Niech prawdopodobieństwo zdarzenia W nie zależy od wystąpienia zdarzenia A.

Definicja. Wydarzenie W zwany niezależny od zdarzenia A, jeżeli zajście zdarzenia A nie zmienia prawdopodobieństwa zdarzenia W, tj. jeśli prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia W równe jego bezwarunkowemu prawdopodobieństwu:

RA(W) = R(W). (2.12)

Podstawiając (2.12) do zależności (2.11) otrzymujemy

R(A)R(W) = R(W)R.V(A).

R.V(A) = R(A),

te. prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A przy założeniu, że zdarzenie miało miejsce W, jest równe jego bezwarunkowemu prawdopodobieństwu. Inaczej mówiąc wydarzenie A nie zależy od wydarzenia B.

Lemat (o wzajemnej niezależności zdarzeń): jeśli wydarzenie W nie zależy od wydarzenia A, potem wydarzenie A nie zależy od wydarzenia W; to znaczy, że właściwość wzajemnej niezależności zdarzeń.

Dla zdarzeń niezależnych twierdzenie o mnożeniu R(AB) = R(A) RA(W) ma postać

R(AB) = R(A) R(W), (2.13)

te. prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń.

Równość (2.13) przyjmuje się jako definicję niezależnych zdarzeń. Dwa zdarzenia nazywamy niezależnymi, jeśli wystąpienie jednego z nich nie zmienia prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego.

Definicja. Nazywa się dwa zdarzenia niezależny, jeżeli prawdopodobieństwo ich kombinacji jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń; w przeciwnym razie zdarzenia są wywoływane zależny.

W praktyce niezależność zdarzeń wnioskuje się na podstawie znaczenia problemu. Na przykład prawdopodobieństwo trafienia celu każdą z dwóch broni nie zależy od tego, czy cel został trafiony drugą bronią, więc zdarzenia „pierwsza broń trafiła w cel” i „druga broń trafiła w cel” są niezależne .

Przykład. Znajdź prawdopodobieństwo trafienia w cel wspólnie z dwóch dział, jeżeli prawdopodobieństwo trafienia w cel z pierwszego działa (zdarzenie A) wynosi 0,8, a drugi (event W) – 0,7.

Rozwiązanie. Wydarzenia A I W niezależne zatem, zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu, pożądane prawdopodobieństwo

R(AB) = R(A)R(W) = 0,7 × 0,8 = 0,56.

Komentarz 1. Jeśli wydarzenia A I W są niezależne, to zdarzenia również są niezależne A i i W, I . Naprawdę,

Stąd,

, Lub .

, Lub .

te. wydarzenia A I W niezależny.

Niezależność zdarzeń i W, i jest konsekwencją udowodnionego stwierdzenia.

Pojęcie niezależności można rozszerzyć na N wydarzenia.

Definicja. Nazywa się kilka zdarzeń parami niezależnymi, jeśli każde dwa z nich są niezależne. Na przykład wydarzenia A, W, Z są niezależne parami, jeśli zdarzenia są niezależne A I W, A I Z, W I Z.

Aby uogólnić twierdzenie o mnożeniu na kilka zdarzeń, wprowadzamy koncepcję niezależności zdarzeń w sumie.

Definicja. Nazywa się kilka zdarzeń wspólnie niezależni(lub po prostu niezależne), jeśli każde dwa z nich są niezależne i każde zdarzenie i wszystkie możliwe produkty pozostałych są niezależne. Na przykład, jeśli zdarzenia A 1 , A 2 , A 3 są łącznie niezależne, wówczas zdarzenia są niezależne A 1 i A 2 , A 1 i A 3 , A 2 i A 3 ; A 1 i A 2 A 3 , A 2 i A 1 A 3 , A 3 i A 1 A 2. Z powyższego wynika, że ​​jeżeli zdarzenia są w sumie niezależne, to warunkowe prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnego zdarzenia z nich, obliczone przy założeniu, że zaszły jakiekolwiek inne zdarzenia spośród pozostałych, jest równe jego prawdopodobieństwu bezwarunkowemu.

Podkreślamy, że jeśli kilka zdarzeń jest niezależnych parami, to nie oznacza, że ​​są one niezależne łącznie. W tym sensie wymóg niezależności zdarzeń w sumie jest silniejszy niż wymóg ich niezależności parami.

Wyjaśnijmy to na przykładzie. Niech w urnie będą 4 kule kolorowe: jedna czerwona ( A), jeden jest niebieski ( W), jeden jest czarny ( Z) i jeden – we wszystkich trzech kolorach ( ABC). Jakie jest prawdopodobieństwo, że kula wylosowana z urny będzie czerwona?

Zatem dwie z czterech kul są czerwone R(A) = 2/4 = 1/2. Argumentując podobnie, znajdujemy R(W) = 1/2, R(Z) = 1/2. Załóżmy teraz, że wzięta kula jest niebieska, tj. wydarzenie W już się wydarzyło. Czy zmieni się prawdopodobieństwo, że wylosowana kula będzie czerwona, tj. czy zmieni się prawdopodobieństwo zdarzenia? A? Z dwóch kul, które są niebieskie, jedna jest również czerwona, a więc prawdopodobieństwo zdarzenia A nadal wynosi 1/2. Innymi słowy, prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A, obliczone przy założeniu, że zdarzenie miało miejsce W, jest równe jego bezwarunkowemu prawdopodobieństwu. Dlatego wydarzenia A I W niezależny. Podobnie dochodzimy do wniosku, że wydarzenia A I Z, W I Z niezależny. Zatem wydarzenia A, W I Z parami niezależnymi.

Czy te zdarzenia są łącznie niezależne? Okazuje się, że nie. Rzeczywiście, niech wyodrębniona kula będzie miała dwa kolory, na przykład niebieski i czarny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta kula jest również czerwona? Tylko jedna kula jest pokolorowana we wszystkich trzech kolorach, więc zabrana kula również jest czerwona. Zatem zakładając, że zdarzenia W I Z miało miejsce, dochodzimy do wniosku, że zdarzenie A na pewno przyjdzie. Zatem zdarzenie to jest wiarygodne, a jego prawdopodobieństwo wynosi jeden. Innymi słowy, prawdopodobieństwo warunkowe R słońce(A)= 1 wydarzenie A nie jest równe jego bezwarunkowemu prawdopodobieństwu R(A) = 1/2. Zatem zdarzenia niezależne parami A, W, Z nie są zbiorowo niezależne.

Przedstawmy teraz wniosek z twierdzenia o mnożeniu.

Konsekwencja. Prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia kilku niezależnych w sumie zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Dowód. Rozważmy trzy zdarzenia: A, W I Z. Połączenie wydarzeń A, W I Z równoznaczne z splotem zdarzeń AB I Z, Dlatego

R(ABC) = R(АВ×С).

Od wydarzeń A, W I Z są niezależne łącznie, to poszczególne zdarzenia są niezależne AB I Z, I A I W. Z twierdzenia o mnożeniu dla dwóch niezależnych zdarzeń mamy:

R(АВ×С) = R(AB)R(Z) I R(AB) = R(A)R(W).

Więc w końcu dostajemy

R(ABC) = R(A)R(W)R(Z).

Za dowolne N dowód przeprowadza się metodą indukcji matematycznej.

Komentarz. Jeśli wydarzenia A 1 , A 2 , ...,Jakiś są w sumie niezależne, to zdarzenia im przeciwne również są w sumie niezależne.

Przykład. Znajdź prawdopodobieństwo, że herb pojawi się razem po rzucie dwiema monetami.

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo pojawienia się herbu pierwszej monety (wydarzenie A)

R(A) = 1/2.

Prawdopodobieństwo pojawienia się herbu drugiej monety (wydarzenie W)

R(W) = 1/2.

Wydarzenia A I W niezależny, dlatego prawdopodobieństwo wymagane przez twierdzenie o mnożeniu jest równe

R(AB) = R(A)R(W) = 1/2 × 1/2 = 1/4.

Przykład. W zestawie znajdują się 3 pudełka zawierające 10 części. Pierwsze pudełko zawiera 8, drugie 7 i trzecie 9 standardowych części. Z każdego pudełka losowo wyjmujemy jedną część. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy wyjęte części będą standardowe.

Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo, że część standardowa zostanie usunięta z pierwszego pudełka (event A),

R(A) = 8/10 = 0,8.

Prawdopodobieństwo, że część standardowa zostanie usunięta z drugiego pudełka (zdarzenie W),

R(W) = 7/10 = 0,7.

Prawdopodobieństwo, że część standardowa zostanie usunięta z trzeciego pudełka (zdarzenie Z),

R(Z) = 9/10 = 0,9.

Od wydarzeń A, W I Z niezależne w sumie, wówczas pożądane prawdopodobieństwo (według twierdzenia o mnożeniu) jest równe

R(ABC) = R(A)R(W)R(Z) = 0,8×0,7×0,9 = 0,504.

Podajmy przykład łącznego zastosowania twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu.

Przykład. Prawdopodobieństwa wystąpienia każdego z trzech niezależnych zdarzeń A 1 , A 2 , A 3 są odpowiednio równe R 1 , R 2 , R 3. Znajdź prawdopodobieństwo wystąpienia tylko jednego z tych zdarzeń.

Rozwiązanie. Zwróćcie uwagę na przykład na wygląd tylko pierwsze wydarzenie A 1 jest równoznaczne z wystąpieniem zdarzenia (pierwsze zdarzenie wystąpiło, drugie i trzecie nie wystąpiło). Wprowadźmy następującą notację:

B 1 – pojawiło się tylko wydarzenie A 1, tj. ;

B 2 – pojawiło się tylko wydarzenie A 2, tj. ;

B 3 – pojawiło się tylko wydarzenie A 3, tj. .

Zatem, aby znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia tylko jednego ze zdarzeń A 1 , A 2 , A 3, będziemy szukać prawdopodobieństwa P(B 1 + B 2 + W 3) pojawienie się jednego, bez względu na to, które ze zdarzeń W 1 , W 2 , W 3 .

Od wydarzeń W 1 , W 2 , W 3 są niespójne, wówczas obowiązuje twierdzenie o dodawaniu

P(B 1 + B 2 + W 3) = R(W 1) + R(W 2) + R(W 3). (*)

Pozostaje znaleźć prawdopodobieństwa każdego ze zdarzeń W 1 , W 2 , W 3. Wydarzenia A 1 , A 2 , A 3 są niezależne, zatem zdarzenia są niezależne, zatem stosuje się do nich twierdzenie o mnożeniu

Podobnie,

Podstawiając te prawdopodobieństwa do (*), znajdujemy pożądane prawdopodobieństwo wystąpienia tylko jednego ze zdarzeń A 1 , A 2 , A 3.

Twierdzenia o dodawaniu i mnożeniu o prawdopodobieństwie.
Zdarzenia zależne i niezależne

Tytuł wygląda strasznie, ale w rzeczywistości wszystko jest bardzo proste. Na tej lekcji zapoznamy się z twierdzeniami o dodawaniu i mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń, a także przeanalizujemy typowe problemy, które wraz z problem klasycznego wyznaczania prawdopodobieństwa na pewno spotkasz lub, co bardziej prawdopodobne, już spotkałeś na swojej drodze. Aby skutecznie przestudiować materiały zawarte w tym artykule, musisz znać i rozumieć podstawowe terminy teoria prawdopodobieństwa i potrafić wykonywać proste działania arytmetyczne. Jak widać, potrzeba bardzo niewiele, dlatego prawie gwarantowany jest duży plus w zasobie. Ale z drugiej strony ponownie przestrzegam przed powierzchownym podejściem do praktycznych przykładów – nie brakuje też niuansów. Powodzenia:

Twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych: prawdopodobieństwo wystąpienia jednego z dwóch niekompatybilny wydarzenia lub (nieważne co), jest równa sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Podobny fakt dotyczy większej liczby zdarzeń niezgodnych, np. trzech zdarzeń niezgodnych oraz:

Twierdzenie jest snem =) Jednak taki sen podlega dowodowi, który można znaleźć na przykład w podręczniku V.E. Gmurmana.

Zapoznajmy się z nowymi, nieznanymi dotąd koncepcjami:

Zdarzenia zależne i niezależne

Zacznijmy od wydarzeń niezależnych. Wydarzenia są niezależny , jeżeli prawdopodobieństwo wystąpienia ktokolwiek z nich nie zależy na pojawienie się/niewystąpienie innych zdarzeń rozpatrywanego zbioru (we wszystkich możliwych kombinacjach). ...Ale po co zawracać sobie głowę wypróbowywaniem ogólnych wyrażeń:

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych: prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia niezależnych zdarzeń i jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń:

Wróćmy do najprostszego przykładu pierwszej lekcji, w której rzucane są dwie monety i następujące zdarzenia:

– na pierwszej monecie pojawią się reszki;
– reszki pojawią się na 2. monecie.

Znajdźmy prawdopodobieństwo zdarzenia (na pierwszej monecie pojawi się reszka I na drugiej monecie pojawi się orzeł - pamiętaj, jak czytać produkt wydarzeń!) . Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła na jednej monecie nie zależy w żaden sposób od wyniku rzucenia inną monetą, dlatego zdarzenia są niezależne.

Podobnie:
– prawdopodobieństwo, że pierwsza moneta wyrzuci reszkę I na drugim ogonie;
– prawdopodobieństwo, że na pierwszej monecie pojawi się reszka I na drugim ogonie;
– prawdopodobieństwo, że pierwsza moneta wyrzuci reszkę I na drugim orle.

Zauważ, że zdarzenia tworzą się pełna grupa a suma ich prawdopodobieństw jest równa jeden: .

Twierdzenie o mnożeniu rozciąga się oczywiście na większą liczbę niezależnych zdarzeń, np. jeśli zdarzenia są niezależne, to prawdopodobieństwo ich łącznego wystąpienia jest równe: . Poćwiczmy na konkretnych przykładach:

Problem 3

Każde z trzech pudełek zawiera 10 części. W pierwszym pudełku znajduje się 8 standardowych części, w drugim – 7, w trzecim – 9. Z każdego pudełka losowo usuwana jest jedna część. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie części będą standardowe.

Rozwiązanie: Prawdopodobieństwo wydobycia standardowej lub niestandardowej części z dowolnego pudełka nie zależy od tego, jakie części zostaną pobrane z innych pudełek, więc problem dotyczy niezależnych zdarzeń. Rozważ następujące niezależne zdarzenia:

– z pierwszego pudełka usunięto część standardową;
– z drugiego pudełka usunięto część standardową;
– z trzeciego pudełka usunięto część standardową.

Według klasycznej definicji:
są odpowiednimi prawdopodobieństwami.

Wydarzenie, które nas interesuje (część standardowa zostanie usunięta z pierwszego pudełka I od 2. normy I od 3. normy) wyraża się przez produkt.

Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

– prawdopodobieństwo, że z trzech pudełek zostanie usunięta jedna część wzorcowa.

Odpowiedź: 0,504

Po orzeźwiających ćwiczeniach z pudełkami czekają na nas nie mniej ciekawe urny:

Problem 4

W trzech urnach znajduje się 6 kul białych i 4 czarne. Z każdej urny losujemy jedną kulę. Znajdź prawdopodobieństwo, że: a) wszystkie trzy kule będą białe; b) wszystkie trzy kule będą tego samego koloru.

Na podstawie otrzymanych informacji zgadnij, jak sobie poradzić z punktem „być” ;-) Przybliżony przykład rozwiązania został zaprojektowany w stylu akademickim ze szczegółowym opisem wszystkich zdarzeń.

Zdarzenia zależne. Wydarzenie nazywa się zależny , jeśli jest to prawdopodobieństwo zależy z jednego lub większej liczby zdarzeń, które już miały miejsce. Po przykłady nie trzeba daleko szukać – wystarczy udać się do najbliższego sklepu:

– jutro o 19.00 w sprzedaży będzie świeże pieczywo.

Prawdopodobieństwo tego zdarzenia zależy od wielu innych zdarzeń: tego, czy jutro zostanie dostarczony świeży chleb, czy zostanie wyprzedany przed godziną 19:00, czy nie itp. W zależności od różnych okoliczności zdarzenie to może być wiarygodne lub niemożliwe. Więc wydarzenie jest zależny.

Chleb... i, jak żądali Rzymianie, cyrki:

– na egzaminie student otrzyma bilet prosty.

Jeśli nie jesteś pierwszy, wydarzenie będzie zależne, ponieważ jego prawdopodobieństwo będzie zależeć od tego, jakie bilety zostały już wylosowane przez kolegów z klasy.

Jak określić zależność/niezależność zdarzeń?

Czasami jest to bezpośrednio określone w opisie problemu, ale najczęściej trzeba przeprowadzić niezależną analizę. Nie ma tu jednoznacznej wskazówki, a fakt zależności lub niezależności zdarzeń wynika z naturalnego rozumowania logicznego.

Żeby nie wrzucić wszystkiego do jednego worka, zadania dla zdarzeń zależnych Podkreślę następującą lekcję, ale na razie rozważymy najczęstszy zestaw twierdzeń w praktyce:

Zagadnienia twierdzeń o dodawaniu dla niezgodnych prawdopodobieństw
i mnożenie prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń

Tandem ten, według mojej subiektywnej oceny, sprawdza się w około 80% zadań z rozpatrywanego tematu. Hit hitów i prawdziwy klasyk teorii prawdopodobieństwa:

Problem 5

Każdy z dwóch strzelców oddał po jednym strzale do celu. Prawdopodobieństwo trafienia pierwszego strzelca wynosi 0,8, dla drugiego 0,6. Znajdź prawdopodobieństwo, że:

a) tylko jeden strzelec trafi w tarczę;
b) co najmniej jeden ze strzelców trafi w tarczę.

Rozwiązanie: Wskaźnik trafień/chybień jednego strzelca jest oczywiście niezależny od wyników drugiego strzelca.

Rozważmy wydarzenia:
– pierwszy strzelec trafi w cel;
– Drugi strzelec trafi w cel.

Według warunku: .

Znajdźmy prawdopodobieństwa przeciwnych zdarzeń - że odpowiednie strzałki pominą:

a) Rozważ zdarzenie: – tylko jeden strzelec trafi w tarczę. Na to zdarzenie składają się dwa niezgodne wyniki:

Pierwszy strzelec trafi I Drugi będzie tęsknił
Lub
Pierwszy będzie tęsknił I Drugi trafi.

Na języku algebry zdarzeń fakt ten zostanie zapisany za pomocą następującego wzoru:

Najpierw używamy twierdzenia o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych, a następnie twierdzenia o mnożeniu prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń:

– prawdopodobieństwo, że będzie tylko jedno trafienie.

b) Rozważ zdarzenie: – co najmniej jeden ze strzelców trafia w tarczę.

Po pierwsze POMYŚLMY – co oznacza warunek „CO NAJMNIEJ JEDEN”? W tym przypadku oznacza to, że albo pierwszy strzelec trafi (drugi strzeli) Lub 2. (pierwszy będzie tęsknił) Lub obaj strzelcy na raz - w sumie 3 niezgodne wyniki.

Metoda pierwsza: biorąc pod uwagę prawdopodobieństwo poprzedniego punktu, wygodnie jest przedstawić zdarzenie jako sumę następujących niezgodnych zdarzeń:

ktoś tam dotrze (zdarzenie składające się z kolei z 2 niezgodnych wyników) Lub
Jeśli trafią obie strzałki, oznaczamy to zdarzenie literą .

Zatem:

Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
– prawdopodobieństwo, że pierwszy strzelec trafi I Drugi strzelec trafi.

Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych:
– prawdopodobieństwo co najmniej jednego trafienia w cel.

Metoda druga: Rozważmy zdarzenie odwrotne: – obaj strzelcy spudłują.

Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

W rezultacie:

Zwróć szczególną uwagę na drugą metodę - ogólnie jest ona bardziej racjonalna.

Ponadto istnieje alternatywny, trzeci sposób rozwiązania tego problemu, oparty na twierdzeniu o dodawaniu wspólnych zdarzeń, o którym nie wspomniano powyżej.

! Jeśli zapoznajesz się z materiałem po raz pierwszy, to aby uniknąć nieporozumień, lepiej pominąć następny akapit.

Metoda trzecia : zdarzenia są zgodne, co oznacza, że ​​ich suma wyraża zdarzenie „przynajmniej jeden strzelec trafi w tarczę” (patrz. algebra zdarzeń). Przez twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw wspólnych zdarzeń oraz twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

Sprawdźmy: wydarzenia i (odpowiednio 0, 1 i 2 trafienia) tworzą kompletną grupę, więc suma ich prawdopodobieństw musi być równa jedności:
, co należało sprawdzić.

Odpowiedź:

Po dokładnym przestudiowaniu teorii prawdopodobieństwa natkniesz się na dziesiątki problemów o treści militarnej i, co charakterystyczne, po tym nie będziesz chciał nikogo zastrzelić - problemy są prawie prezentem. Dlaczego nie uprościć również szablonu? Skróćmy wpis:

Rozwiązanie: według warunku: , to prawdopodobieństwo trafienia odpowiednich strzelców. Następnie prawdopodobieństwo ich chybienia:

a) Zgodnie z twierdzeniami o dodawaniu prawdopodobieństw niezgodnych i mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
– prawdopodobieństwo, że tylko jeden strzelec trafi w cel.

b) Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
– prawdopodobieństwo, że obaj strzelcy spudłują.

Następnie: – prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden ze strzelców trafi w cel.

Odpowiedź:

W praktyce możesz zastosować dowolną opcję projektu. Oczywiście znacznie częściej wybierają krótszą trasę, ale nie można zapominać o pierwszej metodzie – choć jest dłuższa, to jednak ma większy sens – jest wyraźniejsza, co, dlaczego i dlaczego dodaje i mnoży. W niektórych przypadkach właściwy jest styl hybrydowy, gdy wygodnie jest używać wielkich liter do wskazania tylko niektórych wydarzeń.

Podobne zadania dla samodzielnego rozwiązania:

Problem 6

Do sygnalizacji pożaru instaluje się dwa niezależnie działające czujniki. Prawdopodobieństwo, że czujnik zadziała w przypadku pożaru, wynosi odpowiednio 0,5 i 0,7 dla pierwszego i drugiego czujnika. Znajdź prawdopodobieństwo, że w pożarze:

a) oba czujniki ulegną awarii;
b) oba czujniki będą działać.
c) Używanie twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń tworzących kompletną grupę, znajdź prawdopodobieństwo, że w przypadku pożaru zadziała tylko jeden czujnik. Sprawdź wynik, bezpośrednio obliczając to prawdopodobieństwo (używając twierdzeń o dodawaniu i mnożeniu).

Tutaj niezależność działania urządzeń jest bezpośrednio określona w stanie, co, nawiasem mówiąc, jest ważnym wyjaśnieniem. Przykładowe rozwiązanie zostało zaprojektowane w stylu akademickim.

A co jeśli w podobnym problemie podane zostaną te same prawdopodobieństwa, na przykład 0,9 i 0,9? Musisz zdecydować dokładnie to samo! (co właściwie zostało już zademonstrowane na przykładzie dwóch monet)

Problem 7

Prawdopodobieństwo trafienia celu przez pierwszego strzelca jednym strzałem wynosi 0,8. Prawdopodobieństwo, że cel nie zostanie trafiony po oddaniu po jednym strzale przez pierwszego i drugiego strzelca, wynosi 0,08. Jakie jest prawdopodobieństwo, że drugi strzelec trafi w cel jednym strzałem?

A to mała łamigłówka, która została zaprojektowana w skrócie. Warunek można przeformułować bardziej zwięźle, ale nie będę przerabiał oryginału - w praktyce muszę zagłębić się w bardziej ozdobne przeróbki.

Poznaj go - to on zaplanował dla Ciebie ogromną ilość szczegółów =):

Problem 8

Pracownik obsługuje trzy maszyny. Prawdopodobieństwo, że podczas zmiany pierwsza maszyna będzie wymagała regulacji, wynosi 0,3, druga - 0,75, trzecia - 0,4. Znajdź prawdopodobieństwo, że podczas zmiany:

a) wszystkie maszyny będą wymagały regulacji;
b) tylko jedna maszyna będzie wymagała regulacji;
c) co najmniej jedna maszyna będzie wymagała regulacji.

Rozwiązanie: skoro warunek nie mówi nic o pojedynczym procesie technologicznym, to działanie każdej maszyny należy rozpatrywać niezależnie od działania pozostałych maszyn.

Analogicznie do zadania nr 5, tutaj można uwzględnić zdarzenia, które odpowiednie maszyny będą wymagały regulacji podczas zmiany, zapisać prawdopodobieństwa, znaleźć prawdopodobieństwa zdarzeń przeciwnych itp. Ale przy trzech obiektach nie chcę tak formułować zadania – okaże się długie i żmudne. Dlatego zauważalnie bardziej opłaca się tutaj zastosować styl „szybki”:

Zgodnie z warunkiem: – prawdopodobieństwo, że podczas zmiany odpowiednie maszyny będą wymagały strojenia. Wówczas prawdopodobieństwo, że nie będą wymagały uwagi, wynosi:

Jeden z czytelników znalazł tutaj fajną literówkę, nawet jej nie poprawiam =)

a) Zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:
– prawdopodobieństwo, że podczas zmiany wszystkie trzy maszyny będą wymagały regulacji.

b) Na zdarzenie „W trakcie zmiany tylko jedna maszyna będzie wymagała regulacji” składają się z trzech niezgodnych wyników:

1) Pierwsza maszyna wymagać będzie uwaga I Druga maszyna nie będzie wymagać I Trzecia maszyna nie będzie wymagać
Lub:
2) Pierwsza maszyna nie będzie wymagać uwaga I Druga maszyna wymagać będzie I Trzecia maszyna nie będzie wymagać
Lub:
3) Pierwsza maszyna nie będzie wymagać uwaga I Druga maszyna nie będzie wymagać I Trzecia maszyna wymagać będzie.

Zgodnie z twierdzeniami o dodawaniu prawdopodobieństw niezgodnych i mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

– prawdopodobieństwo, że podczas zmiany tylko jedna maszyna będzie wymagała regulacji.

Myślę, że już powinieneś zrozumieć, skąd wzięło się to wyrażenie

c) Obliczmy prawdopodobieństwo, że maszyny nie będą wymagały regulacji, a następnie prawdopodobieństwo zdarzenia odwrotnego:
– że przynajmniej jedna maszyna będzie wymagała regulacji.

Odpowiedź:

Punkt „ve” można również rozwiązać poprzez sumę, gdzie jest prawdopodobieństwo, że podczas zmiany tylko dwie maszyny będą wymagały regulacji. Zdarzenie to z kolei obejmuje 3 niezgodne ze sobą wyniki, które opisano analogicznie do punktu „być”. Spróbuj sam znaleźć prawdopodobieństwo sprawdzenia całego problemu za pomocą równości.

Problem 9

Trzy działa oddały salwę w kierunku celu. Prawdopodobieństwo trafienia jednym strzałem tylko z pierwszego działa wynosi 0,7, z drugiego – 0,6, z trzeciego – 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo, że: 1) co najmniej jeden pocisk trafi w cel; 2) tylko dwa pociski trafią w cel; 3) cel zostanie trafiony co najmniej dwukrotnie.

Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

I znowu o zbieżnościach: jeśli zgodnie z warunkiem dwie lub nawet wszystkie wartości prawdopodobieństw początkowych pokrywają się (na przykład 0,7, 0,7 i 0,7), należy zastosować dokładnie ten sam algorytm rozwiązania.

Na zakończenie artykułu spójrzmy na inną popularną zagadkę:

Problem 10

Strzelec trafia w cel z takim samym prawdopodobieństwem przy każdym strzale. Jakie jest to prawdopodobieństwo, jeśli prawdopodobieństwo co najmniej jednego trafienia trzema strzałami wynosi 0,973.

Rozwiązanie: oznaczmy przez – prawdopodobieństwo trafienia w cel przy każdym strzale.
i na wylot – prawdopodobieństwo chybienia przy każdym strzale.

I zapiszmy wydarzenia:
– przy 3 strzałach strzelec przynajmniej raz trafi w cel;
– strzelec spudłuje 3 razy.

Według warunku prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:

Natomiast zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych:

Zatem:

- prawdopodobieństwo chybienia przy każdym strzale.

W rezultacie:
– prawdopodobieństwo trafienia przy każdym strzale.

Odpowiedź: 0,7

Prosty i elegancki.

W rozpatrywanym problemie można zadać dodatkowe pytania o prawdopodobieństwo tylko jednego trafienia, tylko dwóch trafień i prawdopodobieństwa trzech trafień w cel. Schemat rozwiązania będzie dokładnie taki sam jak w dwóch poprzednich przykładach:

Zasadnicza różnica merytoryczna polega jednak na tym, że tutaj są powtarzane niezależne testy, które są wykonywane sekwencyjnie, niezależnie od siebie i z takim samym prawdopodobieństwem wyników.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest miarą ilościową wprowadzaną w celu porównania zdarzeń ze względu na stopień możliwości ich wystąpienia.

Zdarzenie, które można przedstawić jako zbiór (sumę) kilku zdarzeń elementarnych, nazywa się złożonym.

Zdarzenie, którego nie da się rozłożyć na prostsze, nazywa się elementarnym.

Zdarzenie nazywamy niemożliwym, jeśli w warunkach danego eksperymentu (testu) nigdy nie nastąpi.

Pewne i niemożliwe zdarzenia nie są przypadkowe.

Wspólne wydarzenia– kilka zdarzeń nazywamy łącznymi, jeżeli w wyniku eksperymentu wystąpienie jednego z nich nie wyklucza wystąpienia pozostałych.

Niezgodne zdarzenia– w danym eksperymencie kilka zdarzeń nazywa się niezgodnymi, jeżeli wystąpienie jednego z nich wyklucza wystąpienie pozostałych. Obydwa zdarzenia nazywane są naprzeciwko, jeśli jedno z nich zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy drugie nie występuje.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi ROCZNIE) – nazywa się stosunkiem liczbowym M zdarzenia elementarne (skutki) sprzyjające zaistnieniu zdarzenia A, do numeru N wszystkie zdarzenia elementarne w warunkach danego eksperymentu probabilistycznego.

Z definicji wynikają następujące własności prawdopodobieństwa:

1. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego jest liczbą dodatnią z zakresu od 0 do 1:

(2)

2. Prawdopodobieństwo określonego zdarzenia wynosi 1: (3)

3. Jeśli zdarzenie jest niemożliwe, jego prawdopodobieństwo jest równe

(4)

4. Jeśli zdarzenia są niezgodne, to

5. Jeżeli zdarzenia A i B są wspólne, to prawdopodobieństwo ich sumy jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń bez prawdopodobieństwa ich wspólnego wystąpienia:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)(6)

6. Jeśli i są zdarzeniami przeciwnymi, to (7)

7. Suma prawdopodobieństw zdarzeń A 1, A 2, …, An n, tworząc pełną grupę, jest równe 1:

P(A 1) + P(A 2) + …+ P(A n) = 1.(8)

W badaniach ekonomicznych wartości i we wzorze można różnie interpretować. Na definicja statystyczna Prawdopodobieństwo zdarzenia to liczba obserwacji wyników eksperymentu, w których zdarzenie wystąpiło dokładnie raz. W tym przypadku relacja nazywa się względna częstotliwość (częstotliwość) zdarzenia

Wydarzenia A, B są nazywane niezależny, jeżeli prawdopodobieństwo każdego z nich nie zależy od tego, czy zaszło inne zdarzenie, czy nie. Prawdopodobieństwa niezależnych zdarzeń nazywane są bezwarunkowy.

Wydarzenia A, B są nazywane zależny, jeśli prawdopodobieństwo każdego z nich zależy od tego, czy nastąpiło inne zdarzenie, czy nie. Prawdopodobieństwo zdarzenia B oblicza się przy założeniu, że zaszło już inne zdarzenie A warunkowe prawdopodobieństwo.

Jeżeli dwa zdarzenia A i B są niezależne, to zachodzi równość:

P(B) = P(B/A), P(A) = P(A/B) lub P(B/A) – P(B) = 0(9)

Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zależnych zdarzeń A, B jest równe iloczynowi prawdopodobieństwa jednego z nich przez prawdopodobieństwo warunkowe drugiego:

P(AB) = P(B) ∙ P(A/B) Lub P(AB) = P(A) ∙ P(B/A) (10)

Prawdopodobieństwo zdarzenia B przy zaistnieniu zdarzenia A:

(11)

Prawdopodobieństwo iloczynu dwóch niezależny zdarzenia A, B są równe iloczynowi ich prawdopodobieństw:

P(AB) = P(A) ∙ P(B)(12)

Jeżeli kilka zdarzeń jest parami niezależnych, to ich niezależność w sumie nie następuje.

Wydarzenia A 1, A 2, ..., An (n>2) nazywane są łącznie niezależnymi, jeśli prawdopodobieństwo każdego z nich nie zależy od tego, czy wystąpiło którekolwiek z pozostałych zdarzeń, czy nie.

Prawdopodobieństwo wspólnego wystąpienia kilku niezależnych w sumie zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń:

P(A 1 ∙A 2 ∙A 3 ∙…∙A n) = P(A 1)∙P(A 2)∙P(A 3)∙…∙P(A n). (13)

Oceniając prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnego zdarzenia losowego, bardzo ważne jest, aby dobrze zrozumieć, czy prawdopodobieństwo (prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia) wystąpienia interesującego nas zdarzenia zależy od tego, jak rozwiną się inne zdarzenia. W przypadku schematu klasycznego, gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne, możemy już niezależnie oszacować wartości prawdopodobieństwa poszczególnych interesujących nas zdarzeń. Możemy to zrobić nawet jeśli zdarzenie jest złożonym zbiorem kilku elementarnych wyników. Co się stanie, jeśli jednocześnie lub sekwencyjnie wystąpi kilka zdarzeń losowych? Jak wpływa to na prawdopodobieństwo wystąpienia interesującego nas zdarzenia? Jeśli rzucę kilka razy kostką i chcę, żeby wypadła szóstka, a ciągle mam pecha, czy to oznacza, że ​​powinienem zwiększyć swój zakład, ponieważ zgodnie z teorią prawdopodobieństwa wkrótce będę miał szczęście? Niestety, teoria prawdopodobieństwa nie stwierdza czegoś takiego. Ani kości, ani karty, ani monety nie pamiętają tego, co pokazały nam ostatnim razem. Jest dla nich zupełnie obojętne, czy testuję dzisiaj swoje szczęście po raz pierwszy, czy dziesiąty. Za każdym razem, gdy powtarzam rzut, wiem tylko jedno: i tym razem prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki wynosi ponownie jedną szóstą. Nie oznacza to oczywiście, że potrzebny mi numer nigdy się nie pojawi. Oznacza to tylko, że moja strata po pierwszym rzucie i po każdym kolejnym rzucie są zdarzeniami niezależnymi. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeśli wystąpienie jednego z nich nie wpływa w żaden sposób na prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia. Na przykład prawdopodobieństwo trafienia celu pierwszą z dwóch broni nie zależy od tego, czy cel został trafiony drugą bronią, więc zdarzenia „pierwsza broń trafiła w cel” i „druga broń trafiła w cel” są niezależny. Jeżeli dwa zdarzenia A i B są niezależne i znane jest prawdopodobieństwo każdego z nich, to prawdopodobieństwo jednoczesnego wystąpienia zarówno zdarzenia A, jak i zdarzenia B (oznaczonego jako AB) można obliczyć za pomocą poniższego twierdzenia.

Twierdzenie o mnożeniu prawdopodobieństwa dla zdarzeń niezależnych

P(AB) = P(A)*P(B) prawdopodobieństwo jednoczesnego wystąpienia dwóch niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń.

Przykład 1. Prawdopodobieństwo trafienia w cel podczas strzelania z pierwszego i drugiego działa jest odpowiednio równe: p 1 = 0,7; p2 = 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo trafienia jedną salwą z obu dział jednocześnie.

jak już widzieliśmy, zdarzenia A (trafienie pierwszym pistoletem) i B (trafienie drugim pistoletem) są niezależne, tj. P(AB)=P(A)*P(B)=p1*p2=0,56. Co stanie się z naszymi szacunkami, jeśli zdarzenia początkowe nie będą niezależne? Zmieńmy trochę poprzedni przykład.

Przykład 2. Dwóch strzelców strzela do tarcz na zawodach, a jeśli jeden z nich strzela celnie, przeciwnik zaczyna się denerwować i jego wyniki się pogarszają. Jak tę codzienną sytuację zamienić w problem matematyczny i nakreślić sposoby jego rozwiązania? Intuicyjnie widać, że trzeba w jakiś sposób oddzielić obie opcje rozwoju wydarzeń, aby w istocie stworzyć dwa scenariusze, dwa różne zadania. W pierwszym przypadku, jeśli przeciwnik spudłuje, scenariusz będzie korzystny dla zdenerwowanego sportowca, a jego celność będzie większa. W drugim przypadku, jeśli przeciwnik przyzwoicie wykorzystał swoją szansę, prawdopodobieństwo trafienia w cel dla drugiego zawodnika maleje. Aby rozdzielić możliwe scenariusze (często zwane hipotezami) rozwoju wydarzeń, często będziemy używać diagramu „drzewa prawdopodobieństwa”. Diagram ten ma podobne znaczenie do drzewa decyzyjnego, z którym zapewne już miałeś do czynienia. Każda gałąź reprezentuje odrębny scenariusz rozwoju wydarzeń, tyle że teraz ma swoją wartość tzw. prawdopodobieństwa warunkowego (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Schemat ten jest bardzo wygodny do analizy sekwencyjnych zdarzeń losowych. Do wyjaśnienia pozostaje jeszcze jedno ważne pytanie: skąd w rzeczywistych sytuacjach biorą się początkowe prawdopodobieństwa? W końcu teoria prawdopodobieństwa nie działa tylko w przypadku monet i kości? Zwykle szacunki te pochodzą ze statystyk, a gdy informacje statystyczne nie są dostępne, przeprowadzamy własne badania. I często musimy to zaczynać nie od zebrania danych, ale od pytania, jakich informacji tak naprawdę potrzebujemy.

Przykład 3. Załóżmy, że musimy oszacować w stutysięcznym mieście wielkość rynku dla nowego produktu, który nie jest artykułem niezbędnym, np. balsamu do pielęgnacji włosów farbowanych. Rozważmy diagram „drzewa prawdopodobieństwa”. W tym przypadku musimy w przybliżeniu oszacować wartość prawdopodobieństwa dla każdej „gałęzi”. Zatem nasze szacunki dotyczące pojemności rynku:

1) ogółu mieszkańców miasta 50% stanowią kobiety,

2) spośród wszystkich kobiet tylko 30% często farbuje włosy,

3) z nich tylko 10% używa balsamów do włosów farbowanych,

4) z nich tylko 10% może zdobyć się na odwagę i wypróbować nowy produkt,

5) 70% z nich zazwyczaj kupuje wszystko nie u nas, ale od naszej konkurencji.

Zgodnie z prawem mnożenia prawdopodobieństw wyznaczamy prawdopodobieństwo interesującego nas zdarzenia A = (mieszkaniec miasta kupuje od nas ten nowy balsam) = 0,00045. Pomnóżmy tę wartość prawdopodobieństwa przez liczbę mieszkańców miasta. W rezultacie mamy tylko 45 potencjalnych klientów, a biorąc pod uwagę, że jedna butelka tego produktu wystarcza na kilka miesięcy, handel nie jest zbyt żywy. A jednak z naszych ocen wynika pewna korzyść. Po pierwsze, możemy porównać prognozy różnych pomysłów biznesowych; będą one miały różne „widełki” na diagramach i oczywiście wartości prawdopodobieństwa również będą inne. Po drugie, jak już powiedzieliśmy, zmiennej losowej nie nazywa się losową, ponieważ w ogóle od niczego nie zależy. Jego dokładne znaczenie po prostu nie jest z góry znane. Wiemy, że średnią liczbę kupujących można zwiększyć (np. reklamując nowy produkt). Sensowne jest więc skupienie naszych wysiłków na tych „widełkach”, w których rozkład prawdopodobieństwa nam szczególnie nie odpowiada, na tych czynnikach, na które mamy wpływ. Spójrzmy na inny ilościowy przykład badań zachowań konsumentów.

Przykład 3. Targ spożywczy odwiedza średnio 10 000 osób dziennie. Prawdopodobieństwo, że gość targowy wejdzie do pawilonu z produktami mlecznymi wynosi 1/2. Wiadomo, że w tym pawilonie sprzedaje się średnio 500 kg różnych produktów dziennie. Czy można powiedzieć, że przeciętny zakup w pawilonie waży zaledwie 100 g?

Dyskusja.

Oczywiście nie. Wiadomo, że nie każdy, kto wszedł do pawilonu, ostatecznie coś tam kupił.

Jak widać na wykresie, aby odpowiedzieć na pytanie o średnią wagę zakupu, należy znaleźć odpowiedź na pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo, że osoba wchodząc do pawilonu coś tam kupi. Jeśli nie dysponujemy takimi danymi, a potrzebujemy ich, będziemy musieli sami je pozyskać, obserwując przez jakiś czas osoby odwiedzające pawilon. Załóżmy, że z naszych obserwacji wynika, że ​​tylko co piąty zwiedzający pawilon kupuje coś. Kiedy już uzyskamy te szacunki, zadanie staje się proste. Z 10 000 osób, które przyjdą na targ, 5 000 trafi do pawilonu z nabiałem, dokonanych zostanie zaledwie 1 000 zakupów. Średnia waga zakupu to 500 gramów. Warto zauważyć, że aby zbudować pełny obraz tego, co się dzieje, logikę warunkowego „rozgałęzienia” należy na każdym etapie naszego rozumowania zdefiniować tak jasno, jak gdybyśmy pracowali z „konkretną” sytuacją, a nie z prawdopodobieństwami.

Zadania samotestujące.

1. Niech będzie obwód elektryczny składający się z n elementów połączonych szeregowo, z których każdy działa niezależnie od pozostałych. Znane jest prawdopodobieństwo p awarii każdego elementu. Określ prawdopodobieństwo prawidłowego działania całego odcinka obwodu (zdarzenie A).

2. Student zna 20 z 25 pytań egzaminacyjnych. Znajdź prawdopodobieństwo, że uczeń zna trzy pytania zadane mu przez egzaminatora.

3. Produkcja składa się z czterech kolejnych etapów, na każdym z nich pracuje sprzęt, dla którego prawdopodobieństwa awarii w ciągu kolejnego miesiąca wynoszą odpowiednio p 1, p 2, p 3 i p 4. Znajdź prawdopodobieństwo, że w ciągu miesiąca nie będzie przestojów w produkcji z powodu awarii sprzętu.

Jest mało prawdopodobne, aby wiele osób zastanawiało się, czy możliwe jest obliczenie zdarzeń, które są mniej lub bardziej losowe. Krótko mówiąc, czy można wiedzieć, która strona sześcianu pojawi się następnym razem? To właśnie pytanie zadało sobie dwóch wielkich naukowców, którzy położyli podwaliny pod taką naukę, jak teoria prawdopodobieństwa, w której dość szeroko bada się prawdopodobieństwo zdarzenia.

Pochodzenie

Jeśli spróbujesz zdefiniować takie pojęcie jak teoria prawdopodobieństwa, otrzymasz następujące informacje: jest to jedna z gałęzi matematyki badająca stałość zdarzeń losowych. Oczywiście ta koncepcja tak naprawdę nie odsłania całej istoty, dlatego należy rozważyć ją bardziej szczegółowo.

Chciałbym zacząć od twórców teorii. Jak wspomniano powyżej, było ich dwóch i jako jedni z pierwszych próbowali obliczyć wynik tego czy innego zdarzenia za pomocą wzorów i obliczeń matematycznych. Generalnie początki tej nauki sięgają średniowiecza. W tamtym czasie różni myśliciele i naukowcy próbowali analizować gry hazardowe, takie jak ruletka, kości itp., ustalając w ten sposób wzór i procent wypadania określonej liczby. Fundamenty założyli w XVII wieku wspomniani uczeni.

Początkowo ich prac nie można było uznać za wielkie osiągnięcia w tej dziedzinie, gdyż opierali się jedynie na faktach empirycznych, a eksperymenty przeprowadzano wizualnie, bez użycia formuł. Z biegiem czasu udało się osiągnąć świetne rezultaty, które pojawiły się w wyniku obserwacji rzutu kostką. To właśnie to narzędzie pomogło wyprowadzić pierwsze zrozumiałe formuły.

Ludzie myślący podobnie

Nie sposób nie wspomnieć o takiej osobie jak Christiaan Huygens w procesie studiowania tematu zwanego „teorią prawdopodobieństwa” (prawdopodobieństwo zdarzenia jest właśnie omawiane w tej nauce). Ta osoba jest bardzo interesująca. On, podobnie jak przedstawieni powyżej naukowcy, próbował wyprowadzić wzór zdarzeń losowych w postaci wzorów matematycznych. Warto zauważyć, że nie zrobił tego razem z Pascalem i Fermatem, to znaczy wszystkie jego dzieła nie krzyżowały się z tymi umysłami. Huygens wydedukował

Ciekawostką jest to, że jego dzieło powstało na długo przed wynikami prac odkrywców, a raczej dwadzieścia lat wcześniej. Wśród zidentyfikowanych koncepcji najbardziej znane to:

• koncepcja prawdopodobieństwa jako wartości przypadku;
• oczekiwanie matematyczne dla przypadków dyskretnych;
• twierdzenia o mnożeniu i dodawaniu prawdopodobieństw.

Nie sposób też nie pamiętać, kto także wniósł znaczący wkład w badanie problemu. Przeprowadzając własne, niezależne od nikogo testy, był w stanie przedstawić dowód prawa wielkich liczb. Z kolei naukowcom Poissona i Laplace'a, którzy pracowali na początku XIX wieku, udało się udowodnić oryginalne twierdzenia. Od tego momentu zaczęto wykorzystywać teorię prawdopodobieństwa do analizy błędów w obserwacjach. Rosyjscy naukowcy, a raczej Markow, Czebyszew i Diapunow, nie mogli zignorować tej nauki. Opierając się na pracy wielkich geniuszy, uznali ten przedmiot za dziedzinę matematyki. Liczby te funkcjonowały już pod koniec XIX wieku, a dzięki ich wkładowi udowodniono następujące zjawiska:

• prawo wielkich liczb;
• teoria łańcucha Markowa;
• centralne twierdzenie graniczne.

Tak więc, biorąc pod uwagę historię narodzin nauki i głównych ludzi, którzy na nią wpłynęli, wszystko jest mniej więcej jasne. Nadszedł czas na wyjaśnienie wszystkich faktów.

Podstawowe koncepcje

Zanim dotkniemy praw i twierdzeń, warto przestudiować podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa. Wydarzenie odgrywa w nim wiodącą rolę. Ten temat jest dość obszerny, ale bez niego nie będzie można zrozumieć wszystkiego innego.

Zdarzenie w teorii prawdopodobieństwa to dowolny zbiór wyników eksperymentu. Koncepcji tego zjawiska jest całkiem sporo. Dlatego naukowiec Łotman zajmujący się tą dziedziną stwierdził, że w tym przypadku mówimy o tym, co „się wydarzyło, chociaż mogło się nie wydarzyć”.

Zdarzenia losowe (szczególnie zwraca na nie uwagę teoria prawdopodobieństwa) to pojęcie, które implikuje absolutnie każde zjawisko, które ma możliwość wystąpienia. Lub odwrotnie, ten scenariusz może się nie wydarzyć, jeśli spełnionych zostanie wiele warunków. Warto też wiedzieć, że to właśnie zdarzenia losowe oddają cały ogrom zjawisk, które miały miejsce. Teoria prawdopodobieństwa wskazuje, że wszystkie warunki mogą się stale powtarzać. To ich postępowanie nazywa się „doświadczeniem” lub „testem”.

Zdarzenie wiarygodne to zjawisko, które w danym teście wystąpi ze stuprocentowym prawdopodobieństwem. Zatem zdarzenie niemożliwe to takie, które nie nastąpi.

Połączenie pary działań (warunkowo, przypadek A i przypadek B) jest zjawiskiem zachodzącym jednocześnie. Są one oznaczone jako AB.

Suma par zdarzeń A i B to C, czyli jeśli zajdzie chociaż jedno z nich (A lub B), to otrzymamy C. Wzór na opisywane zjawisko zapiszemy następująco: C = A + B.

Niezgodne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa oznaczają, że dwa przypadki wzajemnie się wykluczają. W żadnym wypadku nie mogą one wystąpić jednocześnie. Wspólne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa są ich antypodą. Chodzi tu o to, że jeśli wydarzyło się A, to w żaden sposób nie zapobiega to B.

Zdarzenia przeciwne (teoria prawdopodobieństwa rozważa je bardzo szczegółowo) są łatwe do zrozumienia. Najlepszym sposobem, aby je zrozumieć, jest porównanie. Są prawie takie same, jak zdarzenia niezgodne w teorii prawdopodobieństwa. Różnica polega jednak na tym, że w każdym przypadku musi nastąpić jedno z wielu zjawisk.

Zdarzeniami równie prawdopodobnymi są te działania, których powtarzalność jest równa. Żeby było jaśniej, możesz sobie wyobrazić rzut monetą: utrata jednej strony jest równie prawdopodobna, jak wypadnięcie drugiej.

Pomyślne wydarzenie łatwiej jest rozważyć na przykładzie. Załóżmy, że jest odcinek B i odcinek A. Pierwszy to rzut kośćmi, w którym pojawia się nieparzysta liczba, a drugi to pojawienie się cyfry pięć na kostce. Potem okazuje się, że A faworyzuje B.

Niezależne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa są rzutowane tylko na dwa lub więcej przypadków i implikują niezależność dowolnego działania od drugiego. Na przykład A to utrata orła podczas rzucania monetą, a B to wyciągnięcie waleta z talii. Są to niezależne zdarzenia w teorii prawdopodobieństwa. W tym momencie stało się jaśniej.

Zdarzenia zależne w teorii prawdopodobieństwa są również dopuszczalne tylko dla ich zbioru. Implikują zależność jednego od drugiego, to znaczy zjawisko B może wystąpić tylko wtedy, gdy A już się wydarzyło lub odwrotnie, nie wydarzyło się, gdy jest to główny warunek B.

Wynikiem losowego eksperymentu składającego się z jednego składnika są zdarzenia elementarne. Teoria prawdopodobieństwa wyjaśnia, że ​​jest to zjawisko, które zdarzyło się tylko raz.

Podstawowe formuły

Zatem powyżej omówiono pojęcia „zdarzenia” i „teorii prawdopodobieństwa”; podano także definicję podstawowych terminów tej nauki. Teraz czas na bezpośrednie zapoznanie się z ważnymi formułami. Wyrażenia te matematycznie potwierdzają wszystkie główne koncepcje w tak złożonym przedmiocie, jak teoria prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia również odgrywa tutaj ogromną rolę.

Lepiej zacząć od tych podstawowych, a zanim zaczniesz od nich, warto zastanowić się, czym one są.

Kombinatoryka to przede wszystkim dziedzina matematyki; zajmuje się badaniem ogromnej liczby liczb całkowitych, a także różnymi permutacjami zarówno samych liczb, jak i ich elementów, różnych danych itp., Prowadząc do pojawienia się szeregu kombinacji. Oprócz teorii prawdopodobieństwa dziedzina ta jest ważna dla statystyki, informatyki i kryptografii.

Możemy zatem przejść do przedstawienia samych formuł i ich definicji.

Pierwsza z nich będzie wyrażeniem na liczbę permutacji, wygląda to następująco:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Równanie stosuje się tylko wtedy, gdy elementy różnią się jedynie kolejnością ułożenia.

Teraz rozważymy formułę rozmieszczenia, która wygląda następująco:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Wyrażenie to ma zastosowanie nie tylko do kolejności umieszczenia elementu, ale także do jego składu.

Trzecie równanie kombinatoryki i jednocześnie ostatnie, nazywa się wzorem na liczbę kombinacji:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :M!

Kombinacja odnosi się do wyborów, które nie są odpowiednio uporządkowane; ta zasada ma do nich zastosowanie.

Łatwo było zrozumieć wzory kombinatoryki; teraz możesz przejść do klasycznej definicji prawdopodobieństw. To wyrażenie wygląda następująco:

W tym wzorze m jest liczbą warunków sprzyjających zdarzeniu A, a n jest liczbą absolutnie wszystkich równie możliwych i elementarnych wyników.

Wyrażeń jest bardzo dużo; w artykule nie zostaną omówione wszystkie, ale zostaną poruszone te najważniejsze, jak na przykład prawdopodobieństwo sumy zdarzeń:

P(A + B) = P(A) + P(B) - twierdzenie to służy do dodawania tylko zdarzeń niezgodnych;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - i ten służy do dodawania tylko kompatybilnych.

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - twierdzenie to dotyczy zdarzeń niezależnych;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - i to jest dla osoby zależnej.

Listę wydarzeń uzupełni formuła wydarzeń. Teoria prawdopodobieństwa mówi nam o twierdzeniu Bayesa, które wygląda następująco:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., N

W tym wzorze H 1, H 2, ..., H n jest kompletną grupą hipotez.

Przykłady

Jeśli dokładnie przestudiujesz jakąkolwiek sekcję matematyki, nie będzie ona kompletna bez ćwiczeń i przykładowych rozwiązań. Podobnie jest z teorią prawdopodobieństwa: zdarzenia i przykłady są tutaj integralnym elementem potwierdzającym obliczenia naukowe.

Wzór na liczbę permutacji

Załóżmy, że w talii znajduje się trzydzieści kart, zaczynając od wartości jeden. Następne pytanie. Na ile sposobów można ułożyć talię tak, aby karty o wartości jeden i dwa nie leżały obok siebie?

Zadanie zostało postawione, teraz przejdźmy do jego rozwiązania. Najpierw musisz określić liczbę permutacji trzydziestu elementów, w tym celu bierzemy wzór przedstawiony powyżej, okazuje się, że P_30 = 30!.

Na podstawie tej reguły dowiadujemy się, ile jest możliwości złożenia talii na różne sposoby, ale musimy odjąć od nich te, w których pierwsza i druga karta leżą obok siebie. Aby to zrobić, zacznijmy od opcji, gdy pierwsza jest nad drugą. Okazuje się, że pierwsza karta może zająć dwadzieścia dziewięć miejsc – od pierwszego do dwudziestego dziewiątego, a druga karta od drugiego do trzydziestego, co daje w sumie dwadzieścia dziewięć miejsc na parę kart. Z kolei pozostali mogą przyjąć dwadzieścia osiem miejsc, w dowolnej kolejności. Oznacza to, że aby zmienić układ dwudziestu ośmiu kart, istnieje dwadzieścia osiem opcji P_28 = 28!

W rezultacie okazuje się, że jeśli weźmiemy pod uwagę rozwiązanie, w którym pierwsza karta znajduje się nad drugą, będzie 29 ⋅ 28 dodatkowych możliwości! = 29!

W ten sam sposób należy obliczyć liczbę opcji nadmiarowych w przypadku, gdy pierwsza karta znajduje się pod drugą. Okazuje się również, że jest to 29 ⋅ 28! = 29!

Wynika z tego, że opcji dodatkowych jest 2 ⋅ 29!, natomiast sposobów potrzebnych do złożenia talii jest 30! - 2 ⋅ 29!. Pozostaje tylko policzyć.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Teraz musisz pomnożyć wszystkie liczby od jednego do dwudziestu dziewięciu, a na koniec pomnożyć wszystko przez 28. Odpowiedź to 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Przykładowe rozwiązanie. Wzór na numer miejsca docelowego

W tym zadaniu musisz dowiedzieć się, na ile sposobów można umieścić piętnaście tomów na jednej półce, pod warunkiem, że w sumie będzie ich trzydzieści.

Rozwiązanie tego problemu jest nieco prostsze niż poprzednie. Korzystając ze znanego już wzoru, należy obliczyć całkowitą liczbę aranżacji trzydziestu tomów z piętnastu.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Odpowiedź będzie zatem równa 202 843 204 931 727 360 000.

Teraz weźmy się za nieco trudniejsze zadanie. Musisz dowiedzieć się, na ile sposobów można ułożyć trzydzieści książek na dwóch półkach, biorąc pod uwagę, że na jednej półce mieści się tylko piętnaście tomów.

Zanim przystąpię do rozwiązania chciałbym wyjaśnić, że niektóre problemy można rozwiązać na kilka sposobów, a ten ma dwie metody, ale obie korzystają z tego samego wzoru.

W tym zadaniu możesz wziąć odpowiedź z poprzedniego, ponieważ tam obliczyliśmy, ile razy możesz zapełnić półkę piętnastoma książkami na różne sposoby. Okazało się, że A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Drugą półkę obliczymy za pomocą wzoru permutacyjnego, ponieważ zmieści się w niej piętnaście książek, a pozostało już tylko piętnaście. Korzystamy ze wzoru P_15 = 15!.

Okazuje się, że suma będzie wynosić A_30^15 ⋅ P_15 sposobów, ale oprócz tego iloczyn wszystkich liczb od trzydziestu do szesnastu będzie musiał zostać pomnożony przez iloczyn liczb od jednego do piętnastu, w końcu otrzyma iloczyn wszystkich liczb od jednego do trzydziestu, czyli odpowiedź wynosi 30!

Ale ten problem można rozwiązać w inny sposób - łatwiej. Aby to zrobić, możesz sobie wyobrazić, że jest jedna półka na trzydzieści książek. Wszystkie są umieszczone na tej płaszczyźnie, ale ponieważ warunek wymaga, aby były dwie półki, przecięliśmy jedną długą na pół, więc otrzymamy po dwie po piętnaście. Z tego wynika, że ​​opcji aranżacyjnych może być P_30 = 30!.

Przykładowe rozwiązanie. Wzór na liczbę kombinacji

Teraz rozważymy wersję trzeciego problemu z kombinatoryki. Trzeba dowiedzieć się, na ile sposobów można ułożyć piętnaście książek, pod warunkiem, że trzeba wybrać spośród trzydziestu absolutnie identycznych.

Do rozwiązania zastosowany zostanie oczywiście wzór na liczbę kombinacji. Z warunku wynika, że ​​kolejność identycznych piętnastu ksiąg nie jest istotna. Dlatego początkowo musisz sprawdzić całkowitą liczbę kombinacji trzydziestu książek po piętnaście.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

To wszystko. Korzystając z tego wzoru, udało nam się rozwiązać ten problem w najkrótszym możliwym czasie; odpowiednio odpowiedź wynosi 155 117 520.

Przykładowe rozwiązanie. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Korzystając z powyższego wzoru, możesz znaleźć odpowiedź na prosty problem. Pomoże to jednak wyraźnie zobaczyć i śledzić postęp działań.

Zadanie polega na tym, że w urnie znajduje się dziesięć identycznych kul. Spośród nich cztery są żółte, a sześć niebieskie. Z urny wyjmujemy jedną kulę. Musisz sprawdzić prawdopodobieństwo otrzymania niebieskiego koloru.

Aby rozwiązać problem, należy oznaczyć zdobycie niebieskiej kuli jako zdarzenie A. Doświadczenie to może mieć dziesięć wyników, które z kolei są elementarne i równie możliwe. Jednocześnie na dziesięć sześć sprzyja zdarzeniu A. Rozwiązujemy za pomocą wzoru:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Stosując ten wzór dowiedzieliśmy się, że prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej kuli wynosi 0,6.

Przykładowe rozwiązanie. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń

Zostanie teraz przedstawiona opcja, którą można rozwiązać za pomocą wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń. Zatem warunek jest taki, że są dwa pudełka, pierwsze zawiera jedną szarą i pięć białych kul, a drugie osiem szarych i cztery białe kule. W efekcie zabrali po jednym z pierwszego i drugiego pudełka. Musisz dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo, że otrzymane kule będą szaro-białe.

Aby rozwiązać ten problem, konieczna jest identyfikacja zdarzeń.

• Zatem A - wziął szarą kulę z pierwszego pudełka: P(A) = 1/6.
• A’ – wziął także białą kulę z pierwszego pudełka: P(A”) = 5/6.
• B - z drugiego pudełka wyjęto kulę szarą: P(B) = 2/3.
• B’ – wziął szarą kulę z drugiego pudełka: P(B”) = 1/3.

W zależności od warunków problemu konieczne jest zajście jednego ze zjawisk: AB’ lub A’B. Korzystając ze wzoru otrzymujemy: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Teraz zastosowano wzór na pomnożenie prawdopodobieństwa. Następnie, aby znaleźć odpowiedź, musisz zastosować równanie ich dodania:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

W ten sposób możesz rozwiązać podobne problemy za pomocą wzoru.

Konkluzja

W artykule przedstawiono informacje na temat „Teorii prawdopodobieństwa”, w którym prawdopodobieństwo zdarzenia odgrywa istotną rolę. Oczywiście nie wszystko zostało wzięte pod uwagę, ale na podstawie przedstawionego tekstu można teoretycznie zapoznać się z tym działem matematyki. Nauka, o której mowa, może przydać się nie tylko w sprawach zawodowych, ale także w życiu codziennym. Za jego pomocą możesz obliczyć dowolną możliwość dowolnego zdarzenia.

W tekście poruszono także istotne daty w historii kształtowania się teorii prawdopodobieństwa jako nauki oraz nazwiska osób, których praca była w nią włożona. W ten sposób ludzka ciekawość doprowadziła do tego, że ludzie nauczyli się liczyć nawet zdarzenia losowe. Kiedyś po prostu się tym interesowali, dziś już wszyscy o tym wiedzą. I nikt nie powie, co nas czeka w przyszłości, jakie inne genialne odkrycia związane z rozważaną teorią zostaną dokonane. Ale jedno jest pewne – badania nie stoją w miejscu!