль агента зависит не только от его собственных действий, но и от поведения остальных участников. Если вы раскладываете дома пасьянс, с точки зрения экономиста и теории игр, это не игра. Она подразумевает обязательное наличие столкновения интересов.

В фильме «Игры разума» о Джоне Нэше, нобелевском лауреате по экономике, есть сцена с блондинкой в баре. В ней показана идея, за которую ученый и получил премию, - это идея равновесия по Нэшу, которое он сам называл управляющей динамикой.

Игра - любая ситуация, в которой выигрыши агентов зависят друг от друга.

Стратегия - описание действий игрока во всех возможных ситуациях.

Исход - комбинация выбранных стратегий.

Итак, с точки зрения теории, игроками в этой ситуации являются только мужчины, то есть те, кто принимает решение. Их предпочтения просты: блондинка лучше брюнетки, а брюнетка лучше, чем ничего. Действовать можно двумя способами: пойти к блондинке или к «своей» брюнетке. Игра состоит из единственного хода, решения принимаются одновременно (то есть нельзя посмотреть, куда пошли остальные, и после походить самому). Если какая-то девушка отвергает мужчину, игра заканчивается: невозможно вернуться к ней или выбрать другую.

Каков вероятный финал этой игровой ситуации? То есть какова ее устойчивая конфигурация, из которой все поймут, что сделали лучший выбор? Во-первых, как правильно замечает Нэш, если все пойдут к блондинке, ничем хорошим это не кончится. Поэтому дальше ученый предполагает, что всем нужно пойти к брюнеткам. Но тогда, если известно, что все пойдут к брюнеткам, ему следует идти к блондинке, ведь она лучше.

В этом и заключается настоящее равновесие - исход, в котором один идет к блондинке, а остальные - к брюнеткам. Может показаться, что это несправедливо. Но в ситуации равновесия никто не может пожалеть о своем выборе: те, кто пойдут к брюнеткам, понимают, что от блондинки они все равно ничего б не получили. Таким образом, равновесие по Нэшу - это конфигурация, при которой никто по отдельности не хочет менять выбранную всеми стратегию. То есть, рефлексируя в конце игры, каждый участник понимает, что даже зная, как походят другие, он сделал бы то же самое. По-другому можно назвать это исходом, где каждый участник оптимальным образом отвечает на действия остальных.

«Камень, ножницы, бумага»

Рассмотрим другие игры на предмет равновесия. Например, в «Камне, ножницах, бумаге» нет равновесия по Нэшу: во всех ее вероятных исходах нет варианта, в котором оба участника были бы довольны своим выбором. Тем не менее, существует Чемпионат мира и World Rock Paper Scissors Society, собирающее игровую статистику. Очевидно, что вы можете повысить свои шансы на победу, если будете что-то знать об обычном поведении людей в этой игре.

Чистая стратегия в игре - это такая стратегия, при которой человек всегда играет одинаково, выбирая одни и те же ходы.

По данным World RPS Society, камень является самым часто выбираемым ходом (37,8%). Бумагу ставят 32,6%, ножницы - 29,6%. Теперь вы знаете, что нужно выбирать бумагу. Однако, если вы играете с тем, кто тоже это знает, вам уже не надо выбирать бумагу, потому что от вас ожидается то же самое. Есть знаменитый случай: в 2005 году два аукционных дома Sotheby“s и Christie”s решали, кому достанется очень крупный лот - коллекция Пикассо и Ван Гога со стартовой ценой в 20 миллионов долларов. Собственник предложил им сыграть в «Камень, ножницы, бумагу», и представители домов отправили ему свои варианты по электронной почте. Sotheby“s, как они позже рассказали, особо не задумываясь, выбрали бумагу. Выиграл Christie”s. Принимая решение, они обратились к эксперту - 11-летней дочери одного из топ-менеджеров. Она сказала: «Камень кажется самым сильным, поэтому большинство людей его выбирают. Но если мы играем не с совсем глупым новичком, он камень не выбросит, будет ожидать, что это сделаем мы, и сам выбросит бумагу. Но мы будем думать на ход вперед, и выбросим ножницы».

Таким образом, вы можете думать на ход вперед, но это не обязательно приведет вас к победе, ведь вы можете не знать о компетенции вашего соперника. Поэтому иногда вместо чистых стратегий правильнее выбирать смешанные, то есть принимать решения случайно. Так, в «Камне, ножницах, бумаге» равновесие, которое мы до этого не нашли, находится как раз в смешанных стратегиях: выбирать каждый из трех вариантов хода с вероятностью в одну третью. Если вы будете выбирать камень чаще, соперник скорректирует свой выбор. Зная это, вы скорректируете свой, и равновесия не выйдет. Но никто из вас не начнет менять поведение, если каждый просто будет выбирать камень, ножницы или бумагу с одинаковой вероятностью. Все потому что в смешанных стратегиях по предыдущим действиям невозможно предугадать ваш следующий ход.

Смешанные стратегии и спорт

Более серьезных примеров смешанных стратегий очень много. Например, куда подавать в теннисе или бить/принимать пенальти в футболе. Если вы ничего не знаете о вашем сопернике или просто постоянно играете против разных, лучшей стратегией будет поступать более-менее случайно. Профессор Лондонской школы экономики Игнасио Паласиос-Уэрта в 2003 году опубликовал в American Economic Review работу, суть которой заключалась в поиске равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях. Предметом исследования Паласиос-Уэрта выбрал футбол и в связи с этим просмотрел более 1400 ударов пенальти. Разумеется, в спорте все устроено хитрее, чем в «Камне, ножницах, бумаге»: там учитывается сильная нога спортсмена, попадания в разные углы при ударе со всей силы и тому подобное. Равновесие по Нэшу здесь заключается в расчете вариантов, то есть, к примеру, определении углов ворот, в которые надо бить, чтобы выиграть с большей вероятностью, зная свои слабые и сильные стороны. Статистика по каждому футболисту и найденное в ней равновесие в смешанных стратегиях, показало, что футболисты поступают примерно так, как предсказывают экономисты. Вряд ли стоит утверждать, что люди, которые бьют пенальти, читали учебники по теории игр и занимались довольно непростой математикой. Скорее всего, есть разные способы научиться оптимально себя вести: можно быть гениальным футболистом, и чувствовать, что делать, а можно - экономистом, и искать равновесие в смешанных стратегиях.

В 2008 году профессор Игнасио Паласиос-Уэрта познакомился с Авраамом Грантом, тренером «Челси», который играл тогда в финале Лиги чемпионов в Москве. Ученый написал записку тренеру с рекомендациями по серии пенальти, которые касались поведения вратаря соперника - Эдвина ван дер Сара из «Манчестер Юнайтед». Например, по статистике, он почти всегда отбивал удары на среднем уровне и чаще бросался в естественную для пробивающего пенальти сторону. Как мы определили выше, правильнее все-таки рандомизировать свое поведение с учетом знаний о сопернике. Когда счет по пенальти был уже 6:5, Николя Анелька, нападающий «Челси», должен был забивать. Показывая перед ударом в правый угол, ван дер Сар будто спросил у Анелька, не собирается ли он бить туда.

Суть в том, что все предыдущие удары «Челси» были нанесены именно в правый от пробивающего угол. Мы не знаем точно почему, может быть, из-за консультации экономиста бить в неестественную для них сторону, ведь по статистике к этому менее готов ван дер Сар. Большинство футболистов «Челси» были правшами: ударяя в неестественный для себя правый угол, все они, кроме Терри, забивали. Видимо, стратегия была в том, чтобы Анелька пробил туда же. Но ван дер Сар, похоже, это понял. Он поступил гениально: показал в левый угол дескать «туда собрался бить?», от чего Анелька, наверное, пришел в ужас, ведь его разгадали. В последний момент он принял решение действовать по-другому, ударил в естественную для себя сторону, что и было нужно ван дер Сару, который взял этот удар и обеспечил «Манчестеру» победу. Эта ситуация учит случайному выбору, ведь в ином случае ваше решение может быть просчитано, и вы проиграете.

«Дилемма заключенного»

Наверное, самая известная игра, с которой начинаются университетские курсы о теории игр, - это «Дилемма заключенного». По легенде двух подозреваемых в серьезном преступлении поймали и заперли в разные камеры. Есть доказательство, что они хранили оружие, и это позволяет посадить их на какой-то небольшой срок. Однако доказательств, что они совершили это страшное преступление, нет. Каждому по отдельности следователь рассказывает об условиях игры. Если оба преступника сознаются, оба же сядут на три года. Если сознается один, а подельник будет молчать, сознавшийся выйдет сразу, а второго посадят на пять лет. Если, наоборот, первый не сознается, а второй его сдаст, первый сядет на пять лет, а второй выйдет сразу. Если же не сознается никто, оба сядут на год за хранение оружия.

Равновесие по Нэшу здесь заключается в первой комбинации, когда оба подозреваемых не молчат и оба садятся на три года. Рассуждения каждого таковы: «если я буду говорить, я сяду на три года, если молчать - на пять лет. Если второй будет молчать, мне тоже лучше говорить: не сесть лучше, чем сесть на год». Это доминирующая стратегия: говорить выгодно, независимо от того, что делает другой. Однако в ней есть проблема - наличие варианта получше, ведь сесть на три года хуже, чем сесть на год (если рассматривать историю только с точки зрения участников и не учитывать вопросы морали). Но сесть на год невозможно, ведь, как мы поняли выше, молчать обоим преступникам невыгодно.

Улучшение по Парето

Есть известная метафора про невидимую руку рынка, принадлежащая Адаму Смиту. Он говорил, что если мясник будет сам для себя стараться заработать деньги, от этого будет лучше всем: он сделает вкусное мясо, которое купит булочник на деньги от продажи булок, которые он, в свою очередь, тоже должен будет делать вкусными, чтобы они продавались. Но оказывается, эта невидимая рука не всегда работает, и таких ситуаций, когда каждый действует за себя, а всем плохо, очень много.

Поэтому иногда экономисты и специалисты по теории игр думают не об оптимальном поведении каждого игрока, то есть не о равновесии по Нэшу, а об исходе, при котором будет лучше всему обществу (в «Дилемме» общество состоит из двух преступников). С этой точки зрения, исход эффективен, когда в нем нет улучшения по Парето, то есть невозможно сделать кому-то лучше, не сделав при этом хуже другим. Если люди просто меняются товарами и услугами, это Парето-улучшение: они делают это добровольно, и вряд ли кому-то от этого плохо. Но иногда, если просто дать людям взаимодействовать и даже не вмешиваться, то, к чему они придут, не будет оптимальным по Парето. Это и происходит в «Дилемме заключенного». В ней, если мы даем каждому действовать так, как им выгодно, оказывается, что всем от этого плохо. Всем было бы лучше, если бы каждый действовал не оптимально для себя, то есть молчал.

Трагедия общины

«Дилемма заключенного» - это игрушечная стилизованная история. Вряд ли вы ожидаете оказаться в подобной ситуации, но похожие эффекты есть везде вокруг нас. Рассмотрим «Дилемму» с большим количеством игроков, ее иногда называют трагедией общины. Например, на дорогах - пробки, и я решаю, как ехать на работу: на машине или на автобусе. Это же делают остальные. Если я поеду на машине, и все решат сделать то же самое, будет пробка, но мы доедем с комфортом. Если я поеду на автобусе, пробка-то все равно будет, но ехать я буду некомфортно и не особо быстрее, поэтому такой исход еще хуже. Если же в среднем все ездят на автобусе, то я, сделав то же самое, довольно быстро доеду без пробки. Но если при таких условиях поехать на машине, я тоже доеду быстро, но еще и с комфортом. Итак, наличие пробки не зависит от моих действий. Равновесие по Нэшу здесь - в ситуации, когда все выбирают ехать на машине. Что бы не делали остальные, мне лучше выбрать машину, потому что будет там пробка или нет, неизвестно, но я в любом случае доеду с комфортом. Это доминирующая стратегия, поэтому в итоге все едут на машине, и мы имеем то, что имеем. Задача государства - сделать поездку на автобусе лучшим вариантом хотя бы для некоторых, поэтому появляются платные въезды в центр, парковки и так далее.

Другая классическая история - рациональное незнание избирателя. Представьте, что вы не знаете исход выборов заранее. Вы можете изучить программу всех кандидатов, послушать дебаты и после проголосовать за самого лучшего. Вторая стратегия - прийти на участок и проголосовать как попало или за того, кого чаще показывали по телевизору. Какое поведение оптимально, если от моего голоса никогда не зависит, кто выиграет (а в 140-миллионной стране один голос никогда ничего не решит)? Конечно, я хочу, чтобы в стране был хороший президент, но я же знаю, что никто больше не будет изучать программы кандидатов внимательно. Поэтому не тратить на это время - доминирующая стратегия поведения.

Когда вас призывают прийти на субботник, ни от кого в отдельности не будет зависеть, станет двор чистым или нет: если я выйду один, я не смогу убрать все, или, если выйдут все, то не выйду я, потому что все и без меня уберут. Другой пример - перевозка грузов в Китае, о котором я узнал в замечательной книге Стивена Ландсбурга «Экономист на диване». 100-150 лет назад в Китае был распространен способ перевозки грузов: все складывалось в большой кузов, который тащили семь человек. Заказчики платили, если груз доставлялся вовремя. Представьте, что вы - один из этих шести. Вы можете прилагать усилия, и тянуть изо всех сил, и если все будут так делать, груз доедет вовремя. Если кто-нибудь один так делать не будет, все тоже доедут вовремя. Каждый думает: «Если все остальные тянут как следует, зачем это делать мне, а если все остальные тянут не со всей силы, то я ничего не смогу изменить». В итоге, со временем доставки все было очень плохо, и сами грузчики нашли выход: они стали нанимать седьмого и платить ему деньги за то, чтобы он стегал лентяев плетью. Само наличие такого человека заставляло всех работать изо всех сил, потому что иначе все попадали в плохое равновесие, из которого никому в отдельности с выгодой не выйти.

Такой же пример можно наблюдать в природе. Дерево, растущее в саду, отличается от того, что растет в лесу, своей кроной. В первом случае она окружает весь ствол, во втором - находится только вверху. В лесу это является равновесием по Нэшу. Если бы все деревья договорились и выросли одинаково, они бы поровну распределили количество фотонов, и всем было бы лучше. Но никому в отдельности так делать невыгодно. Поэтому каждое дерево хочет вырасти немного выше окружающих.

Сommitment device

Во многих ситуациях одному из участников игры может понадобиться инструмент, который убедит остальных, что тот не блефует. Он называется commitment device. Например, закон некоторых стран запрещает платить выкуп похитителям людей, чтобы снизить мотивацию преступников. Однако это законодательство часто не работает. Если вашего родственника захватили, и у вас есть возможность спасти его, обойдя закон, вы это сделаете. Представим ситуацию, что закон можно обойти, но родственники оказались бедными и выкуп им платить нечем. У преступника в этой ситуации два пути: отпустить или убить жертву. Убивать он не любит, но тюрьму он не любит больше. Отпущенный пострадавший, в свою очередь, может либо дать показания, чтобы похититель был наказан, либо молчать. Самый лучший исход для преступника: отпустить жертву, которая его не сдаст. Жертва же хочет быть отпущенной и дать показания.

Равновесие здесь в том, что террорист не хочет быть пойманным, а значит, жертва погибает. Но это не равновесие по Парето, потому что существует вариант, при котором всем лучше - жертва на свободе хранит молчание. Но для этого надо сделать так, чтобы молчать ей было выгодно. Где-то я прочитал вариант, когда она может попросить террориста устроить эротическую фотосессию. Если преступника посадят, его подельники выложат фотографии в интернет. Теперь, если похититель останется на свободе - это плохо, но фотографии в открытом доступе - еще хуже, поэтому получается равновесие. Для жертвы это способ остаться в живых.

Другие примеры игр:

Модель Бертрана

Раз уж мы говорим об экономике, рассмотрим экономический пример. В модели Бертрана два магазина продают один и тот же товар, покупая его у производителя по одной цене. Если цены в магазинах одинаковы, то примерно одинакова и их прибыль, ведь тогда покупатели выбирают магазин случайно. Единственное равновесие по Нэшу здесь - продавать товар по себестоимости. Но магазины хотят зарабатывать. Поэтому если один поставит цену 10 рублей, второй снизит ее на копейку, увеличив тем самым свою выручку вдвое, так как к нему уйдут все покупатели. Поэтому участникам рынка выгодно снижать цены, распределяя тем самым прибыль между собой.

Разъезд на узкой дороге

Рассмотрим примеры выбора между двумя возможными равновесиями. Представьте, что Петя и Маша едут навстречу друг другу по узкой дороге. Дорога настолько узкая, что им обоим нужно съехать на обочину. Если они решат повернуть налево или направо от себя, они просто разъедутся. Если же один повернет направо, а другой налево от себя, или наоборот, случится авария. Как выбрать, куда съехать? Чтобы помогать искать равновесие в подобных играх, существуют, например, правила дорожного движения. В России каждому нужно повернуть направо.

В забаве Chiken, когда два человека едут на большой скорости навстречу друг другу, тоже есть два равновесия. Если оба сворачивают на обочину, возникает ситуация, которая называется Chiken out, если оба не сворачивают, то погибают в страшной аварии. Если я знаю, что мой соперник едет прямо, мне выгодно съехать, чтобы выжить. Если я знаю, что мой соперник съедет, то мне выгодно ехать прямо, чтобы после получить 100 долларов. Сложно предсказать, что случится на самом деле, однако, у каждого из игроков есть свой метод выиграть. Представьте, что я закрепил руль так, что его нельзя повернуть, и показал это своему сопернику. Зная, что у меня нет выбора, соперник отскочит.

QWERTY-эффект

Иногда бывает очень сложно перейти из одного равновесия в другое, даже если оно означает пользу для всех. Раскладка QWERTY была создана, чтобы замедлить скорость печати. Поскольку если бы все печатали слишком быстро, головки печатной машинки, которые бьют по бумаге, цеплялись бы друг за друга. Поэтому Кристофер Шоулз разместил часто стоящие рядом буквы на максимально далеком расстоянии. Если вы зайдете в настройки клавиатуры на своем компьютере, вы сможете выбрать там раскладку Dvorak и печатать гораздо быстрее, так как сейчас нет проблемы аналоговых печатных машин. Дворак рассчитывал, что мир перейдет на его клавиатуру, но мы по-прежнему живем с QWERTY. Конечно, если бы мы перешли на раскладку Дворака, будущее поколение было бы нам благодарно. Все мы приложили бы усилия и переучились, в результате вышло бы равновесие, в котором все печатают быстро. Сейчас мы тоже в равновесии - в плохом. Но никому не выгодно быть единственным, кто переучится, потому что за любым компьютером, кроме личного, работать будет неудобно.