Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Символ π , как правило, для этой цели не используется. Для обозначения телесных углов (см. ниже) часто применяют буквы ω и Ω .

Также часто угол обозначают тремя символами точек, например ∠ A B C . {\displaystyle \angle ABC.} В такой записи B {\displaystyle B} - вершина, а A {\displaystyle A} и C {\displaystyle C} - точки, лежащие на разных сторонах угла. В связи с выбором в математике направления отсчёта углов против часовой стрелки, точки, лежащие на сторонах в обозначении угла принято перечислять также против часовой стрелки. Это соглашение позволяет обеспечить однозначность при различении двух плоских углов с общими сторонами, но различными внутренними областями. В тех случаях, когда выбор внутренней области плоского угла ясен из контекста, либо указывается другим способом, данное соглашение может нарушаться. См. .

Реже используются обозначения прямых, образующих стороны угла. Например, ∠ (b c) {\displaystyle \angle (bc)} - здесь предполагается, что имеется в виду внутренний угол треугольника ∠ B A C {\displaystyle \angle BAC} , α , который надо было бы обозначить ∠ (c b) {\displaystyle \angle (cb)} .

Так, для рисунка справа записи γ , ∠ A C B {\displaystyle \angle ACB} и ∠ (b a) {\displaystyle \angle (ba)} означают один и тот же угол.

Иногда для обозначения углов используются строчные латинские буквы (a, b, c, …) и цифры.

На чертежах углы отмечаются небольшими одинарными, двойными или тройными дужками, проходящими по внутренней области угла с центрами в вершине угла. Равенство углов может отмечаться одинаковой кратностью дужек или одинаковым количеством поперечных штрихов на дужке. Если необходимо указать направление отсчёта угла, оно отмечается стрелкой на дужке. Прямые углы отмечаются не дужками, а двумя соединёнными равными отрезками, расположенными таким образом, что вместе со сторонами они образуют небольшой квадрат, одна из вершин которого совпадает с вершиной угла.

Угловая мера

Угловая мера, позволяющая сравнивать плоские углы, может быть введена следующим образом. Два плоских угла называются равными (или конгруэнтными ), если они могут быть совмещены так, что совпадут их вершины и обе стороны. От любого луча на плоскости в данную сторону можно отложить единственный угол, равный данному. Если один угол может быть размещён полностью внутри другого угла таким образом, что вершина и одна из сторон этих углов совпадают, то первый угол меньше второго. Назовём прилежащими два угла, расположенные так, что сторона одного совпадает со стороной другого (а значит, совпадают и вершины), но их внутренние области не пересекаются. Угол, составленный из несовпадающих сторон двух прилежащих углов, назовём сложенным из этих углов. Каждому углу можно поставить в соответствие число (угловую меру) таким образом, что:

• равным углам соответствует равная угловая мера;
• меньшему углу соответствует меньшая угловая мера;
• у угла, стороны которого совпадают (нулевого угла), угловая мера равна нулю (то же справедливо и для угла между параллельными прямыми);
• каждый ненулевой угол имеет определённую угловую меру, большую нуля;
• (аддитивность) угловая мера угла равна сумме угловых мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

В некоторых системах обозначений, если есть необходимость различать угол и его меру, для угла (геометрической фигуры) используют обозначение ∠ A B C , {\displaystyle \angle ABC,} а для величины меры измерения этого угла - обозначение A B C ^ . {\displaystyle {\widehat {ABC}}.}

Измерение углов в градусной мере восходит к Древнему Вавилону , где использовалась шестидесятеричная система счисления , следы которой сохранились у нас в делении времени и углов.

1 оборот = 2π радианам = 360° = 400 градам .

В морской терминологии углы измеряются в румбах . 1 румб равен 1 ⁄ 32 от полной окружности (360 градусов) компаса, то есть 11,25 градуса, или 11°15′.

В некоторых контекстах, таких как идентификация точки в полярных координатах или описание ориентации объекта в двух измерениях относительно его базовой ориентации, углы, отличающиеся на целое число полных оборотов, фактически являются эквивалентными. Например, в таких случаях можно считать эквивалентными углы 15° и 360015° (= 15° + 360°×1000) . В других контекстах, таких как идентификация точки на спиральной кривой или описание совокупного вращения объекта в двух измерениях относительно его начальной ориентации, углы, отличающиеся на ненулевое целое число полных оборотов, не эквивалентны.

Некоторые плоские углы имеют специальные названия. Кроме вышеназванных единиц измерения (радиан, румб, градус и тому подобное), к ним относятся:

• квадрант (прямой угол, 1 ⁄ 4 окружности);
• секстант ( 1 ⁄ 6 окружности);
• октант ( 1 ⁄ 8 окружности; кроме того, в стереометрии октантом называется трёхгранный угол, образованный тремя взаимно перпендикулярными плоскостями),

Направление отсчёта углов

Стрелкой показано направление отсчёта углов

Телесный угол

Обобщением плоского угла на стереометрию является телесный угол - часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол).

Телесные углы измеряются в стерадианах (одна из основных единиц СИ), а также во внесистемных единицах - в частях полной сферы (то есть полного телесного угла, составляющего 4π стерадиан), в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах.

Телесными углами являются, в частности, следующие геометрические тела:

• двугранный угол - часть пространства, ограниченная двумя пересекающимися плоскостями;
• трёхгранный угол - часть пространства, ограниченная тремя пересекающимися плоскостями;
• многогранный угол - часть пространства, ограниченная несколькими плоскостями, пересекающимися в одной точке.

Двугранный угол может характеризоваться как линейным углом (углом между образующими его плоскостями), так и телесным углом (в качестве вершины может быть выбрана любая точка на его ребре - прямой пересечения его граней). Если линейный угол двугранного угла (в радианах) равен φ , то его телесный угол (в стерадианах) равен 2φ .

Угол между кривыми

Как в планиметрии, так и в стереометрии, а также в ряде других геометрий можно определить угол между гладкими кривыми в точке пересечения: по определению, его величина равна величине угла между касательными к кривым в точке пересечения.

Угол и скалярное произведение

Понятие угла можно определить для линейных пространств произвольной природы (и произвольной, в том числе бесконечной размерности), на которых аксиоматически введено положительно определённое скалярное произведение (x , y) {\displaystyle (x,y)} между двумя элементами пространства x {\displaystyle x} и y . {\displaystyle y.} Скалярное произведение позволяет определить также и так называемую норму (длину) элемента как квадратный корень произведения элемента на себя | | x | | = (x , x) . {\displaystyle ||x||={\sqrt {(x,x)}}.} Из аксиом скалярного произведения следует неравенство Коши - Буняковского (Коши - Шварца) для скалярного произведения: | (x , y) | ⩽ | | x | | ⋅ | | y | | , {\displaystyle |(x,y)|\leqslant ||x||\cdot ||y||,} откуда следует, что величина принимает значения от −1 до 1, причём крайние значения достигаются тогда и только тогда , когда элементы пропорциональны (коллинеарны) друг другу (говоря геометрически - их направления совпадают или противоположны). Это позволяет интерпретировать отношение (x , y) | | x | | ⋅ | | y | | {\displaystyle {\frac {(x,y)}{||x||\cdot ||y||}}} как косинус угла между элементами x {\displaystyle x} и y . {\displaystyle y.} В частности, элементы называют ортогональными , если скалярное произведение (или косинус угла) равно нулю.

В частности, можно ввести понятие угла между непрерывными на некотором интервале [ a , b ] {\displaystyle } функциями, если ввести стандартное скалярное произведение (f , g) = ∫ a b f (x) g (x) d x , {\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx,} тогда нормы функций определяются как | | f | | 2 = ∫ a b f 2 (x) d x . {\displaystyle ||f||^{2}=\int _{a}^{b}f^{2}(x)dx.} Тогда косинус угла определяется стандартным образом как отношение скалярного произведения функций к их нормам. Функции также можно назвать ортогональными , если их скалярное произведение (интеграл их произведения) равно нулю.

В римановой геометрии можно аналогично определить угол между касательными векторами с помощью метрического тензора g i j . {\displaystyle g_{ij}.} Скалярное произведение касательных векторов u {\displaystyle u} и v {\displaystyle v} в тензорной записи будет иметь вид: (u , v) = g i j u i v j , {\displaystyle (u,v)=g_{ij}u^{i}v^{j},} соответственно нормы векторов - | | u | | = | g i j u i u j | {\displaystyle ||u||={\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|}}} и | | v | | = | g i j v i v j | . {\displaystyle ||v||={\sqrt {|g_{ij}v^{i}v^{j}|}}.} Поэтому косинус угла будет определяться по стандартной формуле отношения указанного скалярного произведения к нормам векторов: cos ⁡ θ = (u , v) | | u | | ⋅ | | v | | = g i j u i v j | g i j u i u j | ⋅ | g i j v i v j | . {\displaystyle \cos \theta ={\frac {(u,v)}{||u||\cdot ||v||}}={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {|g_{ij}u^{i}u^{j}|\cdot |g_{ij}v^{i}v^{j}|}}}.}

Угол в метрическом пространстве

Также существует ряд работ, в которых вводится понятие угла между элементами метрического пространства.

Пусть (X , ρ) {\displaystyle (X,\rho)} - метрическое пространство . Пусть далее, x , y , z {\displaystyle x,y,z} - элементы этого пространства.

К. Менгер ввёл понятие угла между вершинами y {\displaystyle y} и z {\displaystyle z} с вершиной в точке x {\displaystyle x} как неотрицательное число y x z ^ {\displaystyle {\widehat {yxz}}} , которое удовлетворяет трём аксиомам:

В 1932 году Вильсон рассмотрел в качестве угла следующее выражение:

Y x z ^ w = arccos ⁡ ρ 2 (x , y) + ρ 2 (x , z) − ρ 2 (y , z) 2 ρ (x , y) ρ (x , z) {\displaystyle {\widehat {yxz}}_{w}=\arccos {\frac {\rho ^{2}(x,y)+\rho ^{2}(x,z)-\rho ^{2}(y,z)}{2\rho (x,y)\rho (x,z)}}}

Нетрудно видеть, что введённое выражение всегда имеет смысл и удовлетворяет трём аксиомам Менгера.

Кроме того, угол Вильсона обладает тем свойством, что в евклидовом пространстве он эквивалентен углу между элементами y − x {\displaystyle y-x} и z − x {\displaystyle z-x} в смысле евклидова пространства.

Измерение углов

Одним из самых распространённых инструментов для построения и измерения углов является транспортир (а также линейка - см. ниже); как правило, он используется для построения угла определённой величины. Для более или менее точного измерения углов разработано много инструментов:

• гониометр - прибор для лабораторного измерения углов;
• кипрегель - геодезический угломерный инструмент.

Угловым расстоянием (или просто углом) между двумя объектами для наблюдателя называется мера угла, в вершине которого находится наблюдатель, а объекты лежат на сторонах. Для грубой оценки углов между двумя удалёнными предметами можно использовать кисть руки. На расстоянии вытянутой руки угловому расстоянию в 1 градус (1°) соответствует ширина мизинца (см. также ниже; угловая ширина среднего пальца на расстоянии вытянутой руки составляет около 2°), углу в 10 градусов - ширина сжатого кулака, расположенного горизонтально (либо поперечник ладони), углу в 20 градусов (или около 15°÷17°÷20°) - расстояние между кончиками разведённых большого и указательного пальца (

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

«2. Что называется сторонами угла, обозначенного как EFG? 3. Что называется вершиной угла, обозначенного как EFG? 4. Какая геометрическая фигура называется плоским углом? 5. Сколько плоских...»

Занятие 1. УГОЛ.

ПЛОСКИЙ УГОЛ

Контрольные вопросы и задания

1. Какая геометрическая фигура называется углом?

2. Что называется сторонами угла, обозначенного как EFG?

3. Что называется вершиной угла, обозначенного как EFG?

4. Какая геометрическая фигура называется плоским углом?

5. Сколько плоских углов определяют два различных луча с общей вершиной?

6. Какая фигура называется развёрнутым углом?

7. Какой вид имеет плоский развёрнутый угол?

8. Как определяется угол между двумя отрезками AB и AC с общим концом?

9. Как обозначается угол треугольника MNK при вершине M?

Задачи и упражнения

1. На рис. 1 нарисуйте угол. Отметьте по одной точке на его сторонах. Обозначьте эти точки и вершину угла буквами.

Запишите обозначение этого угла.

2. На рис. 2 нарисуйте и обозначьте угол.

Укажите, какие плоские углы соответРис. 1 ствуют этому углу.

Рис. 2 Рис. 3

3. На рис. 3 нарисуйте два отрезка с общим концом. Обозначьте концы отрезков буквами. Запишите обозначение этого угла.

4. На рис. 4 нарисуйте четыре различных луча с началом в точке O.

Сколько углов вы можете указать на рисунке?

Рис. 4 Рис. 5 5.* На рис. 5 нарисуйте три различных луча с началом в точке O. Сколько плоских углов вы можете указать на рисунке?

1.1. Сколько неразвёрнутых углов можно указать, выбирая стороны из четырёх лучей, проведённых из одной точки О, если никакие два из этих лучей не лежат на одной прямой?

1) 4 2) 6 3) 8 4) 10

1.2. На рис. 6 изображены две пересекающиеся прямые. Сколько всего плоских углов можно указать, выбирая стороны углов из лучей этих прямых?

Рис. 6 1) 6 2) 8 3) 10 4) 12 Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. На рис. 7 изображены два луча AB и AC и пять точек. Какие из указанных точек не содержит плоский угол BAC, внутри которого находится точка M?

1) N 2) K 3) L 4) P

2.2. На луче KN отметили точки A и B, на луче KM отметили точки C и D. Какие из приведённых записей являются обозначениями угла MKN?

1) AKB; 2) BKC; 3) AKD; 4) CKD.

Занятие 2. РАВЕНСТВО УГЛОВ Контрольные вопросы и задания

1. Какой значок используют для обозначения угла?

2. Точки M, N лежат на одной стороне угла с вершиной O, точки E, F на другой его стороне. Запишите четыре обозначения этого угла, используя указанные точки.

3. Сколько плоских углов определяют два различных луча с общей вершиной?

4.** Какая фигура называется плоским развёрнутым углом?

5. В каком случае два угла, образованные лучами с общей вершиной, называются равными?

6. В каком случае два плоских угла называются равными?

Задачи и упражнения

1. На рис. 1 изображены равные углы AOB, BOC, COD. Как переместить копию угла BOD, чтобы она совместилась с углом AOС?

–  –  –

3. При выбранной единице измерения углов плоский угол AOB составлен из 5 эталонных углов, плоский угол BOC составлен из 6 эталонных углов. Чему равна мера угла AOC, составленного из углов AOB и BOC, в выбранных единицах измерения углов?

4. Плоский угол составлен из 73 плоских углов, равных 1°. Чему равна градусная мера этого угла?

5. Что называют величиной угла (в градусах)?

6. Чему равна величина развёрнутого угла?

7. Что можно сказать о градусных мерах равных углов?

8. Что можно сказать об углах, имеющих равные градусные меры?

9. Сколько углов величины 154° можно отложить от заданного луча?

Задачи и упражнения

1. Нарисуйте на клетчатой бумаге (рис. 2) прямоугольник PQRS и измерьте с помощью транспортира его углы. Запишите результаты измерения.

2. Измерьте углы треугольника ABC, изображённого на рис. 3. Запишите результаты измерений.

–  –  –

Проверь себя. Тесты Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.

1.1. Пусть за единицу измерения углов выбран Рис. 3 плоский угол, градусная мера которого равна 12°.

Чему равна градусная мера угла, который в новых единицах имеет меру 8?

1) 84° 2) 96° 3) 108° 4) 112°

1.2. На плоскости задан луч AB. Сколько из вершины A можно провести лучей, образующих с лучом AB угол в 90°?

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 Рис. 4

2.1. Предположим, что при измерении плоских углов, которые можно разместить в полуплоскости, используется эталонный угол величиной 15°. Какие из указанных значений могут быть мерой таких углов в новых единицах измерения?

1) 8 2) 10 3) 12 4) 14

2.2. При измерении некоторого заданного угла эталонным углом величиной 15° получили, что в новых единицах измерения мера угла больше 8 и меньше 9. Какие из указанных значений не могут быть величиной заданного угла?

1) 120° 2) 125° 3) 130° 4) 135° Занятие 4. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ НА ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ Контрольные вопросы и задания

1. Какие значения может принимать градусная мера плоского угла, который размещается в некоторой полуплоскости?

2. Как на компасе выглядят направления:

а) на «норд-вест»? б) на «норд-ост»?

в) на «зюйд-ост»? г) на «зюйд-вест»?

3. Плоский угол составлен из 18 плоских углов, равных 1°. Чему равна градусная мера этого угла?

4. Какую величину имеет угол, равный углу в 15°?

5. Пусть задан луч MN. Сколько можно провести лучей MF таких, что FMN = 99°?

–  –  –

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. При измерении некоторого заданного угла эталонным углом величиной 11° получили, что в новых единицах измерения мера угла больше 12 и меньше 13. Какие из указанных значений не могут быть величиной заданного угла?

1) 130° 2) 135° 3) 140° 4) 145°

2.2. Измеряя угол, ученик установил, что его величина больше 38° и меньше 43°. Какие из указанных значений разумно принять за приближённое значение величины этого угла?

1) 37° 2) 40° 3) 43° 4) 46°

Занятие 5. ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ НА ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ

Контрольные вопросы и задания

1. Как определяется градусная мера плоского угла, который можно разместить в некоторой полуплоскости?

2. Какую величину имеет угол, составленный из двух углов величиной 69° и 73°?

3. Какую величину имеет угол, составленный из двух углов в 15° каждый?

4. Какую величину имеет угол, составленный из шести углов в 24° каждый?

5. Пусть задан луч MN. Сколько можно провести лучей MF таких, что FMN = 90°?

6.* Как можно назвать угол, который составлен из 18 плоских углов, равных 10°?

Задачи и упражнения

1. Нарисуйте на рис. 2 четырёхугольник, похожий на четырёхугольник MNKL, который изображён на рис. 1. При помощи транспортира измерьте углы нового четырёхугольника, запишите результаты измерений и вычислите сумму градусных мер всех углов.

–  –  –

Проверь себя. Тесты Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.

1.1. Пусть за единицу измерения углов выбран плоский угол, градусная мера которого равна 6°. Какую меру в новых единицах имеет развёрнутый угол?

1) 20 2) 25 3) 30 4) 35

1.2. Пусть за единицу измерения углов выбран плоский угол, градусная мера которого равна 5°. Какую меру в новых единицах имеет угол в 105°?

1) 18 2) 21 3) 24 4) 27 Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. В каких из указанных случаев градусная мера угла больше 90°?

1) угол составлен из 4 эталонных углов по 25°

2) угол составлен из 6 эталонных углов по 12°

3) угол составлен из 8 эталонных углов по 15°

4) угол составлен из 12 эталонных углов по 6°

2.2. В каких из указанных случаев градусная мера угла меньше 180°?

1) угол составлен из 5 эталонных углов по 30°

2) угол составлен из 7 эталонных углов по 20°

3) угол составлен из 13 эталонных углов по 15°

4) угол составлен из 19 эталонных углов по 9° Занятие 6. ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ГРАДУСНОЙ МЕРЫ Контрольные вопросы и задания

1. В каких случаях говорят, что плоский угол ABC равен сумме плоских углов ABD и DBC?

2. Чему равна градусная мера суммы двух углов величиной 15° и 60°?

3. Чему равна градусная мера суммы двух углов величиной 63° и 79°?

4. Чему равна градусная мера суммы трёх углов величиной 25°, 35° и 45°?

5. Чему равна градусная мера суммы пяти равных углов величиной в 32° каждый?

6. При каком условии сумму двух плоских углов величиной ° и ° можно разместить в одной полуплоскости?

7. Чему равна градусная мера половины развёрнутого угла?

8. В каком случае луч OF называется биссектрисой плоского угла MON?

Задачи и упражнения

1. Найдите, чему равна градусная мера суммы углов величины 36° и 78°.

2. Плоский угол ВАС составлен из трёх углов величиной 27°, 49°, 35°.

Чему равна величина угла ВАС?

3. Плоский угол ВАС составлен из пяти углов величиной 11°, 13°, 17°, 22°, 26°. Чему равна величина угла ВАС?

4. Плоский угол ВАС составлен из пяти равных углов, величина каждого из которых равна 31°. Чему равна величина угла ВАС?

5. Два равных угла в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?

6. Три равных угла в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?

7.* Пять одинаковых углов в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?

8.** Пятнадцать одинаковых углов в сумме составляют развёрнутый угол. Чему равна градусная мера каждого из этих углов?

–  –  –

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. Известно, что AOB = 30°, BOC = 45°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOC?

1) 15° 2) 45° 3) 75° 4) 90°

2.2. Известно, что AOB = 90°, BOC = 60°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOC?

1) 30° 2) 60° 3) 90° 4) 150° Занятие 7. ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНОГО СВОЙСТВА

ГРАДУСНОЙ МЕРЫ

1. Чему равна величина плоского угла ABC, который составлен из плоских углов ABD и DBC?

2. Плоский угол величиной 76° составлен из двух углов, и величина одного из этих углов равна 47°. Чему равна градусная мера другого из этих двух углов?

3. Плоский угол величиной 123° составлен из двух углов, и величина одного из этих углов равна 58°. Чему равна градусная мера другого из этих двух углов?

4. Плоский угол величиной 136° составлен из двух равных плоских углов. Чему равна градусная мера каждого из этих двух углов?

5. Плоский угол величиной 141° составлен из трёх равных плоских углов. Чему равна градусная мера каждого из этих трёх углов?

6. Сколько биссектрис можно провести у заданного плоского угла?

Задачи и упражнения

1. Внутри плоского угла MNK величины 126° из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 64°. Чему равна величина угла PNK?

2. Вне плоского угла MNK величины 39° из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 77°. Чему равна величина угла PNK?

3. Внутри плоского угла MNK величины 108° из вершины N проведён луч NP так, что угол MNP в два раза больше угла PNK. Чему равна величина угла MNP?

4. Внутри плоского угла MNK величины 48° из вершины N проведён луч NP так, что угол MNP в пять раз больше угла PNK. Чему равна величина угла PNK?

5. Дан угольник, углы которого равны 45°, 45° и 90°. Углы какой величины можно изобразить с помощью этого угольника?

6. Дан угольник, углы которого равны 15°, 75° и 90°. Углы какой величины можно изобразить с помощью такого угольника?

Проверь себя. Тесты Задание 1. Укажите правильный вариант ответа.

1.1. На плоскости задан луч AB. В разных полуплоскостях относительно прямой AB провели лучи AC и AD так, что BAC = 130°, BAD = 145°. Чему равна величина угла CAD?

1) 85° 2) 95°; 3) 105° 4) 115°.

1.2. На плоскости проведены различные лучи AB, AC, AD, AE так, что величины углов BAC, CAD, DAE равны 105°. Чему равна величина угла BAE?

1) 25° 2) 35° 3) 45° 4) 55° Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. Известно, что AOB = 15°, BOC = 30°, COD = 60°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOD?

1) 15° 2) 45° 3) 75° 4) 105°

2.2. В полуплоскости проведён некоторый луч AB с вершиной на границе полуплоскости, и в этой полуплоскости нужно изобразить угол CAB величиной от 0° до 180°. Сколько может быть таких углов в зависимости от положения луча AB и заданной величины угла?

1) ни одного 2) 1 3) 2; 4) 3 Занятие 8. ПРЯМОЙ УГОЛ. КВАДРАТ. ПРЯМОУГОЛЬНИК Контрольные вопросы и задания

1. Как определяется прямой угол?

2. Чему равна градусная мера прямого угла?

3. Чему равны углы, образующиеся между пересекающимися линиями клетчатой бумаги?

4. Какое свойство углов квадрата вы знаете?

5. Какое свойство сторон квадрата вы знаете?

6. Какое свойство углов прямоугольника вы знаете?

7. Какое свойство сторон прямоугольника вы знаете?

Задачи и упражнения

1. Внутри плоского прямого угла MNK из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 37°. Чему равна величина угла PNK?

2. Вне плоского прямого угла MNK из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 62°. Чему равна величина угла PNK?

3.** Вне плоского прямого угла MNK из вершины N проведён луч NP так, что MNP = 115°. Найдите все значения, какие может иметь величина угла PNK.

–  –  –

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. Известно, что AOB = 140°, BOC = 90°. Какие из приведённых значений может иметь величина угла AOC?

1) 40° 2) 50° 3) 130° 4) 140°

2.2. Луч делит прямой угол на два угла. Измеряя больший из получившихся углов, ученик установил, что величина этого угла больше 77° и меньше 81°. Какие из указанных значений разумно принять за приближённое значение другого из полученных углов?

1) 9° 2) 10° 3) 11° 4) 12° Занятие 9. ВИДЫ УГЛОВ. ТУПОЙ И ОСТРЫЙ УГОЛ Контрольные вопросы и задания

1. Какой угол называется развёрнутым?

2. Какой угол называется прямым?

3. Какой угол называется острым?

4. Какой угол называется тупым?

5. Как можно назвать угол величиной 79°?

6. Как можно назвать угол величиной 91°?

Задачи и упражнения

1. Нарисуйте на рис. 1 треугольник, у которого все углы острые.

–  –  –

4.** Нарисуйте на рис. 4 четырёхугольник с тремя острыми углами.

5. Часы показывают указанное время. Отметьте случаи, когда часовая и минутная стрелки образуют острые углы.

а) 2 ч 5 мин б) 4 ч 10 мин в) 12 ч 30 мин г) 12 ч 14 мин д) 3 ч 48 мин 6.** Найдите, какой угол образуют минутная и часовая стрелки, когда часы показывают:

а) 12 ч 12 мин б) 2 ч 24 мин в) 1 ч 36 мин г) 3 ч 48 мин

–  –  –

Занятие 10. СМЕЖНЫЕ УГЛЫ Контрольные вопросы и задания

1. Из точки M, лежащей на отрезке AB, проведён луч MC. Какой угол будет смежным к углу BMC?

2. В каком случае углы AMB и BMC будут смежными?

3. Что вы можете сказать о вершинах двух смежных углов?

4. Что вы можете сказать о сторонах двух смежных углов?

5. Каким свойством обладают величины смежных углов AOB и BOC?

6. Известно, что MNK = 73°. Какую величину имеет смежный с ним угол?

7. Что вы можете сказать об угле, смежном острому углу?

8. Что вы можете сказать об угле, смежном тупому углу?

9. В каком случае угол равен смежному с ним углу?

Задачи и упражнения

1. Даны два смежных угла. Величина одного из них на 28° больше другого. Чему равны эти углы?

2. Некоторый угол на 72° больше смежного с ним угла. Чему равен каждый из этих углов?

3. Даны два смежных угла. Величина одного из них в четыре раза больше другого. Чему равны эти углы?

4. Даны два смежных угла. Величина одного из углов в пять раз больше величины другого. Чему равна величина каждого из этих углов?

5. Даны два смежных угла. Величина одного из них на 36° меньше величины другого. Чему равна величина каждого из этих углов?

6. Сумма градусных мер двух углов, смежных с данным углом, равна 70°. Чему равна величина данного угла?

7. Величины двух смежных углов относятся как 7: 9. Чему равны эти углы?

–  –  –

Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа.

2.1. Известно, что величина угла AOB больше 112°. Какие из приведённых значений не могут быть величиной угла, смежного к углу AOB?

1) 55° 2) 60° 3) 65° 4) 70°

2.2. Известно, что углы AOB и BOC являются смежными, и AOB 4 · BOC. Какие значения может иметь величина угла BOC?

1) 30° 2) 35° 3) 40° 4) 45°

–  –  –

2. Что вы можете сказать о вершинах двух вертикальных углов?

3. Что вы можете сказать о сторонах двух вертикальных углов?

4. Каким свойством обладают величины вертикальных углов AOB и COD?

5. Известно, что MNK =123°. Какую величину имеет вертикальный с ним угол?

6. Что вы можете сказать об угле, вертикальном по отношению к острому углу?

7. Что вы можете сказать об угле, вертикальном по отношению к тупому углу?

Задачи и упражнения

1. Один из двух углов, полученных при пересечении двух прямых, в три раза больше другого. Найдите и запишите величины всех углов с вершиной в точке пересечения прямых.

2. Три угла из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, в сумме составляют 240°. Чему равен четвёртый угол?

3.* Сумма двух углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 100°. Чему равны два других угла?

4.* Сумма двух углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 320°. Чему равны два других угла?

5.** Сумма трёх углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 280°. Чему равны два других угла?

6.** Сумма двух углов из четырёх, полученных при пересечении двух прямых, равна 180°. Чему равны два других угла?

В этой статье мы всесторонне разберем одну из основных геометрических фигур – угол. Начнем со вспомогательных понятий и определений, которые нас приведут к определению угла. После этого приведем принятые способы обозначения углов. Далее подробно разберемся с процессом измерения углов. В заключении покажем как можно отметить углы на чертеже. Все теорию мы снабдили необходимыми чертежами и графическими иллюстрациями для лучшего запоминания материала.

Навигация по странице.

Определение угла.

Угол является одной из важнейших фигур в геометрии. Определение угла дается через определение луча. В свою очередь представление о луче невозможно получить без знания таких геометрических фигур как точка, прямая и плоскость. Поэтому, перед знакомством с определением угла, рекомендуем освежить в памяти теорию из разделов и .

Итак, будем отталкиваться от понятий точки, прямой на плоскости и плоскости.

Дадим сначала определение луча.

Пусть нам дана некоторая прямая на плоскости. Обозначим ее буквой a . Пусть O – некоторая точка прямой a . Точка O разделяет прямую a на две части. Каждая из этих частей вместе с точкой О называется лучом , а точка О называется началом луча . Еще можно услышать, что луч называют полупрямой .

Для краткости и удобства ввели следующие обозначения для лучей: луч обозначают либо малой латинской буквой (например, луч p или луч k ), либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых соответствует началу луча, а вторая обозначает некоторую точку этого луча (например, луч ОА или луч СD ). Покажем изображение и обозначение лучей на чертеже.

Теперь мы можем дать первое определение угла.

Определение.

Угол – это плоская геометрическая фигура (то есть целиком лежащая в некоторой плоскости), которую составляют два несовпадающих луча с общим началом. Каждый из лучей называют стороной угла , общее начало сторон угла называют вершиной угла .

Возможен случай, когда стороны угла составляют прямую линию. Такой угол имеет свое название.

Определение.

Если обе стороны угла лежат на одной прямой, то такой угол называется развернутым .

Предлагаем Вашему вниманию графическую иллюстрацию развернутого угла.

Для обозначения угла используют значок угла «». Если стороны угла обозначены малыми латинскими буквами (например, одна сторона угла k , а другая h ), то для обозначения этого угла после значка угла записывают подряд буквы, соответствующие сторонам, причем порядок записи значения не имеет (то есть, или ). Если стороны угла обозначены двумя большими латинскими буквами (к примеру, одна сторона угла OA , а вторая сторона угла OB ), то угол обозначают следующим образом: после значка угла записывают три буквы, участвующие в обозначении сторон угла, причем буква, отвечающая вершине угла, располагается посередине (в нашем случае угол будет обозначен как или ). Если вершина угла не является вершиной еще какого-нибудь угла, то такой угол можно обозначать буквой, соответствующей вершине угла (например, ). Иногда можно видеть, что углы на чертежах отмечают цифрами (1 , 2 и т.д.), обозначают эти углы как и так далее. Для наглядности приведем рисунок, на котором изображены и обозначены углы.

Любой угол разделяет плоскость на две части. При этом если угол не развернутый, то одну часть плоскости называют внутренней областью угла , а другую – внешней областью угла . Следующее изображение разъясняет, какая часть плоскости отвечает внутренней области угла, а какая - внешней.

Любую из двух частей, на которые развернутый угол разделяет плоскость, можно считать внутренней областью развернутого угла.

Определение внутренней области угла приводит нас ко второму определению угла.

Определение.

Угол – это геометрическая фигура, которую составляют два несовпадающих луча с общим началом и соответствующая внутренняя область угла.

Следует отметить, что второе определение угла строже первого, так как содержит больше условий. Однако не следует отметать первое определение угла, также не следует рассматривать первое и второе определения угла по отдельности. Поясним этот момент. Когда речь идет об угле как о геометрической фигуре, то под углом понимается фигура, составленная двумя лучами с общим началом. Если же возникает необходимость провести какие-либо действия с этим углом (например, измерение угла), то под углом уже следует понимать два луча с общим началом и внутренней областью (иначе возникла бы двоякая ситуация из-за наличия как внутренней так и внешней области угла).

Дадим еще определения смежных и вертикальных углов.

Определение.

Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют развернутый угол.

Из определения следует, что смежные углы дополняют друг друга до развернутого угла.

Определение.

Вертикальные углы – это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

На рисунке изображены вертикальные углы.

Очевидно, что две пересекающиеся прямые образуют четыре пары смежных углов и две пары вертикальных углов.

Сравнение углов.

В этом пункте статьи мы разберемся с определениями равных и неравных углов, а также в случае неравных углов разъясним, какой угол считается большим, а какой меньшим.

Напомним, что две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Пусть нам даны два угла. Приведем рассуждения, которые помогут нам получить ответ на вопрос: «Равны эти два угла или нет»?

Очевидно, что мы всегда можем совместить вершины двух углов, а также одну сторону первого угла с любой из сторон второго угла. Совместим сторону первого угла с той стороной второго угла, чтобы оставшиеся стороны углов оказались по одну сторону от прямой, на которой лежат совмещенные стороны углов. Тогда, если две другие стороны углов совместятся, то углы называются равными .

Если же две другие стороны углов не совместятся, то углы называются неравными , причем меньшим считается тот угол, который составляет часть другого (большим является тот угол, который полностью содержит другой угол).

Очевидно, что два развернутых угла равны. Также очевидно, что развернутый угол больше любого неразвернутого угла.

Измерение углов.

Измерение углов основывается на сравнении измеряемого угла с углом, взятым в качестве единицы измерения. Процесс измерения углов выглядит так: начиная от одной из сторон измеряемого угла, его внутреннюю область последовательно заполняют единичными углами, плотно укладывая их один к другому. При этом запоминают количество уложенных углов, которое и дает меру измеряемого угла.

Фактически, в качестве единицы измерения углов может быть принят любой угол. Однако существует множество общепринятых единиц измерения углов, относящихся к различным областям науки и техники, они получили специальные названия.

Одной из единиц измерения углов является градус .

Определение.

Один градус – это угол, равный одной сто восьмидесятой части развернутого угла.

Градус обозначают символом «», следовательно, один градус обозначается как .

Таким образом, в развернутом угле мы можем уложить 180 углов в один градус. Это будет выглядеть как половинка круглого пирога, разрезанная на 180 равных кусочков. Очень важно: «кусочки пирога» плотно укладываются один к другому (то есть, стороны углов совмещаются), причем сторона первого угла совмещается с одной стороной развернутого угла, а сторона последнего единичного угла совпадет с другой стороной развернутого угла.

При измерении углов выясняют, сколько раз градус (или другая единица измерения углов) укладывается в измеряемом угле до полного покрытия внутренней области измеряемого угла. Как мы уже убедились, в развернутом угле градус укладывается ровно 180 раз. Ниже приведены примеры углов, в которых угол в один градус укладывается ровно 30 раз (такой угол составляет шестую часть развернутого угла) и ровно 90 раз (половина развернутого угла).

Для измерения углов, меньших одного градуса (или другой единицы измерения углов) и в случаях, когда угол не удается измерить целым числом градусов (взятых единиц измерения), приходится использовать части градуса (части взятых единиц измерения). Определенные части градуса получили специальные названия. Наибольшее распространение получили, так называемые, минуты и секунды.

Определение.

Минута – это одна шестидесятая часть градуса.

Определение.

Секунда – это одна шестидесятая часть минуты.

Иными словами, в минуте содержится шестьдесят секунд, а в градусе – шестьдесят минут (3600 секунд). Для обозначения минут используют символ «», а для обозначения секунд – символ «» (не путайте со знаками производной и второй производной). Тогда при введенных определениях и обозначениях имеем , а угол, в котором укладываются 17 градусов 3 минуты и 59 секунд, можно обозначить как .

Определение.

Градусной мерой угла называется положительное число, которое показывает сколько раз градус и его части укладываются в данном угле.

Например, градусная мера развернутого угла равна ста восьмидесяти, а градусная мера угла равна .

Для измерения углов существуют специальные измерительные приборы, наиболее известным из них является транспортир.

Если известно и обозначение угла (к примеру, ) и его градусная мера (пусть 110 ), то используют краткую запись вида и говорят: «Угол АОВ равен ста десяти градусам».

Из определений угла и градусной меры угла следует, что в геометрии мера угла в градусах выражается действительным числом из интервала (0, 180] (в тригонометрии рассматривают углы с произвольной градусной мерой, их называют ). Угол в девяносто градусов имеет специальное название, его называют прямым углом . Угол меньший 90 градусов называется острым углом . Угол больший девяноста градусов называется тупым углом . Итак, мера острого угла в градусах выражается числом из интервала (0, 90) , мера тупого угла – числом из интервала (90, 180) , прямой угол равен девяноста градусам. Приведем иллюстрации острого угла, тупого угла и прямого угла.

Из принципа измерения углов следует, что градусные меры равных углов одинаковы, градусная мера большего угла больше градусной меры меньшего, а градусная мера угла, который составляют несколько углов, равна сумме градусных мер составляющих углов. На рисунке ниже показан угол АОВ , который составляют углы АОС , СОD и DОВ , при этом .

Таким образом, сумма смежных углов равна ста восьмидесяти градусам , так как они составляют развернутый угол.

Из этого утверждения следует, что . Действительно, если углы АОВ и СОD – вертикальные, то углы АОВ и ВОС - смежные и углы СОD и ВОС также смежные, поэтому, справедливы равенства и , откуда следует равенство .

Наряду с градусом удобна единица измерения углов, называемая радианом . Радианная мера широко используется в тригонометрии. Дадим определение радиана.

Определение.

Угол в один радиан – это центральный угол , которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса соответствующей окружности.

Дадим графическую иллюстрацию угла в один радиан. На чертеже длина радиуса OA (как и радиуса OB ) равна длине дуги AB , поэтому, по определению угол AOB равен одному радиану.

Для обозначения радианов используют сокращение «рад». Например, запись 5 рад означает 5 радианов. Однако на письме обозначение «рад» часто опускают. К примеру, когда написано, что угол равен пи, то имеется в виду пи рад.

Стоит отдельно отметить, что величина угла, выраженная в радианах, не зависит от длины радиуса окружности. Это связано с тем, что фигуры, ограниченные данным углом и дугой окружности с центром в вершине данного угла, подобны между собой.

Измерение углов в радианах можно выполнять так же, как и измерение углов в градусах: выяснить, сколько раз угол в один радиан (и его части) укладываются в данном угле. А можно вычислить длину дуги соответствующего центрального угла, после чего разделить ее на длину радиуса.

Для нужд практики полезно знать, как соотносятся между собой градусная и радианная меры, так как довольно часть приходится осуществлять . В указанной статье установлена связь между градусной и радианной мерой угла, и приведены примеры перевода градусов в радианы и обратно.

Обозначение углов на чертеже.

На чертежах для удобства и наглядности углы можно отмечать дугами, которые принято проводить во внутренней области угла от одной стороны угла до другой. Равные углы отмечают одинаковым количеством дуг, неравные углы – различным количеством дуг. Прямые углы на чертеже обозначают символом вида «», который изображают во внутренней области прямого угла от одной стороны угла до другой.

Если на чертеже приходится отмечать много различных углов (обычно больше трех), то при обозначении углов кроме обычных дуг допустимо использование дуг какого-либо специального вида. К примеру, можно изобразить зубчатые дуги, или нечто подобное.

Следует отметить, что не стоит увлекаться с обозначением углов на чертежах и не загромождать рисунки. Рекомендуем обозначать только те углы, которые необходимы в процессе решения или доказательства.

Список литературы.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
• Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.